小学数学第十章　§10.1　习题课　古典概型的应用

习题课古典概型的应用学习目标1.熟练掌握古典概型的概率计算公式，不放回试验古典概型的概率计算，学会运用树状图、列表等方法解决相关问题.2.能利用概率的性质，求解较复杂的概率问题.一、概率与统计相结合例1从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位：cm，被测学生的身高全部在155cm到195cm之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，绘制成的频率分布直方图如图所示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x，y，则|x-y|≤5的概率为()A.715 B.C.58 D.跟踪训练1某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩，将学生的成绩按照[50，75)，[75，100)，[100，125)，[125，150]分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.现用按比例分配的分层随机抽样的方法从[75，100)，[125，150]这两组学生中选取5人，再从这5人中任选2人，则这2人的数学成绩不在同一组的概率为()A.15 B.C.12 D.二、概率与其他知识的交汇问题例2已知A={1，2，3}，B={x∈R|x2-ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概率是()A.29 B.C.89跟踪训练2已知a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，求函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率.三、概率的综合应用例3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.延伸探究1在本例中求小亮获得玩具或水杯的概率.延伸探究2本例中奖励规则改为：①若3≤x+y≤5，则奖励玩具1个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率.反思感悟应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件A包含的样本点个数，最后代入公式求出概率.1.知识清单：(1)概率与统计相结合.(2)概率与其他知识的交汇问题.(3)概率的综合应用.2.方法归纳：列举法、间接法.3.常见误区：互斥事件的判断、对立事件的判断.1.从1，2，3，6这4个数中随机地一次取两个数，则所取两个数的乘积为6的概率是()A.13 B.C.23 D.2.在不超过10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为()A.14 B.C.25 D.3.“<数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1469).在两位数的“<数”中任取一个数，比36大的概率是()A.12 B.C.34 D.44.有四张不透明的卡片(除正面的函数关系式不同外，其余相同)，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为.

答案精析例1A[由频率分布直方图，可知身高在[180，185)内的人数为0.016×5×50=4，分别记为a，b，c，d；身高在[190，195]内的人数为0.008×5×50=2，分别记为A，B；则可用数组(x，y)表示样本点，记M=“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若x，y∈[180，185)，则M={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6个样本点；若x，y∈[190，195]，则M={(A，B)}，共1个样本点；若x∈[180，185)，y∈[190，195](或x∈[190，195]，y∈[180，185))，则M={(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)}，共8个样本点.所以样本点的总数为6+1+8=15，而事件“|x-y|≤5”所包含的样本点个数为6+1=7，故P(|x-y|≤5)=715.跟踪训练1D例2C[因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点(a，b)的总个数为9，如表所示.ba1231(1，1)(1，2)(1，3)2(2，1)(2，2)(2，3)3(3，1)(3，2)(3，3)因为A∩B=B，所以B可能为⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}；当B=⌀时，a2-4b<0，满足条件的a，b为a=1，b=1，2，3；a=2，b=2，3；a=3，b=3，共6个样本点；当B={1}时，1-a+b=0且a2-4b=0，满足条件的a，b为a=2，b=1，共1个样本点；当B={2}，{3}时，没有满足条件的a，b；当B={1，2}时，满足条件的a，b为a=3，b=2，共1个样本点；当B={2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的样本点有8个.故所求概率为89.跟踪训练2解∵a∈{0，1，2}，b∈{-1，1，3，5}，∴样本空间Ω={(0，-1)，(0，1)，(0，3)，(0，5)，(1，-1)，(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，-1)，(2，1)，(2，3)，(2，5)}，共含有12个样本点.函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增，①当a=0时，f(x)=-2bx，需要满足-2b>0，即b<0，符合条件的样本点只有(0，-1)，即a=0，b=-1，共1个；②当a≠0时，a>0，需要满足ba≤1即b≤a，符合条件的样本点有(1，-1)，(1，1)，(2，-1)，(2，1)，共4个.综上，符合条件的样本点共5个，∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，+∞)上单调递增的概率P=512例3解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω={(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤4，1≤y≤4}.其中共有16个样本点.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数为5，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1).所以P(A)=516即小亮获得玩具的概率为516(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，则事件B包含的样本点个数为6，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，所以P(B)=616=3事件C包含的样本点个数为5，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(C)=516因为38>5所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.延伸探究1解用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω={(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤4，1≤y≤4}.所以样本点总数n=16.记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数为11，即E={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，所以P(E)=1116，所以小亮获得玩具或水杯的概率为11延伸探究2解用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω={(x，y)|x∈N*，y∈