内蒙古兴安盟2026届高三下学期（二模）模拟考试数学试题 含答案

/数学（本试卷共4页，试卷总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则的子集个数为（）A.4 B.8 C.12 D.162.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.3.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A. B. C.6 D.124.已知，则的值（）A.2 B.-2 C.3 D.-35.函数的极小值点是（）A. B. C. D.6.记为等差数列的前n项和，若，，则（）A.11 B.9 C.8 D.57.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（）A.8 B. C.12 D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列说法正确的是（）A.若随机变量，则B.若事件相互独立，则C.对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立10.加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的蒙日圆方程为C.椭圆C的蒙日圆方程为 D.长方形R的面积最大值为1811.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（）A.点的轨迹经过线段的中点B.点的轨迹长度为2C.三棱锥的体积为定值D.球面经过四点的球的半径的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为30，则a的值为______．13.如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______.14.一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若的面积为，且，求的最小值.16.已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.17.如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．18.已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.（1）求抛物线的方程；（2）若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）当时，，求实数的取值范围.

数学（本试卷共4页，试卷总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则的子集个数为（）A.4 B.8 C.12 D.16答案：B解析：解答过程：因，又，故，故其子集个数为.2.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，虚部为.3.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A. B. C.6 D.12答案：A解析：解答过程：依题意，在方向上的投影向量为，则，而，所以4.已知，则的值（）A.2 B.-2 C.3 D.-3答案：C解析：思路：根据二倍角余弦公式进行化简求解即可.解答过程：，故选C.5.函数的极小值点是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点.解答过程：对函数求导得，.令，则或.若，则或；若，则.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.所以函数的极小值点是.故选：C.6.记为等差数列的前n项和，若，，则（）A.11 B.9 C.8 D.5答案：A解析：解答过程：等差数列中，由，得，即，解得，而，则公差，所以.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率.解答过程：由题，双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，所以，且即，所以双曲线的离心率为.8.已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（）A.8 B. C.12 D.答案：A解析：思路：判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可.解答过程：由可得，，所以函数关于点对称.函数的定义域为.因为，所以函数关于点对称.因此函数与函数的图象的交点也关于点对称.若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点，那么，.所以.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列说法正确的是（）A.若随机变量，则B.若事件相互独立，则C.对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立答案：AD解析：思路：根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据，可判定B不正确；将样本中心代入回归方程，求得的值，可判定C错误；根据，拒绝“与的独立”的原假设，可判定D正确.解答过程：对于A，随机变量，可得，即正态分布曲线关于对称，因为，所以，所以A正确；对于B，若事件相互独立，可得，只有事件和事件互斥时，满足，所以B不正确；对于C，对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，可得，解得，所以C错误；对于D，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可得，此时拒绝“与的独立”的原假设，可判断变量与不独立，所以D正确.10.加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的蒙日圆方程为C.椭圆C的蒙日圆方程为 D.长方形R的面积最大值为18答案：ACD解析：思路：根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误.解答过程：解:由题知椭圆方程为:,所以,故选项A正确;因为长方形R的四边均与椭圆相切,所以点,即在蒙日圆上,故半径为,可得椭圆C的蒙日圆方程为;故选项B错误,选项C正确;设长方形R的边长为m,n,则有,所以长方形R的面积等于,当且仅当时取等,故选项D正确.故选:ACD11.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（）A.点的轨迹经过线段的中点B.点的轨迹长度为2C.三棱锥的体积为定值D.球面经过四点的球的半径的最小值为答案：ABD解析：思路：取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解.解答过程：如图，取的中点，连接，，易知，又平面，平面，所以平面.又是中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，所以点的轨迹为线段（不含端点）.对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B正确；对于C，因为平面，点是棱的中点，则，所以C错误；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则，设，球心，半径为，由，得到，解得，，所以，又，且，所以当时，取到最小值为，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为30，则a的值为______．答案：6解析：思路：根据二项式通项公式结合条件即得.解答过程：由题可得展开式通项公式为，令，解得，则有，其系数，所以．故6.13.如图，已知在三棱柱中，分别为的中点，则截面分三棱柱的体积比______.答案：解析：思路：通过设，三棱柱的高为，来求出棱台的体积，进而求出三棱锥的体积，计算比值.解答过程：设，三棱柱的高为.，..14.一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________．答案：①.②.解析：思路：列举次运动过程中仅次经过顶点的情况，再由古典概率公式即可求解；记质点4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望，即可求解.解答过程：因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：，，，，，共种，第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率.记质点4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，质点4次运动，共有种情况，当X=0时，，共有1种情况，则，当X=1时，，，，，，，，共有7种情况，所以，又，所以X的分布列为：，故，.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若的面积为，且，求的最小值.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求；（2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为.（1）由正弦定理得，即，由余弦定理可得，因为，所以.（2）由已知，所以.因为，所以，可得，所以，又，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.16.已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.答案：（1）或（2）解析：思路：根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可.（1）设公差为，则，即解得或，所以或；（2）因为数列为递增数列，，，，所以；所以.17.如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）1；解析：思路：（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行；（2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解．（1）连接，由正方体可知，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，．（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设的长为a，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，故可得；设直线与平面所成角为，则，解得，，故的长度为1；，点到平面的距离．18.已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.（1）求抛物线的方程；（2）若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.答案：（1）（2）见解析.解析：思路：（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证.（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，所以抛物线的方程为.（2）设，联立，由韦达定理得，所以所以，所以以为直径的圆经过原点O.得证19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）当时，，求实数的取值范围.答案：（1）（2）单调递增区间为，递减区间为.（3）解析：思路：（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得，令，求得的根，结合定义域，即可求得函数的单调区间；（3）根据题意，得到不等式，当时，转化为，令，求得，结合，求得，利用导数求得，得到递增，得到，求得，再由，求得时，不等式也成立，即可求解.（1）解：当时