山东泰安英雄山中学2026普通高等学校招生全国统一考试冲刺压轴卷（一）数学试题 含答案

/数学满分150分考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.若，其中是虚数单位，则（）A. B.2 C. D.43.已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（）A.4 B.5 C.6 D.74.已知直线，平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若，则（）A. B. C. D.6.设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2 C. D.7.如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（）．A.60对 B.62对 C.72对 D.124对8.已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（）A. B.C. D.不是等比数列10.已知函数，下列说法正确的是（）A.是奇函数B.有两个零点C.在点处切线的斜率为D.在单调递增11.在斜中，若，则（）A. B.的最大值为C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则______.13.已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则___________．14.已知对恒成立，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表.性别兴趣程度合计感兴趣不感兴趣男生女生合计（1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；（2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值.附：，其中.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82816.已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．（1）求椭圆的离心率；（2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．17.是等差数列的前项和，数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为．①求；②若集合且，求集合中所有元素的和．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.（1）证明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围.19.已知函数（其中为自然对数的底数，）.（1）当时，求处的切线方程.（2）若函数在其定义域上不单调，求证.（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

数学满分150分考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为集合U=xx≤5，所以∁UA=2.若，其中是虚数单位，则（）A. B.2 C. D.4答案：A解析：思路：先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果.解答过程：因为，所以.故选：A.3.已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：D解析：思路：根据平均数的概念和公式进行求解即可.解答过程：数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，数据的平均数为.故选：D.4.已知直线，平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件．解答过程：由，可得或，所以“”不是“”的充分条件，由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D.5.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用二倍角公式和弦化切思想即可求解.解答过程：因为，所以，因为，所以.所以.故选：B.6.设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2 C. D.答案：B解析：思路：根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得.解答过程：由题意，双曲线的渐近线方程为，如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：，即，联立，解得，即由对称性可得，，且，则，可得，故离心率.故选：B7.如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（）．A.60对 B.62对 C.72对 D.124对答案：A解析：思路：由分步乘法原理、组合数即可求解.解答过程：任意一个四边形恰有1对“和睦线”，故有（对）．故选：A.8.已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用导数的几何意义求在、、的切线，再分析变化过程中确定点的轨迹，再由弧长公式求解.解答过程：由，则，且，故，所以在处的切线方程为，，，则在处的切线方程为，，，则在处的切线方程为，当的切点横坐标从，切线由变为，此时两切线与圆的交点左边从，右边从，同理的切点横坐标从，切线由变为，此时两切线与圆的交点左边从，右边从，所以的轨迹为劣弧，其中，故，所以轨迹对应圆心角为，由弧长公式得.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（）A. B.C. D.不是等比数列答案：AC解析：思路：设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解.解答过程：设的公比为，则由，单调递增，得，因为，所以，解得或（舍去），对于A，，故A正确；对于B，，.故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，，所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误.故选：AC.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.是奇函数B.有两个零点C.在点处切线的斜率为D.在单调递增答案：ACD解析：思路：根据奇函数的定义、零点的求解、导函数和函数的单调性进行逐一判断即可.解答过程：对于A：函数的定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，A正确；对于B：令，则，则或，所以，所以函数只有一个零点，B错误；对于C：当时，，对函数求导得，那么，所以函数在点处切线的斜率为，C正确；对于D：当时，，所以函数在上单调递增，D正确.故选：ACD.11.在斜中，若，则（）A. B.的最大值为C. D.答案：BCD解析：思路：根据正弦定理、余弦定理及三角恒等变换判断得出.解答过程：对于A，由余弦定理得，再由正弦定理得即，整理得：，即，故A错误；对于B，因为，，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，又因为，所以，所以的最大值为，故B正确；对于C，由A可知，即，又因为，即，同理可得，所以，即，所以，故C正确；对于D，因为，又因为，所以，，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则______.答案：解析：思路：先根据向量共线的坐标表示得，再结合向量的模的坐标公式求解即可.解答过程：因为向量a=3,x，所以3×2−x×−1所以a→因此2a13.已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则___________．答案：解析：思路：根据题意，不妨设在坐标原点，则关于轴对称，可求得的坐标，进而计算可求得.解答过程：因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则不妨设在坐标原点，则关于轴对称，所以，所以，解得.故答案为.14.已知对恒成立，则的最小值为______.答案：6解析：思路：首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示关系，再结合基本不等式，即可求解.解答过程：当，，则，当，，当，，，当，，当，，，若对恒成立，则，并且函数的两个零点分别是1和7，则，则，，，所以，当，，即时，等号成立，所以的最小值为6.故6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表.性别兴趣程度合计感兴趣不感兴趣男生女生合计（1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；（2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值.附：，其中.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828答案：（1）（2）10解析：思路：（1）根据频率估计概率，结合古典概型公式，即可得答案.（2）先求得，由题意可得，分析计算，即可得答案.（1）由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知，从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为.（2）由题意可得，若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，则，解得因为m为正整数，所以m的最小值为10.16.已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．（1）求椭圆的离心率；（2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率；（2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程.（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、，依题意，整理得（*），因点在椭圆上，则，即，代入（*），化简得：，又，所以，则椭圆的离心率；（2）如图，设、，由（1）已得，则由，消去并整理得，此时，解得，由韦达定理得，，所以，又原点到直线的距离，所以的面积，解得，故椭圆的方程为．17.是等差数列的前项和，数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为．①求；②若集合且，求集合中所有元素的和．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）分别令和，解方程可得，，可得与，进而可得；（2）利用分组求和的方法可得，进而确定集合中元素.（1）当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，则，所以，，则；（2）①；②，当为偶数时，，所以当为偶数时，恒成立，当为奇数时，，令，又函数在上单调递增，且，，所以，所以集合中所有元素的和为.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.（1）证明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可.（2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解.（3）建立如图空间直角坐标系，设，，则，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求得，设，由题意在上有零点，利用判别式法求得，即可得解.（1）∵平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）可知，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，由（1）可知，在中，，∴.则与相似，则，在中，，，∴，∴.∴.（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，，∴，不妨设，，，，∵，∴即，由知，（*）于是，，，，设，则，，由可得，∴，，，，设平面的一个法向量为，于是，所以，令，得，，故可取，因，∴，结合化简得，设，，∵要存在，使与平面所成角为，∴在上有