山东青岛超银高级中学2025-2026学年高三下学期四月月考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.4.若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A.4 B.8 C.16 D.325.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（）A. B. C. D.6.设都是正数，则的最小值是（）A.12 B.16 C.26 D.367.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（）A.3 B.4 C.6 D.88.当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（）．A.①②④ B.②③④ C.①④ D.①②二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.对于随机事件，，若，，，则（）A.PAB=3C.PA∪B=10.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点在线段上，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（）A.当为线段上的中点时，平面B.点的轨迹长度为C.的最小值为D.存在点，使得11.已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（）A.是以为周期的周期函数B.点是函数的一个对称中心C.D.函数有个零点三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则在方向上的投影是_____．13.已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________．14.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有___________种（结果用数值表示）四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若在上的最小值为1，求a的值.16.若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”.（1）若为的“2倍点列”，求的前项和；（2）若为的“1倍点列”且，求证：为定值；（3）若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论.17.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为．（1）求的方程．（2）过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值．18.如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19.杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；（2）①求证：数列（）是等比数列；②求队员赢得吉祥物的概率．

数学满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：以集合中元素为指数计算的幂值，根据交集的定义求解.解答过程：因为，所以.故选：B2.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用共轭复数的定义即可求出结果.解答过程：复数，则，故选：A3.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由函数的最小正周期为直接求解即可.解答过程：由，得到函数的最小正周期为.故选：B4.若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A.4 B.8 C.16 D.32答案：C解析：思路：根据双曲线渐近线的方程列式，由此求得的值.解答过程：∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为，又因为一条渐近线方程为，所以，解得.故选:C.方法提示：本小题主要考查根据双曲线的渐近线方程求参数，属于基础题.5.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设音速，并整理公式为，燃料质量为a、马赫数为6，代入公式得到含和的方程(2);燃料质量为、马赫数为10，再利用对数运算法则拆分，得到含和的方程(3)，最后联立方程(2)(3)求解，计算音速.解答过程：我们已知飞行器最大速度v、燃料质量m、飞行器自身质量M满足关系式：，化简为，(1)设环境音速为c(单位:)，当燃料质量为a时，马赫数为6，所以又因为，所以,化简得，,(2)当燃料质量为时，马赫数为10，令并代入(1)式子中，化简，(3)将式子(2)代入公式(3)中故选：A6.设都是正数，则的最小值是（）A.12 B.16 C.26 D.36答案：B解析：思路：根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.解答过程：由都是正数，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.7.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（）A.3 B.4 C.6 D.8答案：B解析：思路：根据等腰四面体的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积进行求解即可.解答过程：如图所示，等腰四面体的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积.设长方体长，宽，高分别为，则等腰四面体的体积.故选：B.8.当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（）．A.①②④ B.②③④ C.①④ D.①②答案：A解析：思路：根据数域的定义代入数值分析即可得解.解答过程：当，且时，，所以0是任何数域的元素，故①正确；当，且时，由数域的定义知，所以，故②正确；当时，，故③错误；如果，那么，且当时，，所以有理数集是一个数域，故④正确．故选：A.二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.对于随机事件，，若，，，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：解答过程：选项A：因为，，所以PAB选项B：因为，，所以PB选项C：因为，，所以PA选项D：因为，，PB=所以PB10.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点在线段上，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（）A.当为线段上的中点时，平面B.点的轨迹长度为C.的最小值为D.存在点，使得答案：ABD解析：思路：选项A:延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，当为线段上的中点时，为的中心，即可得判断；选项B,C:结合图形，得出点在平面的轨迹为，当点运动到与的交点时有最小值，从而得出答案；选项D:根据三棱锥为正四面体，即可判断.解答过程：将三条侧棱延长相交于点，可得三棱锥为正三棱锥．选项A:,故三棱锥为正四面体．当为线段上的中点时，为的中心，故平面，故A正确;选项B，C:依题意，取中点，中点，连接，则有，所以的延长线必过点且，过点作，则四边形是边长为1的菱形.如图所示：在中，，即，解得，所以，所以为边长为3等边三角形，所以，所以，因为是边长为3的等边三角形且为中点，所以，，在中，由余弦定理变形得，，在中，由余弦定理变形得，，解得，所以，所以；由，可得平面，又平面，所以，由，，，可得平面，因为与平面所成角的正切值为，所以，解得，，所以点在平面的轨迹为，当点运动到与的交点时有最小值，因为四边形是边长为1且的菱形，所以，所以，所以点的轨迹长度为,所以的最小值为，故B正确，C错误；选项D:当为中点，为中点时，，故D正确.故选：ABD11.已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（）A.是以为周期的周期函数B.点是函数的一个对称中心C.D.函数有个零点答案：BCD解析：思路：A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B：根据关于点中心对称以及关于直线对称，可作出判断；C：利用周期性可得，由此可计算出结果；D：在同一坐标系中作出的图象，根据图象可判断出结果.解答过程：因为是定义在上的奇函数，所以，又因为，所以函数关于直线对称；所以，所以，所以函数是周期为的周期函数，所以A选项错误；由于函数是奇函数，关于点中心对称，且函数关于直线对称，因此点是函数的一个对称中心，所以B选项正确；由于函数是周期为的周期函数，且时，，那么，因此，所以C选项正确；作出函数与函数的图象如图所示，根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数有个零点，所以D选项正确，故选：BCD．三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则在方向上的投影是_____．答案：解析：思路：首先通过向量夹角的正弦值求出夹角的余弦值，然后根据向量投影的计算公式进行求解即可.解答过程：已知，得.当时，得在上的投影为，当时，得在上的投影为.故13.已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________．答案：##解析：思路：联立直线与抛物线方程，得，，从而得，构造函数，利用导数，求出的最大值，即可求解.解答过程：设，由，消得到，所以，即，且，则以为邻边的平行四边形面积．令，则，当时，，当，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故当最大，最大值为，所以的最大值为．14.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有___________种（结果用数值表示）答案：21解析：思路：可以通过一一列举或通过规律得解.解答过程：由题意知黑色正方形互不相连，故当时，有全黑或全白种，当时，有白黑、黑白、全白种，当时，有黑白黑、白白黑、白黑白、黑白白、全白共种，当时，有白黑白黑、黑白黑白、黑白白黑、白白白黑、白白黑白、白黑白白、黑白白白、全白共种，当时，有黑白黑白黑、黑白白白黑、黑白白黑白、黑白黑白白、白黑白白黑、白黑白黑白、白白黑白黑、黑白白白白、白黑白白白、白白黑白白、白白白黑白、白白白白黑、全白共种，故当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种结果：黑白黑白黑白、黑白黑白白黑、黑白白黑白黑、白黑白黑白黑、黑白白白白黑、黑白白白黑白、黑白白黑白白、黑白黑白白白、白黑白白白黑、白黑白白黑白、白黑白黑白白、白白黑白白黑、白白黑白黑白、白白白黑白黑、黑白白白白白、白黑白白白白、白白黑白白白、白白白黑白白、白白白白黑白、白白白白白黑、全白共种，故21四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）讨论的单调区间；（2）若在上的最小值为1，求a的值.答案：（1）答案见解析（2）.解析：思路：（1）由题可得，由可得单调递增区间，由可得单调递减区间；（2）分，，三种情况讨论在上的单调性，据此可得答案.（1）的定义域为，.当时，，的单调递减区间为；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，在上单调递减，所以，解得或（舍去），故.当时，在上单调递减，所以，解得或（舍去），故.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，故，不符合题意.综上，.16.若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”.（1）若为的“2倍点列”，求的前项和；（2）若为的“1倍点列”且，求证：为定值；（3）若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论.答案：（1）（2）证明见解析（3）不存在，证明见解析解析：思路：（1）理解题目中的“2倍点列”的概念，由可求出，利用等差数列的前项和公式即可求解；（2）先用半角公式化简函数，通过对函数求导得出其单调性，再由题中的“1倍点列”的定义，可求得的图象关于直线对称，可得，从而得证；（3）理解题目中的“倍点列”的定义，可得且，设，通过对函数求导得出其单调性，从而可得出不存在，使得为的“倍点列”.（1）解：因为为的“2倍点列”，所以，即，所以所以，当时，，显然满足，故综上，（2）证明：因为，所以.设，则，当且仅当即时等号成立，所以单调递增，且，所以,所以在上单调递减，在上单调递增，因为为的“1倍点列”，则，不妨设，，所以的图象关于直线对称，当时，有2个不同实根，所以.（3）解：因为，且为的“倍点列”，可得，即且，设，则，在上单调递增，且，所以时，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以且时，所以不存在，使得，即不存在，使得为的“倍点列”.方法提示：关键点点睛：充分理解题目中的“倍点列”的定义是解题关键，本题考查函数与数列的新定义，利用导数研究函数的单调性，数列与函数的综合应用，考查函数与方程思想以及逻辑思维能力，属于难题.17.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为．（1）求的方程．（2）过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）由椭圆的定义及直角三角形的性质，列出关于的方程组，求解可得；（2）设直线的方程为，设，直线的方程与椭圆方程联立，得；与直线联立，得点的坐标；根据向量的坐标运算，得，化简可得为定值．（1）设椭圆的焦距为，则，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）由题可知，，直线的斜率存在.设直线的方程为，，由，得，所以.由，得.由，，得，所以，即，所以，即为定值，定值为.18.如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）连接，与相交于点，运用菱形性质得到，再结合三线合一得到，即可证明平面，再用线面垂直性质可得结论；（2）由（1）找出为二面角的平面角，再用三角形性质可解；（3）找出线面角，或者运用空间向量法计算即可.（1）证明：如图连接，与相交于点，则，且点为的中点.由题设得，连接，则，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，即.（2）由（1）知为二面角的平面角因为，且，得，则，则.（3）由，，得，则，由（1）知平面.则平面.如图，设与相交于点，连接，则即为所求线面角.易知为正的外心，亦为其重心，则，又，则.【另解】（3）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，由（2）知，且，则）.设为平面的法向量，则得取.，则.设直线与平面所成角为，则.19.杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物