小学数学第六章　作业13　平面几何中的向量方法

作业13平面几何中的向量方法分值：100分单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.在四边形ABCD中，若AB+CD=0，AC·BD=0，则四边形ABCD为A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则(AE+AF)·BDA.-92 B.923.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，若PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是A.P在AB边上 B.P在AC边上C.P在BC边上 D.P在△ABC内部4.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，且向量a，b，满足AB=2a，AC=2a+b，则下列结论正确的是A.|b|=2 B.|a|=1C.a∥b D.(4a+b)∥BC5.在四边形ABCD中，若AC=(1，2)，BD=(-4，2)，则该四边形的面积为A.5 B.25 C.5 D.106.在Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是△ABC所在平面内一点，点P满足OP=OA+12(AB+AC)，则A.2 B.1 C.12 D.7.已知O，A，B三点不共线，∠AOB=θ.若|OA+OB|<|OA-OB|，则A.sinθ>0，cosθ>0B.sinθ>0，cosθ<0C.sinθ<0，cosθ>0D.sinθ<0，cosθ<08.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，则AD与CE的位置关系是.9.若平面向量OA，OB满足|OA|=1，|OB|≤1，且以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为12，则OA与OB的夹角θ的取值范围是10.(10分)已知在△ABC中，C=90°，AB=2，AC=1，D是线段BC上一点，且CD=λCB，F是线段AB上的一个动点.(1)若AD=xAB+yAC，求x-y(用λ的式子表示)；(4分)(2)求CF·FA的取值范围.(6分)11.已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|，NA+NB+NC=0，且PA·PB=PB·PC=PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心12.(多选)已知△ABC的外心是O，其外接圆半径为1，设OA=λOB+μOC，则下列论述正确的是A.若λ=-1，μ=0，则△ABC为直角三角形B.若λ=μ=-1，则△ABC为正三角形C.当λ=μ=1时，AB·AC=1D.若λ=-1，μ=-3，则△ABC为顶角为30°的等腰三角形13.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.已知A，B两点间的距离为2，点P为AB上的一点，则PA·(PB+PC)的最小值为14.(13分)已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，求证：AP=AB.15.(15分)已知点A(-1，0)，B(0，1)，点P(x，y)为一次函数y=x-1图象上的一个动点.(1)用含x的代数式表示AP·BP；(4分)(2)求证：∠APB恒为锐角；(5分)(3)若四边形ABPQ为菱形，求BQ·AQ的值.(6分)

答案精析1.D2.A3.B4.AB5.C6.B7.B8.AD⊥CE9.π10.解(1)由CD=λCB，得AD-AC=λAB-解得AD=λAB+(1-λ)AC，又AD=xAB+yAC，则x=λ，y=1-λ，故x-y=2λ-1.(2)以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，1)，B(3，0)，设F(x，y)，y∈[0，1]，可得AF=(x，y-1)，BF=(x-3，y)，由A，F，B三点共线，可得xy-(x-3)(y-1)=0，即x=3(1-y)，代入整理得CF·FA=(x，y)·(-x，1-y)=-x2-y2+y=-3(1-y)2-y2+y=-4y2+7y-3=-4y-782+116，y∈[由函数图象的性质知，当y=78时，CF·FA=-4y-782当y=0时，CF·FA=-4y-782+故CF·FA的取值范围为-3,111.C[由|OA|=|OB|=|OC|知点O到A，B，C三点的距离相等，所以O为△ABC的外心.由NA+NB+NC=0，知NA+NB=CN.设AB的中点为D，则NA+NB=2ND=CN，所以点N在△ABC的中线CD上，且2ND=CN，所以N为△ABC的重心.由PA·PB=PB·PC，得PB·(PA-PC)=0，即PB·CA=0，所以PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心.]12.ABD[若λ=-1，μ=0，则OA=-OB，所以O是AB的中点，又O是△ABC的外心，从而△ABC为直角三角形，故A正确；若λ=μ=-1，则OA=-OB-OC，即OA+OB+OC=0，所以O是△ABC的重心，又O是△ABC的外心，从而△ABC为等边三角形，故B正确；易知|OA|=|OB|=|OC|=1，当λ=μ=1时，OA是以OB和OC为邻边的平行四边形的对角线，所以△AOB和△AOC都是等边三角形，故∠BAC=120°，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，AB·AC=-12，故C若λ=-1，μ=-3，则OA=-OB-3OC，即OA+OB=-3如图，取AB的中点D，则OA+OB=2OD，从而2OD=-3OC，所以O是中线CD上一点，又因为O是△ABC的外心，即O是△ABC垂直平分线的交点，所以CD⊥AB，从而△ABC是等腰三角形由OA+OB=-3OC两边平方得OA2+OB2+2OA·OB=3OC2.因为OA=OB=OC=1且OA·OB=OAOBcos∠AOB=cos∠AOB所以(*)式化为cos∠AOB=12所以∠AOB=60°，由圆周角是圆心角的一半可得∠ACB=30°，即△ABC为顶角为30°的等腰三角形，故D正确.]13.10-47解析设D为BC的中点，连接AD，如图，设E为AD的中点，连接DP，PE，CE，则PA·(PB+PC)=2PA·PD=2(PE+EA)·(PE+ED)=2(PE+EA)·(PE-EA)=2(PE2-EA2在正三角形ABC中，AD=AB2-BD所以AE=DE=32所以PA·(PB+PC)=2PE2-EA2=2因为CE=CD2+DE所以|PE|min=2-CE=2-72所以PA·(PB+PC)的最小值为2|PE|min2-32=2=10-47.14.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB=2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1).设点P的坐标为(x，y)，则FP=(x，y-1)，FC=(2，1)，BP=(x-2，y)，BE=(-1，2)，∵FP∥FC，∴x=2(y-1)，即x=2y-2，同理，由BP∥BE，得y=-2x+4，由x=2y∴点P的坐标为65则AP=65∴|AP|=6=2=|AB|，即AP=AB.15.(1)解由题意得，AP=(x+1，y)，BP=(x，y-1)，所以AP·BP=x(x+1)+y(y-1)=x2+x+y2-y，因为点P(x，y)在直线y=x-1上，所以AP·BP=2x2-2x+2.(2)证明因为PA·PB=AP·BP=2x2-2x+2=2(x2-x+1)=2x-1所以cos〈PA，PB〉=PA·PB若A，P，B三点在一条直线上，则PA∥PB，得到(