山西晋中市榆次第二中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试题 含答案

/数学时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C.5 D.6【正确答案】B【分析】先根据复数的模化复数为代数形式，即得结果.【详解】因为复数，所以，故，的虚部为-6．2.若全集，集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据集合的交并补运算易得.【详解】因为全集，集合，，．3.一组从小到大排列的数据：2，8，，18，22．若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（）A.10 B.11 C.12 D.13【正确答案】A【分析】根据百分位数和平均数的定义计算即可.【详解】，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数，即，，．4.已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据正弦定理边化角计算即可.【详解】由正弦定理，由边化角得.5.已知点到点的距离为，则的最小值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【正确答案】D【分析】根据点和点的坐标确定其轨迹分别为圆和直线，将问题转化为圆上的点到直线的最小距离求解.【详解】由题意得，点的轨迹方程为，点的轨迹方程为．圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，的最小值是−40326.已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断，即可求得答案.【详解】是等比数列，，所以，因为，故，解得或，当．是等比数列，，是单调递增数列，当时，则，此时与已知矛盾，故不成立，“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件．7.已知是定义在上的函数，，当时，，则（）A. B. C.1 D.3【正确答案】D【分析】由题可知，进而得到，，再利用周期性求值即可．【详解】，．两式相加，得，，，，是周期函数，且，．8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】函数有两个极值点，则有两个异号零点.即令，则，所以直线与的图象有两个交点．利用导数结合图象分析可得实数的取值范围.【详解】由题意．有两个极值点，有两个异号零点，即有两个根．令，则，直线与的图象有两个交点．若直线与的图象相切，则设切点为．由于，则切线的斜率为，切线方程为，即，∴lnt0=02b=1要使直线与的图象有两个交点，，．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数的最小值为B.点是函数图象的一个对称中心C.函数在区间上单调递增D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【正确答案】AB【分析】利用正弦函数性质依次判断ABC；利用平移变换求出解析式判断D.【详解】对于A，当，时，函数取得最小值，A正确；对于B，f(−5π8)=对于C，由x∈(π8,3π8对于D，的图象向左平移个单位长度得到y=2cos10.已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（）A. B.椭圆的离心率为C.的最小值为 D.面积的最大值为【正确答案】ABD【分析】由椭圆过求出椭圆的方程，从而得到的值，根据椭圆的定义判断A；求出离心率判断B；求得点的轨迹方程，由定点到圆上的点的距离求出的最小值，判断C；当时，的面积最大，由此求出最大值，判断D.【详解】点A12,3在椭圆上，，解得.椭圆的标准方程为．设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.∴c2=a2−b对于C，设点，则．将点的坐标代入椭圆方程，得，即.点的轨迹方程为，的最小值为点到圆心的距离减去半径，OA−1=对于D，由C可知，，OA=132，则当时，的面积最大，为1211.已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（）A.正方体的外接球半径为B.，，，四点共面C.直线与所成角的余弦值为D.过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为【正确答案】AC【分析】对于A，根据正方体外接球半径为体对角线的一半；对于B，根据四点共面的判定判断即可；对于C，利用余弦定理求异面直线的夹角即可；对于D，由题可知，截面半径最小为，再求面积即可．【详解】解：对于A，正方体的外接球半径，故A正确．对于B，设的中点为，则,则，，，四点共面，点不在平面内，所以，，，四点不共面，故B错误．对于C，如图，连接，，，则，，，在中，，故C正确．对于D，如图，连接，记为的中点，过点作的垂线，交于点．在中，，，，则，所以．过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小为，所以半径最小的圆的面积为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与向量，满足，则________．【正确答案】【分析】由平面向量共线的坐标表示计算即可.【详解】由向量与向量，，，解得，故b=32,3，．13.已知抛物线的焦点为F，点A，B都在抛物线C上，抛物线C的准线与x轴交于点D，.若，则________．【正确答案】【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可得，代入抛物线计算即可.【详解】∵AF=2，点到准线的距离为2．，点是线段的中点．点到准线的距离为4，∴BF=4．为线段的中点，为的中位线，．在等腰三角形中，由对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为．将点的坐标代入抛物线的方程，得，．，．14.将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来．例如，将十进制数5转化成二进制数：，，，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：．．．，即十进制数13转化成二进制数为1101．记为十进制中正整数n的二进制表示中数字1的个数，例如，，则________．【正确答案】192【分析】把1,2,⋯,63统一写成六位二进制数．不足六位时在前面补，不会改变某个正整数二进制表示中数字的个数．因为63=26−1，所以0,1,2,⋯,63正好对应全部六位二进制数．固定任意一个数位，当该数位为时，其余个数位都可以独立取或，所以这个数位上数字出现次．六个数位合计出现数字的次数为6⋅25=192，即为所求．【详解】因为63=26−1，所以从到共有个整数，它们可以一一对应地写成六位二进制数，即0000002其中，把1,2,⋯,63的二进制表示在前面补若干个，不会增加或减少数字的个数；而对应0000002，含有个数字，所以把也放进来统计，不影响f1+下面统计这个六位二进制数中数字出现的总次数．先固定某一个数位，并要求这个数位上的数字为．此时其余个数位都可以任意取或，每个数位有种取法，由分步乘法计数原理，这样的六位二进制数共有个．因此，在任意一个固定数位上，数字都恰好出现次．六位二进制数共有个数位，所以从0000002到中，数字出现的总次数为6⋅25，即．又因为0000002中没有数字，所以1,2,⋯,63的二进制表示中数字出现的总次数仍为，即f1+f故答案为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字．（1）求随机变量ξ的分布列及数学期望；（2）已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率．【正确答案】（1）分布列见解析，5.25（2）【分析】（1）随机变量的取值为：3，4，5，6，计算出分布列并求得数学期望.（2）三个球的标号和为偶数：一个偶数两个奇数和三个偶数，再由古典概型求概率；【小问1详解】随机变量的所有可能取值为3，4，5，6，则，，，．所以的分布列为：3456所以．【小问2详解】记事件为“取出的3个球的标号和为偶数”，事件为“”．由题意得，，．由条件概率公式，得PB16.已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中．（1）求公差及的值；（2）设数列，数列的前项和为，求．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）代入已知条件，计算即可解决问题；（2）利用三角函数的周期性，将数列进行分组，然后进行分组求和，先求出一个周期内的和，最后求出全部和.【小问1详解】解：（1），，，．，，，．【小问2详解】解：由（1）得，，∴an．又的周期，当时，；当时，；当时，；当时，，其中．在一个周期内，b4k+1=b4k+3，数列的前20项为5个完整的周期，．17.已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，对任意恒成立，求实数a的值．【正确答案】（1）（2）1【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据题意分析可得对任意实数，都有ex+lnx−ax+lnx≥1恒成立，令，则，对【小问1详解】当时，fx=xe∴f'1曲线在点处的切线方程为y−e−1=即y=【小问2详解】若fx=x则有ex+ln令，，则，对恒成立．令ht=et−at−1若，则h't=et−当时，的极限为负数或负无穷，不成立，舍去．若，则令，解得．当t∈−∞,ln当t∈lna,+∞∴h(令φa=a−a当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴φa≤φ1，即．综上，实数的值为1．18.如图1，AC为半径为2的圆O的直径，点D，B为圆O上的两点，且．．如图2，将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB，OD，OE，BD．（1）若，E为BD的中点，证明：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值；（3）求翻折过程中，直线OD与平面ABC所成角的最大值．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，即可证得；（2）由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法可求得二面角的余弦值；（3）在（2）的坐标系下，设两个半圆面所成的角为，将直线与平面所成的角的正弦值表示成的函数，从而求得其最大值.【小问1详解】如图，取的中点，连接，．，分别为，的中点，，．又是圆的直径，，．，，．又，，平面，平面．平面，．【小问2详解】∵AB⌢=平面平面，平面平面，平面，所以平面.故以为坐标原点，以，所在直线，平面内过点且垂直于的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，．则，，，，∴AB=2,2,0，，，OD设平面的法向量为，则AB⃗⋅n→=0AD⃗⋅n．设平面的法向量为，则OB⃗⋅m→=0OD⃗⋅m∴m∴cos由图知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．【小问3详解】同（2）中的建系，则平面的一个法向量．设两个半圆面所成的角为，则D3cos∴OD设直线与平面所成的角为，则sinα当时，取得最大值，为．，．19.若，点，双曲线．（1）写出，的坐标；（2）证明：对任意，点在双曲线C上；（3）设直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点，和点，记的面积为（O为坐标原点），求证：为定值．（参考公式：设三角形的三个顶点分别为，，，则三角形面积S=12x2−x1y3【