山西晋中市榆次区第二中学等校2025-2026学年高三下学期二模考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知命题，的否定（）A.， B.，C.， D.，4.双曲线的焦距为（）A.3 B.6 C. D.5.（）A. B. C. D.6.的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（）A.60 B. C.15 D.7.在中，，则（）A. B. C.1 D.8.关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.两个变量，的相关系数为，若越小，则与之间的线性相关程度越弱B.设随机变量，若，则C.若，且，则D.已知，之间的关系满足，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则10.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A. B.C.的周长为 D.的面积为11.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（）A.该四棱台的体积为14B.若为的中点，则平面C.该四棱台的侧面积为D.该四棱台的外接球表面积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_________．13.已知定义在上的奇函数，当时，有，则__________.14.椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：男教师女教师总计优秀201030非优秀101020总计302050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？（2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82816.已知数列中，，.（1）证明：是等差数列；（2）求数列的前项和.17.如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点．（1）证明：．（2）求二面角的正弦值．18.已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值．19.已知函数，其中．（1）讨论的单调性．（2）若函数有两个不同的零点．①求实数的取值范围；②证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：直接根据复数的几何意义判断可得.解答过程：根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：方法一：求出集合后可求.解答过程：[方法一]：直接法因为，故，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.方法提示：方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．3.已知命题，的否定（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：思路：由存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得.解答过程：由存在量词命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，.故选：A4.双曲线的焦距为（）A.3 B.6 C. D.答案：D解析：解答过程：将双曲线方程化为标准形式.两边同除以得，由此可知，.根据双曲线的关系，代入得，即.双曲线的焦距为，所以焦距为.5.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据两角和的正切公式，即可求得答案.解答过程：由题意得.故选：A．6.的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（）A.60 B. C.15 D.答案：A解析：思路：根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可.解答过程：由题可知，解得，则二项式展开式通项公式为，令，解得，所以常数项为.故选：A.7.在中，，则（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：设角对边分别为，根据题意，得到，且，再由，求得，得到，即可求解.解答过程：在中，设角对边分别为，因为，可得，即，即，又由，又因为，所以，即，因为，所以，所以.故选：B.8.关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围.解答过程：方程可转化为，则，所以，设，则方程转化为，又恒成立，所以在上为增函数，所以，即，令，所以，则可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，又时，，时，，若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为.故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.两个变量，的相关系数为，若越小，则与之间的线性相关程度越弱B.设随机变量，若，则C.若，且，则D.已知，之间的关系满足，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则答案：ACD解析：思路：由相关系数与线性相关程度的关系可判断A；利用正态分布的对称性可判断B；根据方差的性质可判断C；根据线性回归的相关知识可判断D.解答过程：对于A，两个变量，的相关系数为，越小，与之间的线性相关程度越弱，故A正确；对于B，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知若，则，故B错误；对于C，，又，故，故C正确；对于D，，则，，故，故D正确.故选：ACD.10.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A. B.C.的周长为 D.的面积为答案：BD解析：思路：由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可.解答过程：因为，，，所以由正弦定理可得：，即，则，得，则，所以，所以的周长，所以的面积为,由上可知AC错误，BD正确，故选：BD11.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（）A.该四棱台的体积为14B.若为的中点，则平面C.该四棱台的侧面积为D.该四棱台的外接球表面积为答案：ABD解析：思路：利用台体体积公式可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；根据棱台的侧面积公式可判断C选项；设出球心的坐标，根据球心到点的距离相等，可求出球心的坐标，进而可求出球的半径，结合球体表面积公式可判断D选项.解答过程：设棱台的上下底面中心分别为，对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对；对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以，因为平面，平面，故平面，B对；对于C选项，侧面的斜高为，所以此四棱台的侧面积为，所以C错；对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为，因为正方形的边长为，正方形的边长为，所以,,设点，则，由可得，解得，故，因此，该四棱台的外接球表面积为，D对.故选:ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_________．答案：##解析：思路：根据结合诱导公式求解即可.解答过程：因为，所以，所以.故答案为.13.已知定义在上的奇函数，当时，有，则__________.答案：解析：思路：利用奇函数的定义，将转化为，代入解析式即可．解答过程：因为奇函数满足，当时，有，所以．故．14.椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________．答案：解析：思路：从角平分线分析判断得到,结合椭圆定义求出与的长度,再在中用余弦定理建立与的关系,最后化简得到离心率.解答过程：已知椭圆：（），焦点，，且.点在第一象限，满足，该角的平分线交轴于点.在中，为角平分线，由角平分线定理有（证明见点睛）.计算，，于是，即.由椭圆定义得.设，则，代入上式得，所以.因此，.在中，由余弦定理.代入得.化简得，离心率.故椭圆的离心率为.方法提示：在中，是的平分线.设，则.考虑与的面积.一方面，两个三角形等高（到轴的垂线段为高），因此面积比等于底边之比：.另一方面，用含角的面积公式：，，两式相比得，于是有，即角平分线定理.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：男教师女教师总计优秀201030非优秀101020总计302050（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？（2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828答案：（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据题意，代入的计算公式，根据独立性检验的概念求解即可；（2）根据题意随机变量的可能取值为0，1，2，分别利用古典概型的概率公式结合组合知识计算出对应的概率，进而可解出答案.（1）零假设：这次成绩是否优秀与性别无关，由列联表中的数据，可得，因为，所以根据判断，我们可以推断成立，即不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.（2）由题意得，随机变量的可能取值为0，1，2，则；；，所以随机变量的分布列为：012所以期望为.16.已知数列中，，.（1）证明：是等差数列；（2）求数列的前项和.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可；（2）运用裂项相消法进行运算求解即可.（1）因为，所以，而，则，即，得到是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）可得，即，则，得到17.如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点．（1）证明：．（2）求二面角的正弦值．答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）求证平面即可利用线面垂直的定义得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（1）在四面体中，由平面，平面，得，由是等边边的中点得，而平面，则平面，而平面，所以.（2）不妨令，由平面，平面，得，过点作平面，则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，因此，，所以二面角的正弦值为.18.已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值．答案：（1）一个，理由见解析（2）（3）解析：思路：（1）联立圆和抛物线，解得方程组的解从而确定交点个数；（2）设为和圆相切的直线，由于切线有两条，联立直线和圆，得出两条切线斜率的关系，然后用表示后求解；（3）利用内切圆性质，将周长用表示出来，然后由基本不等式求解.（1）联立得：．所以抛物线与圆只有唯一交点，即抛物线与圆的交点个数为1.（2）显然斜率存在，设的方程分别为，∵直线：与圆相切，，化简得：①于是为①式的两个根，②．，把②代入，可化简得：，的取值范围为．（3）设的周长为，因为圆为的内切圆（该内切圆的半径），所以，由（2），．令，，∴当即时，取等号．周长的最小值为16．19.已知函数，其中．（1）讨论的单调性．（2）若函数有两个不同的零点．①求实数的取值范围；②证明：．答案：（1）若在内单调递减，在内单调递增;若在内单调递增，在内单调递减;若在内单调递增;若在内单调递增，在内单调递减.（2）①；②证明见解析解析：思路：（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏.（2）①先化简