宁夏吴忠市青铜峡市第一中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.2.若复数（其中是虚数单位），则（）A. B. C. D.3.已知向量，若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.4.记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（）A. B.C. D.5.已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6.离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（）A. B. C. D.7.若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（）A. B.0 C.1 D.28.已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.数据的众数是2B.数据的第25百分位数是1C.若随机变量，则D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立10.已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.D.在上单调递增11.已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（）A.的方程为B.若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则C.若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为D.若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分12.投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________．13.展开式中的系数为____________．（用数字作答）14.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数上点处的切线方程为（1）求的解析式；（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．16.在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.（1）求椭圆的离心率；（2）直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.17.已知是等差数列，，，数列的前项和为，且．（1）求、的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18.如图，是边长为4的正方形，平面，，且.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.19.某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.（1）求；（2）求的分布列及数学期望；（3）求的通项公式；

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解不等式求得集合，进而求得即可.解答过程：依题意得，由，解得，得到，故.2.若复数（其中是虚数单位），则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，所以．3.已知向量，若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：依题意，，又，所以，解得，所以,所以，又因为，所以．4.记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先由正弦定理得到边的比例关系，再结合边的关系推导出最大边，最后用余弦定理求最大角的余弦值即可.解答过程：由题意得，结合正弦定理得：，所以因为，所以，则，即，由正弦定理，得．又，同理可得，所以，故为的最大内角，设，所以．5.已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题意，得到，把不等式转化为，结合是上的单调递增函数，列出不等式组，即可求解.解答过程：由函数为奇函数，可得，即，所以，又由不等式，可得，因为函数是上的单调递增函数，所以，即，解得，所以不等式的解集为.故选：D.6.离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用离散型随机变量分布列的性质，结合等差数列的求和公式和性质，直接求出.解答过程：由离散型随机变量分布列的性质，，由等差数列性质及前项和公式，所以，解得，故选：B.7.若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：A解析：思路：由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解.解答过程：由是奇函数，则，故关于中心对称，由，令，则，即，由，令，则，故，则，故，即有，故以为周期，由，则，，，，，则.8.已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解.解答过程：设，则，由双曲线的定义，可得，所以，又由，因为，所以，在中，由余弦定理得，，即，即，所以，则，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，所以双曲线的离心率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.数据的众数是2B.数据的第25百分位数是1C.若随机变量，则D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立答案：BCD解析：思路：根据众数以及百分位数的概念可判断AB；根据二项分布的期望以及性质即可判断C；根据独立性检验的原理可判断D.解答过程：对于A，数据中，2出现3次，3也出现3次，因此众数是2和3，A错误；对于B，数据已从小到大排列，由于，故数据的第25百分位数是，B正确；对于C，随机变量，则，故，C正确；对于D，由于，故依据的独立性检验，拒绝原假设（原假设为X与Y独立），可判断变量与不独立，D正确.10.已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.D.在上单调递增答案：BD解析：思路：利用周期公式求出，利用平移得到，利用图象关于直线对称，结合余弦函数的图像和性质得到，由得到的值，从而得到和的表达式，利用正余弦函数的图像和性质分别对选项一一求解.解答过程：函数的最小正周期为，，，将其图象向左平移个单位长度后得到的，，图象关于直线对称，，，，，，，选项A，，故选项A错误；选项B，，故选项B正确；选项C，，，，故选项C错误；选项D，，，，在上单调递增，故选项D正确.11.已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（）A.的方程为B.若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则C.若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为D.若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则答案：ACD解析：思路：由椭圆的定义和基本不等式，求得，得出的值，求得椭圆的方程，可判定A正确；求得直线方程为，联立方程组，求得的长，可判定B错误；利用“点差法”求得的斜率，得出的方程，可判定C正确；利用弦长公式，分别求得的长，可判定D正确.解答过程：对于A，根据椭圆的定义，可得，由基本不等式，可得，所以，即因为椭圆的短轴长为，可得，所以，所以椭圆的方程为，所以A正确；对于B，由，，可得，则，所以过且垂直于轴的直线方程为，将代入椭圆的方程，可得，解得，所以，所以B错误；对于C，设，因为在椭圆上，则，两式相减得：，因为的中点为，可得，所以，可得，所以的斜率为，所以直线的方程为，即，所以C正确；对于D，当一条直线的斜率为0时，则另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，则，则直线的方程为，可得，所以；当两条直线的斜率都存在，且不为0时，设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，可得且，则，因为直线与垂直，所以直线的斜率为，同理可得：，则，综上可得，，所以D正确.三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分12.投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________．答案：解析：解答过程：设事件为“仅有一次掷得偶数”，事件为“第三次掷得奇数”，则，，所以．13.展开式中的系数为____________．（用数字作答）答案：解析：解答过程：解：展开式中含的项为，故展开式中的系数为．14.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为__________.答案：##解析：思路：利用给定的切线斜率及极值点求出，进而利用导数求出指定区间上的最小值.解答过程：由求导得，依题意，，解得，函数，，由，得或；由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取到极大值，因此，，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，而，，所以函数在上的最小值为.故四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数上点处的切线方程为（1）求的解析式；（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，，建立关于、的方程组，求出、，从而可得函数的解析式；（2）由，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.（1）由题意可知，因为函数图象上点处的切线方程为，所以，，，解得，，所以，.（2）由，可得，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数的极小值为，，，由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示：由图可知，实数的取值范围是.16.在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.（1）求椭圆的离心率；（2）直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解；（2）（ⅰ）设，，联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解；（ⅱ）结合韦达定理，由即可求解.（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为.依题意可得，又，所以，则.故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率；（2）（ⅰ）设，.联立，整理得.由，解得或.即的取值范围为.（ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）则.因为，所以，则得，将（*）代入，可得.解得，满足.所以的值为.17.已知是等差数列，，，数列的前项和为，且．（1）求、的通项公式；（2）若，求数列的前项和．答案：（1），；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，进而求出通项公式；利用前项和与第n项的关系求出的通项.（2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得.（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得，因此；数列中，，当时，，两式相减得，即，而，解得，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以、的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，则，于是，将两式相减得：，则，所以求数列的前项和.18.如图，是边长为4的正方形，平面，，且.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见详解（2）（3）存在；解析：思路：（1）在上取点，使，通过证明是平行四边形，有，平面，平面，故平面；（2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，与平面所成角的正弦值，就是的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解.（3）由题意可设，再使用点到平面距离公式，即点到平面的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求.（1）在上取点，使，连接，，如下图：因为，即，且，故四边形是平行四边形，则有且，因为是正方形，则有且，故且，即四边形是平行四边形，则有，因为平面，平面，故平面.（2）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图：则，，设平面的法向量，则有，令，则，即，直线的方向向量为，设直线与平面的夹角为，则有，故直线与平面所成角的正弦值为.（3）已知，平面的法向量，且，设是线段上一点，由可设，则，点到平面的距离，令，解得（舍）或，故存