初中数学七年级下册第五章生活中的轴对称复习学案

初中数学七年级下册第五章生活中的轴对称复习学案

一、课标导航与复习目标

（一）课标导航

本节课是“图形与几何”领域的重要内容，旨在通过观察、操作、想象、推理、表达等活动，探索并理解轴对称的基本性质。课程改革理念强调从生活经验出发，引导学生经历从具体到抽象、从感性到理性的认知过程。复习课不应是知识的简单重复，而应是对知识的深度整合、对思想方法的提炼升华、对实践应用的拓展创新。本学案设计力求体现“做中学”、“用中学”的核心理念，通过问题驱动和项目式学习，发展学生的空间观念、几何直观、推理能力和应用意识，培养跨学科的综合素养。

（二）复习目标

1.【基础】能够准确识别生活中的轴对称现象和轴对称图形，理解并区分这两个概念。

2.【基础】熟练掌握轴对称的基本性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。

3.【核心概念】【高频考点】能熟练画出简单图形的对称轴，并能根据轴对称的性质，补全一个轴对称图形或作出已知图形关于某条直线的轴对称图形。

4.【重要】掌握等腰三角形、等边三角形、线段、角等基本几何图形的轴对称性及相关性质，并能够运用这些性质进行简单的推理和计算。

5.【难点】【素养提升】能够综合运用轴对称知识解决路径最短等实际问题，体会转化思想和模型思想。

6.【跨学科视野】能从美术、建筑、文学等不同学科角度欣赏轴对称的美学价值和实用价值，提升人文素养。

二、知识结构梳理与核心要点回顾（请同学们自主完成，然后组内互评）

（一）构建知识网络

请结合你对本章内容的理解，用你喜欢的方式（如思维导图、框架图等，但在此学案上请以段落形式描述）梳理本章的知识结构。

（本章知识主要围绕“轴对称”这一核心概念展开。首先，我们从生活实例中抽象出“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”两个概念，明确它们的区别与联系，其本质都是“一条直线”折叠后“完全重合”。围绕这条“对称轴”，我们探究了其最重要的性质：对称轴垂直平分连接任意一对对应点的线段。由此性质出发，我们可以确定对称轴的位置（作垂直平分线），也可以根据一个点和对称轴找到其对应点。进而，我们能够画出整个图形的轴对称图形。在此基础上，我们研究了一些具有特殊轴对称性的基本图形，如线段（垂直平分线性质）、角（角平分线性质）、等腰三角形（三线合一）、等边三角形（三线合一，且有三条对称轴），这些图形的性质又为我们解决几何问题提供了强大的工具。最后，我们将这些知识应用于现实生活，如设计图案、解决最短路径问题等，体现了数学来源于生活又服务于生活的理念。）

（二）核心概念辨析

1.【基础】轴对称图形与成轴对称

（1）定义：

轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。

（2）区别与联系：

区别：轴对称图形研究的是一个具有特殊形状的图形；成轴对称研究的是两个图形之间的位置关系。

联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称。

2.【重要】轴对称的性质

（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分。【核心性质】

（2）对应线段相等，对应角相等。

3.【高频考点】简单的轴对称图形

（1）线段：

①线段是轴对称图形，它的对称轴有两条：一条是线段的垂直平分线所在的直线，另一条是线段本身所在的直线。

②垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。【重要】【高频考点】

（2）角：

①角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

②角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。【重要】【高频考点】

（3）等腰三角形：

①定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

②性质：

a.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（或底边上的高，或顶角的平分线）所在的直线。【核心概念】

b.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）。【重要】【高频考点】【难点理解】

c.等腰三角形的两个底角相等。（简称“等边对等角”）【重要】【高频考点】

③判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”）【重要】

（4）等边三角形：

①定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，它是特殊的等腰三角形。

②性质：

a.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。

b.等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。

c.等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都互相重合（三线合一）。

③判定：

a.三条边都相等的三角形是等边三角形。

b.三个角都相等的三角形是等边三角形。

c.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。【重要】

三、典型问题剖析与解题策略探究

（一）【基础】轴对称图形的识别与对称轴的确定

例1：下列图形中，是轴对称图形的有哪些？并指出它们的对称轴条数：①线段；②角；③直角三角形；④等边三角形；⑤一般的平行四边形。

解析：

①线段：是轴对称图形，有2条对称轴（垂直平分线所在的直线和自身所在的直线）。

②角：是轴对称图形，有1条对称轴（角平分线所在的直线）。

③直角三角形：不一定是轴对称图形。只有等腰直角三角形是轴对称图形，有一条对称轴。一般的直角三角形不是。

④等边三角形：是轴对称图形，有3条对称轴（各边的垂直平分线/各内角的平分线/各边上的中线/高所在的直线）。

⑤一般的平行四边形：不是轴对称图形。

【方法点拨】识别一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，使得图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合。对于常见图形，要牢记其对称性及对称轴数量。

（二）【重要】【高频考点】利用轴对称性质求线段与角度

例2：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E。若AE=3cm，△DBC的周长为10cm。

（1）求线段AB的长度。

（2）求线段BC的长度。

（3）若∠A=40°，求∠DBC的度数。

解析：

（1）∵MN是AB的垂直平分线，且AE=3cm，

∴AB=2AE=6cm。

（2）∵MN是AB的垂直平分线，

∴AD=BD。（垂直平分线性质）

∵△DBC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=10cm。

又∵AB=AC=6cm，

∴BC=10-AC=10-6=4cm。

（3）∵AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠C=(180°-40°)/2=70°。

∵AD=BD，

∴∠ABD=∠A=40°。（等边对等角）

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。

【方法点拨】在涉及垂直平分线的问题时，要立刻联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，从而进行线段的等量转化。在等腰三角形中，要熟练运用“等边对等角”和“等角对等边”，并注意“三线合一”的灵活应用。

（三）【难点】【高频考点】“将军饮马”问题——最短路径问题

例3：如图，在一条河l的同侧有两个村庄A和B。现要在河边修建一个供水站P，向两个村庄铺设供水管道。问：供水站P建在河边的什么地方，才能使所用的管道总长度PA+PB最短？

解析：

这是一个典型的“将军饮马”问题。

作法：

1.作点A关于直线l的对称点A'。

2.连接A'B，交直线l于点P。

则点P即为所求的供水站位置。

证明：

在直线l上任取一点P'（不同于点P），连接AP',A'P',BP'。

∵点A和点A'关于直线l对称，

∴直线l是线段AA'的垂直平分线。

∴对于直线l上的任意点，都有AP'=A'P'，AP=A'P。

∴AP+BP=A'P+BP=A'B。

在△A'BP'中，A'B<A'P'+BP'=AP'+BP'。

即AP+BP<AP'+BP'。

因此，点P使得PA+PB最小。

【方法点拨】解决此类问题的核心思想是“化折为直”。通过作其中一个点关于定直线的对称点，将同侧两线段之和转化为异侧两点之间的线段，利用“两点之间线段最短”的原理求解。这是轴对称变换在解决实际问题中的经典应用。【重要数学模型】

（四）【跨学科融合】设计轴对称图案

例4：某校要设计一个校徽，要求校徽是轴对称图形，并且能体现学校的办学理念“和谐、创新”。请你运用轴对称的知识，设计一个简单的草图，并简要说明你的设计意图。

设计参考：

（图案描述：可以设计一个圆形外框，内部由两个抽象的、手拉手的人形图案构成，这两个人形关于圆的竖直直径对称。两人上方可以有一颗对称的五角星。）

设计意图：圆形代表和谐、圆满。两个对称的人形代表师生之间、同学之间相互尊重、携手共进，体现了“和谐”的理念。对称的结构也给人以稳定、平衡的美感。上方的五角星代表追求卓越、不断“创新”的精神。

【设计点评】这个设计利用了轴对称的特性，图案简洁、寓意深刻。将数学知识与美学思想、文化理念相结合，体现了跨学科的综合素养。

四、【核心环节】教学实施过程（项目式学习/主题探究课）

本复习课将以“项目式学习”的形式展开，以一个驱动性问题贯穿始终，引导学生在完成任务的过程中，自主梳理、合作探究、展示交流，从而实现知识的深度复习和能力的全面提升。

总项目名称：打造一座“对称之桥”——校园景观设计招标会

项目情境：学校计划在校园的人工湖上修建一座步行桥，连接两岸的A、B两处休闲区。为了彰显学校“和谐对称”的校园文化，现面向七年级全体同学举行“对称之桥”景观设计方案招标会。设计方案需满足以下要求：

1.桥梁主体结构必须是轴对称图形。

2.桥梁需连接A、B两点，且桥身总长（需考虑实际路径）尽可能短，以节约建造成本。

3.桥梁的护栏、桥墩、灯饰等细节需体现轴对称的美学设计。

4.提交的设计方案需包含设计图、设计说明（蕴含的数学原理）、材料清单估算及成本预算（可跨学科融合数学与经济常识）。

第一阶段：入项与团队组建（课前准备课堂导入5分钟）

1.教师活动：发布项目招标公告，呈现项目情境和要求。将全班同学分为若干“建筑设计公司”，每组4-6人，推选出CEO、首席设计师、预算师、发言人等角色。

2.学生活动：各组快速组建团队，明确分工。CEO组织成员初步讨论，回顾本章所学轴对称知识，思考可以如何应用到桥梁设计中。

3.设计意图：创设真实、有挑战性的问题情境，激发学生的学习兴趣和内在动机。角色扮演增强学生的代入感和责任感，为后续的深度探究做好铺垫。

第二阶段：知识储备与方案初构（核心复习环节，约25分钟）

本阶段旨在驱动学生自主调用和深化本章核心知识，为设计方案打下坚实的理论基础。

1.任务一：【基础】桥梁主体的对称性设计（约8分钟）

1.2.驱动问题：桥梁的主体结构（如桥拱、桥面）如何体现轴对称？你能设计出几种不同的轴对称图形作为桥梁的轮廓？

2.3.学生活动：各组CEO组织成员在白纸上绘制几种常见的轴对称图形草图，如等腰三角形、矩形、等腰梯形、半圆（圆弧）、组合图形等。首席设计师需指出每个图形的对称轴位置。预算师开始思考不同形状可能带来的材料成本差异。

3.4.教师指导：巡视各组，引导学生回顾不同轴对称图形的性质。例如，等腰三角形的“三线合一”是否能为桥墩的设计提供稳定性？圆弧形桥拱的对称轴在哪里？强调【基础】概念的准确应用。

4.5.知识链接：轴对称图形的定义、对称轴的画法、常见几何图形的轴对称性。

6.任务二：【重要】【高频考点】最短路径的数学建模（约10分钟）

1.7.驱动问题：如何实现“桥身总长尽可能短”？连接A、B两点的桥，是直线距离最短吗？如果桥梁必须建在湖面上，且需要经过一个中间的观景平台P（P在一条与河岸平行的直线l上），如何确定P的位置才能使从A到P再到B的路径最短？

2.8.学生活动：各组收到一份简化的“湖面”地图（图纸上有A、B两点和一条代表观景平台所在直线的l）。CEO组织大家讨论，尝试用不同的方法找出点P。各组发言人准备汇报思路。

3.9.教师指导：引导各组将实际问题抽象为数学模型“两点一线”的将军饮马问题。对于基础薄弱的小组，可以提示：“能否利用轴对称的‘折’与‘直’的转化思想，把A、B两点从直线的同侧变成异侧？”鼓励学生动手作图尝试。

4.10.成果展示与互评：请2-3个小组的发言人上台，利用实物投影展示本组的作图过程和最终确定的P点位置，并阐述其背后的数学原理。其他小组进行点评，教师最终总结并提炼出【重要数学模型】“化折为直”的思想。

5.11.知识链接：轴对称的性质（对应点所连线段被对称轴垂直平分）、垂直平分线的性质、两点之间线段最短。

12.任务三：【跨学科】美学设计与成本预算（约7分钟）

1.13.驱动问题：如何让桥梁的细节（如护栏图案、灯柱排列）也符合“对称”主题，同时又能控制成本？如果桥的主体选择等腰梯形，计算其相关角度和边长需要用到哪些知识？如何估算所需钢材或混凝土的用量？

2.14.学生活动：各组围绕选定的桥型，开始构思细节的对称性装饰。首席设计师画出护栏上重复的轴对称图案（如连续排列的等腰三角形、菱形等）。预算师则根据桥的尺寸（假设给出桥长30米，最宽处8米），开始估算桥面面积，并尝试用单价（如每平方米混凝土造价）计算主体材料成本。遇到面积、角度计算问题时，咨询组内数学“专家”。

3.15.教师指导：提供一些常见建材（混凝土、钢材、石材）的参考单价。引导学生回顾等腰梯形、等腰三角形中的角度计算（如利用平行线性质、三角形内角和），以及面积计算公式。鼓励学生将美学设计与数学计算结合起来，如设计一个包含60°角的菱形护栏图案，需要运用等边三角形的知识。

4.16.知识链接：等腰三角形的性质（等边对等角）、平行线性质、多边形内角和、面积计算（跨小学数学）、简单的比例运算。

第三阶段：深度探究与方案优化（约10分钟）

本阶段鼓励学生跳出单一问题的解决，进行更深层次的思考和综合应用，体现学习的挑战性和创造性。

1.拓展性问题1：【难点】【素养提升】如果湖面上需要修建的是一条连接A、B两地的桥，但A、B在湖的两侧（即A、B两点在河的两岸），而桥必须与河岸垂直（即桥身不能斜着过河），如何确定桥的位置，才能使从A到B的路径最短？（提示：将河抽象为两条平行线，桥长固定）

1.2.学生活动：各组对这个更具挑战性的问题进行探讨。这是将军饮马问题的变式（“造桥选址”问题）。CEO组织成员讨论，尝试将问题转化为已解决的模型。

2.3.教师指导：引导思考：桥长固定，我们可以先将A点沿垂直于河岸的方向“平移”一个桥长的距离，转化为标准的将军饮马问题。

3.4.成果与深化：这一环节旨在让学有余力的学生挑战更高阶的思维，理解“平移”和“对称”都是几何变换，可以综合运用来解决复杂问题。

5.拓展性问题2：【跨学科融合】请从中国古典园林建筑（如赵州桥、颐和园中的十七孔桥）或世界著名建筑（如悉尼歌剧院、泰姬陵）中寻找轴对称的影子，分析其设计如何体现对称美，并结合你们的设计，阐述“对称”在建筑中的美学价值和文化内涵。

1.6.学生活动：各组利用平板电脑或查阅教师提供的资料图片，快速浏览并选择一个案例进行简要分析，融入本组的设计说明中，提升方案的文化品位。

2.7.教师指导：强调数学不仅是工具，也是文化的载体。轴对称给建筑带来平衡、稳定、庄严、和谐的美感，这在古今中外的建筑中都有体现。

第四阶段：成果展示与招标答辩（视情况安排，可在本课末或下节课初进行，约10分钟用于本课小结与下节课预告）

1.模拟招标会（本课末启动）：教师作为“招标委员会主席”，邀请1-2个小组进行2分钟的“闪电路演”，展示他们初步的设计理念和核心亮点。

2.组间互评：其他小组扮演“评审团”，从数学原理的正确性（如对称性的体现、路径最短的证明）、设计的创新性、成本预算的合理性、美学与文化内涵等方面进行提问和点评。

3.教师总结与升华：教师对各组的方案和表现进行总结性评价，高度肯定同学们将数学知识创造性地应用于解决实际问题的能力。再次强调本章的核心知识、思想方法（转化、模型）和学习路径。布置课后任务：各公司根据今天的交流和反馈，完善本组的设计方案，形成一份完整的投标书（包含详细的设计图、计算过程、成本预算、设计说明），下节课进行正式竞标。

设计意图阐释：

本节复习课通过“校园景观桥设计”这一项目，将零散的复习知识点整合成一个有机的整体。学生不是在被动地做题，而是在主动地“用数学”来“做事”。

1.任务一对应了轴对称图形的识别与设计，是知识的直接应用。

2.任务二对应了轴对称的核心性质和最短路径问题，是知识的高阶应用和数学建模过程，是本节课的【重中之重】。

3.任务三引入了美学和成本，实现了数学与美术、经济常识的初步融合，体现了【跨学科视野】。

4.拓展性问题则满足了不同层次学生的需求，特别是对【难点】的突破。

整个过程中，学生经历了“明确问题—调用知识—设计方案—交流反思—优化迭代”的完整学习闭环，不仅巩固了知识，更锻炼了合作、沟通、批判性思维和创新能力，这正是课程改革理念所追求的“核心素养”的落地。教师在过程中扮演的是引导者、支持者和伙伴的角色，将学习的主动权真正还给了学生。

五、【应列尽罗】本章核心考点与易错点警示

（一）核心考点清单

1.【高频考点】轴对称图形和两个图形成轴对称的概念辨析与识别。

2.【高频考点】作已知图形的轴对称图形。（尺规作图或方格纸作图）

3.【高频考点】利用线段垂直平分线的性质求线段长度或证明线段相等。

4.【高频考点】利用角平分线的性质求距离或证明线段相等。

5.【高频考点】等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”的性质与判定。

6.【高频考点】等腰三角形“三线合一”性质的应用。

7.【高频考点】等边三角形的性质与判定。

8.【热点】利用轴对称变换解决最短路径问题（将军饮马模型）。

9.【重要】利用轴对称的性质进行图案设计。

（二）易错点警示

1.【易错点1】混淆轴对称图形和两个图形成轴对称。误以为“轴对称”就是“轴对称图形”。

1.2.辨析：

牢记一个图形是“轴对称图形”，两个图形是“成轴对称”。

3.【易错点2】找错对称轴。如认为长方