江西宜春市十校2025-2026学年高三下学期第二次联考数学试题 含答案

/江西宜春市十校2026届高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．设集合，则（

）A． B． C． D．2．复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．已知符号函数，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（

）A．1 B． C．2 D．5．已知函数，若满足且，都有成立，则实数a的取值范围为M；若数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围为N．那么下列M与N关系正确的是（

）A． B． C． D．6．已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（

）A． B． C． D．8．设N为正整数，在平面直角坐标系中，若（，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的取值为（

）A．12 B．8或9 C．6或7 D．4或5二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4D．已知随机变量，，则10．在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（

）A．异面直线与所成角的余弦值为B．当点为棱的中点时，直线与直线平行C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为11．已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（

）A．数据的平均数是B．数据的平均数是C．若，则数据的中位数大于数据的中位数D．若，则数据的平均数大于数据的平均数三、填空题12．的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______.13．设数列的前n项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式________．14．已知函数函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是______.四、解答题15．在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.16．在平面直角坐标系中，直线交曲线于点，（在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.如图，将坐标系第一、二象限所在的半平面沿轴向上翻折90°.(1)当时，①求点到平面的距离；②求平面与平面的夹角的余弦值；(2)求线段长度的最小值.17．已知函数．(1)求函数的图象在点处的切线方程：(2)若在上有解，求m的取值范围；(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心．试求的值．18．“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行．(1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为．（i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率；（ii）求第次答题的是选手甲的概率．(2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：．19．已知点A与关于直线对称，点A在抛物线上，点F是抛物线C的焦点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)直线AF与抛物线的另一个交点为B，直线与直线AB交于点P（异于A、B），与抛物线交于点D，连接DF并延长，交抛物线于点E，直线PE与x轴相交于点G，直线l与直线BE相交于点Q，线段BD的中点为M，线段QF的中点为N．（ⅰ）求证：G、M、N三点共线；（ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求k的取值范围．答案1．C【详解】解绝对值不等式得，因此，指数函数的值域为，因此，故.2．D解：由题意得，又，所以，根据复数的几何意义，复数表示复平面上，以原点为圆心，半径的圆，而的几何意义为，圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离，所以点在圆外，因此，圆上一点到圆外一定点的最大距离为，即的最大值为.3．A【详解】若，则同号，所以或，即或，即，所以“”是“”的充要条件.故选：A4．B【详解】如图，连接，在中，，，，由余弦定理，可得，故．故选：B.5．A【详解】因为对且，都有成立，所以是上的增函数，解得，所以.数列满足，且是递增数列，所以，即，解得，所以故.6．B【详解】因为随机变量，且，所以，解得，所以.将向左平移个单位后，所得函数为.时，，故.因为函数在上单调递增，所以，即，所以.因为，所以，解得，所以，所以.故选:B.7．D【详解】因为的定义域为，关于原点对称，所以，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，因而关于中心对称，函数满足，所以，即，所以函数关于中心对称，且，且，所以由函数零点定义可知，即，由于函数和函数都关于中心对称，所以两个函数的交点也关于中心对称，又因为恰有个零点，即函数和函数的交点恰有个，且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，所以个零点的和满足，故选：D.8．C【详解】当为奇数时，和均有个不同的取值，由方程是椭圆的方程知，，故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为个，令，解得；当为偶数时，和均有个不同的取值，由方程是椭圆的方程知，，故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为个，令，解得；综上，或.9．BCD【详解】对于A，因为，所以这组数据的75%分位数为14，故A错误；对于B，由，解得，故B正确；对于C，，其中．又，，，故，故C正确；对于D，，故D正确．故选：BCD．10．AD【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，∴，，，，，，，因分别为的中点，则，，则，，对于A，设与所成的角为，则，故A正确；对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误；对于C，∵，∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧，球心到平面的距离为，∴圆弧的半径，故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误；对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量，∴球心到直线的距离，∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆，圆的半径，∴此时截面面积，故D正确.故选：AD.11．ACD【详解】对于A选项,设的前项和为，所以数据的平均数是，故A选项正确：对于B选项，当时，取为2，4，8，平均数为，故B选项错误；对于C选项，的中位数是，的中位数是，故C选项正确；对于D选项，当时，由，且等号当且仅当时成立，故的前项和比的前项和大，平均值亦然，D选项正确.故选：ACD.12．【详解】二项式的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，二项式系数最大值出现在中间项，当为偶数时，最大项为第项，因此有，解得，展开式的通项公式为：令，解得，代入通项，得系数为：因此，展开式中的系数为.故13．【详解】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则公共点则成对出现），即,取得,s所以,当时得到,,即,∴数列为首项为1，公比为2的等比数列，∴,故答案为.14．【详解】由函数恰有3个零点，则方程，即有3个不同的实数根，等价于图像有3个交点，如图由图像要有3个交点，根据图像可知：，当时，所以，即，当直线与相切时，设切点为，且，所以，可得，所以，可得或（舍），所以可知故15．(1)，或(2)【详解】（1）由正弦定理可知，而，所以，又因为，于是或；（2）当时，因为的面积为，所以，又因为，所以，所以的周长为，当时，因为的面积为，所以，又因为，所以，又因为，所以此时不构成三角形，综上所述：的周长为.16．(1)①；②；(2).【详解】（1）①方法一：当时，联立，得或，翻折后，在平面内作z轴交于点O得到如下图所示空间直角坐标系：则，，，，，，令平面的一个法向量，由，令，则，，，故点到平面的距离.方法二:当时，由得或，翻折后，，，，，，，点到平面的距离为1，设点到平面的距离为，又，，解得；所以求点到平面的距离为，②当时，由①可知，，令平面的法向量，由，令，则，；，故平面与平面的夹角的余弦值；（2）联立，得或；所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故线段长度的最小值为.17．(1)(2)(3)985【详解】（1）因为所以所求切线的斜率，又因为切点为，所以所求的切线方程为．（2）因为，所以．因为在上有解，所以m不小于在区间上的最小值．因为时，，所以m的取值范围是．（3）因为，所以．令可得，所以函数的对称中心为，所以当时，有，故，，所以．18．(1)（i）；（ii）(2)证明见解析【详解】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，由题知，，由全概率公式知，，，已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为．（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，记，由题知，当时，，由全概率公式知，，，，故数列是首项为，公比为的等比数列，，则，即第次答题是选手甲的概率为．（2）的所有可能取值为，所以的分布列为123．．．．．．故①，②，①-②，得所以．19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【详解】（1）因为点A与关于直线对称，设，所以，解得，即，又点A在抛物线上，所以，即，则抛