2025-2026学年北京市朝阳区高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2025-2026学年北京市朝阳区高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：________________班级：________________姓名：________________考号：________________考试时间：120分钟满分：150分试卷类型：高考二模模拟卷适用年级：高三注意事项：1．本试卷用于高三数学高考二模考前阶段检测。答题前，请将学校、班级、姓名、考号填写清楚。2．全卷共三大题，22小题。选择题10小题共30分，填空题6小题共18分，解答题6小题共102分，满分150分。考试时间120分钟。3．选择题每小题只有一个正确选项；填空题只写最终结果；解答题应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤。4．作答时保持卷面整洁。需要作图的题目，应使用铅笔和直尺规范作图；计算结果含根式、对数或三角函数值时，可保留精确形式。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。1．（3分）已知集合，，则等于（）A．B．C．D．2．（3分）复数，则的共轭复数为（）A．B．C．D．3．（3分）已知向量，，若，则等于（）A．B．C．D．4．（3分）在二项式的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．5．（3分）函数的最小正周期和分别为（）A．B．C．D．6．（3分）函数的图象与性质，下列判断正确的是（）A．偶函数，且在上递增B．奇函数，且在上递减C．偶函数，值域为D．奇函数，且在上递增7．（3分）圆的圆心坐标和半径分别为（）A．B．C．D．8．（3分）已知事件与相互独立，，，则等于（）A．B．C．D．9．（3分）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10．（3分）关于的方程有两个不同的正实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）抛物线的焦点到准线的距离为__________。12．（3分）等差数列中，，则前10项和为__________。13．（3分）已知向量，，则的最小值为__________。14．（3分）椭圆的离心率为__________。15．（3分）函数的最小值为__________。16．（3分）若函数在区间[m,m+1]上恒有，则实数m的最大值为__________。三、解答题：本大题共6小题，共102分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（15分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=1，b=2，c=√3，求a。作答区：18．（17分）某校为了解高三学生在二模前数学复习阶段的状态，随机抽取100名学生的一次数学阶段检测成绩，得到如下频数分布表：成绩区间[90,105)[105,120)[120,135)[135,150]人数10204030（1）用各组区间的中点估计这100名学生的平均成绩，并估计从该校高三学生中任选1人，其成绩不低于120分的概率；（2）若从这100名学生中按分层抽样抽取10人参加复习座谈，求各成绩区间应抽取的人数；（3）已知成绩在[135,150]区间的30名学生中有男生18人、女生12人。若从该区间随机抽取3人，求其中至少有2名男生的概率。作答区：19．（17分）如图形条件所述，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2。（1）证明：AD⊥平面PAB；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；（3）求点D到平面PBC的距离。作答区：20．（17分）已知函数（1）讨论函数f_a(x)的单调性，并求它的最大值；（2）若对任意x>0，恒有f_a(x)≤0，求实数a的取值范围；（3）利用（2）的结论证明：对任意x>0，lnx≤x−1，并指出等号成立的条件。作答区：21．（18分）已知椭圆C：过点P(4,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，且l的斜率为k。（1）求直线l与椭圆C有两个不同交点时k的取值范围；（2）设AB的中点为M，求点M的轨迹方程；（3）若OA⊥OB，求直线l的方程和△OAB的面积。作答区：22．（18分）设实数t>1，数列满足（1）证明：x_n>1，并求x_n的通项公式；（2）当t=2时，求x_n以及乘积x1x2…xn；（3）若称数列{x_n}为“压缩型数列”，当且仅当对任意正整数n都有x1x2…xn≤n+1。求使{x_n}成为压缩型数列的所有t的取值。作答区：

参考答案与解析一、选择题答案与关键理由1．A。A={1,2}，B={1,2,3}，所以交集为{1,2}。2．A。先算(1+i)^2=2i，故z=2i/(1−i)=−1+i，因此共轭复数为−1−i。3．A。由向量数量积得m+2=3，所以m=1，a−b=(0,1)，长度为1。4．C。通项为C(5,k)x^{5−k}(−2/x)^k。令5−2k=1，得k=2，系数为C(5,2)·4=40。5．A。sin(2x+π/3)的最小正周期为π，代入x=π/12得到sin(π/2)=1。6．D。f(−x)=−f(x)，故为奇函数；f′(x)=e^x+e^{−x}>0，故在R上递增。7．A。配方得(x−1)^2+(y+2)^2=9，圆心为(1,−2)，半径为3。8．C。独立时P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)，即0.7=0.4+p−0.4p，解得p=0.5。9．A。f′(x)=3x^2−3a。若在[-1,2]上恒有f′(x)≥0，由区间内x^2的最小值为0，得a≤0。10．B。方程等价于k=lnx/x。函数g(x)=lnx/x在x=e处取最大值1/e，且两端趋向0或负值；有两个正根需0<k<1/e。二、填空题答案与解析11．2。抛物线y^2=4x中2p=4，p=2，焦点到准线的距离为p=2。12．155。a_n=2+3(n−1)，S_10=10×2+3×(1+2+…+9)=20+135=155。13．√5。a+λb=(2−λ,1+2λ)，其模的平方为(2−λ)^2+(1+2λ)^2=5+5λ^2，最小模为√5。14．√5/3。椭圆中a=3，b=2，c=√(a^2−b^2)=√5，离心率e=c/a=√5/3。15．4。x>0时，x+4/x≥2√(x·4/x)=4，等号在x=2时成立。16．1。f(x)=x(x−2)≤0的解集为[0,2]。要使[m,m+1]包含于[0,2]，需0≤m≤1，所以m最大为1。三、解答题答案详解与评分标准17．答案详解由二倍角公式，。（1）因此函数的最小正周期为π，最大值为2。（2）由f(A)=1，得2sin(2A+π/3)=1。又A为锐角，所以2A+π/3∈(π/3,4π/3)，从而2A+π/3=5π/6，A=π/4。由余弦定理，，故。评分标准：化简三角函数并写出周期、最大值4分；由f(A)=1确定A=π/4共5分；正确使用余弦定理并得到a的值4分；表达规范、步骤完整2分。18．答案详解（1）各组中点分别为97.5，112.5，127.5，142.5。估计平均成绩为成绩不低于120分的人数为40+30=70，因此估计概率为0.70。（2）按分层抽样抽取10人，各区间人数分别为10×10/100=1，20×10/100=2，40×10/100=4，30×10/100=3。（3）从30人中任取3人，至少有2名男生包括“2男1女”和“3男”两类。评分标准：平均数计算4分；概率估计2分；分层抽样人数4分；列出至少2名男生的分类计数4分；化简结果2分；书写完整1分。19．答案详解（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD；又ABCD为正方形，所以AB⊥AD。PA与AB相交于A，且都在平面PAB内，因此AD⊥平面PAB。（2）建立空间直角坐标系：A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)。平面PAB为y=0，其法向量可取n=(0,1,0)。向量。直线与平面所成角为θ，则。（3）平面PBC过P，B，C。由向量PB=(2,0,−2)，PC=(2,2,−2)，可得法向量取(1,0,1)，平面方程为x+z−2=0。点D(0,2,0)到该平面的距离为评分标准：证明AD垂直平面PAB5分；建立坐标系并写出相关向量4分；求线面角正弦值4分；求平面方程与点面距离3分；论证清楚1分。20．答案详解（1）。当时导数为正；当时导数为负。因此函数在上递增，在上递减，最大值为。（2）对任意x>0恒有f_a(x)≤0，等价于函数最大值不超过0，即−lna≤0，所以a≥1。（3）取a=1，由（2）可知对任意x>0有lnx−x+1≤0，即lnx≤x−1。等号成立当且仅当x=1。评分标准：求导2分；单调区间4分；最大值3分；由最大值确定a的范围4分；证明基本不等式并说明等号条件3分；书写严谨1分。21．答案详解直线l可写为y=k(x−4)。代入椭圆方程，得（1）有两个不同交点需判别式大于0。故。（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(u,v)。由韦达定理，消去k，得4v^2=u(4−u)，即又由于直线需与椭圆有两个不同交点，轨迹取该方程上相应的点，且M不含端点对应的切线情形。（3）若OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0。由y_i=k(x_i−4)，并结合韦达定理，化简得所以，直线方程为。此时弦长的横坐标差为三角形面积为评分标准：代入并得到关于x的一元二次方程3分；判别式求k范围3分；中点坐标与轨迹方程5分；利用垂直条件求k4分；求面积2分；说明变量限制与过程规范1分。22．答案详解（1）因为t>1，先假设x_n>1，则x_{n+1}=2−1/x_n>1，所以由数学归纳法可得x_n>1。令则从而又，故，因此（2）当t=2时，y_n=n，故x_n=1+1/n=(n+1)/n。于是（3）设c=1/(t−1)>0，由（1）可写成所以乘积可伸缩相消：要使对任意正整数n都有x1x2…xn≤n+1，只需且只需1+n(t−1)≤n+1对任意n成立，即t−1≤1，结合t>1，得到1<t≤2。评分标准：归纳证明x_n>1共3分；引入y_n并得到等差关系4分；求通项4分；t=2时求通项和乘积3分；参数情形乘积公式3分；求出压缩型数列的t范围1分。逐题解析细化第1题从一元二次方程入手，先把集合A的元素确定出来，再与集合B逐一比较。此类题的关键是不要把集合的描述形式当作最终结果，应先求出方程的两个根，再做交集运算。根为1和2，二者都属于B，因此交集只含1和2。第2题考查复数运算和共轭复数概念。计算商式时，可以先化简分子，再对分母有理化。得到z的代数形式后，共轭复数只改变虚部符号，实部保持不变。若先写成三角形式再运算，也能得到相同结论，但本题代数法更直接。第3题利用平面向量数量积确定参数。向量的数量积等于对应坐标乘积之和，由此得到关于m的一次方程。求得m后，再代入向量差的坐标表达式。此题的易失分点是把向量差写成b−a，但长度相同，若后续计算正确仍可得到相同结果。第4题要抓住二项式通项中x的指数。展开式每一项都由一个x的正幂和一个x的负幂相乘得到，指数会随选取的负幂次数变化。令总指数等于1即可确定项数，再计算组合数和系数。负号的偶次方为正，是判断答案符号的关键。第5题考查三角函数的周期与特殊角求值。正弦函数内部角为一次式2x+π/3，角速度为2，所以周期为π。代入x=π/12时，内部角恰为π/2，函数值达到1。若把外层正弦的周期误认为2π，就会导致选项判断错误。第6题可以从奇偶性和导数两方面判断。f(−x)与f(x)互为相反数，故函数为奇函数。导数由两项正函数相加构成，始终大于0，因此函数在整个实数集上严格递增。值域实际上为全体实数，不是非负区间。第7题把圆的一般方程配方为标准方程即可。x项和y项分别配方，常数项移到等号右边，得到圆心与半径。配方中y的系数为4，对应y+2，因此圆心纵坐标为−2，这是本题最容易看反的地方。第8题考查独立事件的并事件概率。独立性意味着交事件概率可以写成两个事件概率的乘积。设P(B)=p，代入并事件公式后得到一次方程。此题不能把P(A∪B)直接写成P(A)+P(B)，因为两个事件可能同时发生。第9题用导数刻画单调性。三次函数在给定闭区间上单调递增，需要导数在该区间内非负。导数为二次表达式，其最小值出现在x=0，而0属于区间。于是只需保证该最小值非负，就得到a的取值范围。第10题把方程根的个数转化为函数图象交点个数。令k等于lnx与x的比值，研究该比值函数在正半轴上的变化。函数在x=e处取最大值，且只有当水平线高度介于0与最大值之间时，图象有两个交点。端点情形会使根的个数发生变化。第11题中标准抛物线的参数决定焦点与准线的位置。由方程可读出参数p，焦点到准线的距离正是p的长度。本题不需要求出焦点和准线方程的完整形式，只需识别标准形式。第12题是等差数列求和。由递推式可知公差为3，首项为2。前10项和既可以用首末项公式，也可以把首项贡献和公差贡献分开计算。两种方法都应得到155。第13题把向量模长最小转化为二次函数最小值。写出a+λb的坐标后，模长平方是关于λ的二次式。该二次式没有一次项，最小值在λ=0处取得，模长为√5。使用平方形式可以避免处理根号下的变量。第14题考查椭圆基本量。标准方程中长半轴在x轴方向，a和b可以直接读出。焦距参数满足c²=a²−b²，离心率为c/a。此题需先判断长轴方向，不能把分母较小的数当作a²。第15题可用基本不等式处理。由于x为正数，x和4/x均为正数，二者乘积固定为4，因此和的最小值为4。等号要求两项相等，即x=2。第16题先求二次不等式的解集，再把整个区间嵌入解集中。函数x²−2x在0到2之间不大于0，所以区间[m,m+1]必须完全落入[0,2]。由左端点和右端点同时限制m，最大值为1。第17题的解题路径是先化简函数，再把三角形中的角作为自变量代入。二倍角公式把原函数化为同角的正弦与余弦组合，再合成为正弦型函数。求角A时，锐角条件用于确定唯一角值；随后三角形边长由余弦定理确定。第18题的数据处理应体现抽样估计思想。平均数用组中值代表各区间成绩，再按频数加权。概率估计来自样本频率。分层抽样的本质是保持各层比例不变。最后一问属于无放回抽取，用组合数列举满足条件的取法，再除以总取法。第19题既可用空间几何判定，也可用空间坐标计算。第一问利用两条相交直线同时垂直于AD，推出AD垂直平面PAB。第二、三问建立坐标系后运算清晰：线面角正弦可由方向向量与法向量的夹角转化，点面距离可由平面方程直接求得。第20题体现导数在恒成立问题中的作用。先由导数确定函数的单调区间和最大值，再把“对任意x成立”转为“最大值不超过0”。当参数取1时，所得结论正是对数函数的基本不等式，等号在切点位置成立。第21题的核心是直线与椭圆联立后的韦达定理。判别式控制交点个数，中点坐标由两根和得到。垂直条件转化为坐标内积为0，再与根和、根积结合求出斜率。面积公式可由坐标行列式推得，计算时注意斜率的两个符号对应同一面积。第22题通过换元把非线性递推化为等差递推。只要证明每一项大于1，换元就合法。通项公式得到后，乘积具有连续相消结构。第三问要求对所有正整数同时成立，因此要得到一般n的乘积表达式，再判断参数t的充分必要条件。解答题规范作答要点第17题规范作答要点：本题第一步应写出二倍角公式的使用过程，不能只给最终周期。较完整的表达应包含“2sinxcosx=sin2x”和“2cos²x−1=cos2x”两层转化，由此把原式整理成sin2x+√3cos2x。合成时要说明振幅为2，辅助角取π/3，随后周期由内部角2x决定。第二步求A时，应把A为锐角这一限制写进角度范围，保证方程只有一个符合条件的解。最后使用余弦定理时，边与角的对应关系要清楚，a是角A的对边，b与c是夹角A的两边。第18题规范作答要点：统计题应先说明样本对总体的估计意义，再进行数值计算。平均数估计采用组中点，是因为每个区间内个体具体成绩未知，用中点代表本组数据是分组统计中的常规处理。分层抽样一问要写出每层抽取人数与样本总量的比例关系，不能只给最终四个数。概率问题中，总体是[135,150]区间的30名学生，抽取方式为不放回抽取，所以分母为从30人中选3人的总数。分子应由互斥情形相加，互斥情形分别是2名男生1名女生和3名男生。第19题规范作答要点：空间几何题应把“已知垂直关系”“正方形中的垂直关系”“线面垂直判定”三者连接起来。第一问中，PA垂直底面推出PA垂直底面内任一直线，特别是AD；正方形推出AB垂直AD；PA和AB在平面PAB内且相交，因此AD垂直该平面。建立坐标系时要让底面落在坐标平面内，并把PA作为竖直方向，这样所有点坐标都很简洁。求线面角时要记住线面角的正弦等于方向向量与平面法向量夹角的余弦绝对值。求点面距离时，平面方程必须先由法向量和过平面的一点确定。第20题规范作答要点：导数题评分时很看重“讨论”的完整性。因为参数a已经限定为正数，所以驻点1/a必在定义域内。导数符号应按0到1/a、1/a到正无穷两个区间写清楚，进而说明先增后减。恒成立问题不能只代入某个特殊x，而应使用函数全局最大值。若最大值不超过0，则函数所有值都不超过0；若最大值大于0，则在最大点处命题不成立。第三问的等号条件来自最大点x=1，而不是由经验判断。第21题规范作答要点：解析几何题在联立方程后要保持代数式书写准确。过点P(4,0)且斜率为k的直线写成y=k(x−4)，代入椭圆后得到一元二次方程。判别式控制两个不同交点，韦达定理提供两根和与两根积。中点轨迹需要把u、v都写成k的函数，再消去参数；消元时最好先由u表达k²，再与v²结合，避免符号带来的干扰。第三问中，OA与OB垂直等价于两个位置向量数量积为0，代入直线表达式和韦达结果即可求k²。面积计算中两个斜率符号对应关于x轴对称的两条直线，面积相同。第22题规范作答要点：递推数列题要先保证变形合法。由于换元中出现x_n−1作为分母，所以必须先证明所有项大于1。归纳证明包括首项成立、由第n项成立推出第n+1项成立两个环节。换元后得到y_{n+1}=y_n+1，这是等差数列，通项可以直接写出。乘积部分要把每一项写成相邻两项相除的结构，才能形成首尾相消。第三问是“对任意正整数n”成立，必须得到关于n的一般表达式；仅验证前几项不能证明全部情形。得分点分层说明基础运算层面：本卷客观题与填空题覆盖集合、复数、向量、二项式、三角函数、函数性质、圆锥曲线初步、概率、导数与数列等基础模块。评分时应重点关注结果是否与题意完全匹配。选择题不要求呈现过程，但在训练时应要求学生写出最短推导链条，用于检查选项唯一性。填空题若存在等价表达，需看数学意义是否完全相同；若只是近似小数而题目要求精确值，应按精确性要求处理。函数与导数层面：第9题、第10题、第20题共同体现导数工具的不同用途。第9题考查由导数非负推出单调，第10题考查函数最值控制方程根的个数，第20题考查最大值与恒成立之间的等价转化。阅卷时对“导数符号表述”和“区间完整性”应特别重视。只写结论而没有说明定义域和参数限制的解答，不宜给足过程分。几何与代数结合层面：第19题与第21题分别体现空间向量和解析几何的代数化思想。空间几何中，坐标系建立是否合理会直接影响后续计算；解析几何中，联立后的二次方程、判别式、韦达定理和向量垂直条件构成完整链条。若学生采用纯几何方法完成第19题，或采用参数方程方法完成第21题，只要逻辑完整、计算正确，应按同等标准给分。概率统计层面：第8题和第18题分别考查概率公式和统计样本估计。独立事件问题必须体现交事件概率的乘积形式；分层抽样必须体现比例保持；组合计数必须明确分母和分子所代表的事件。若学生使用树状图或列表法完成第18题第三问，只要无重复且无遗漏，结果与组合数法一致，也应给满分。数列与推理层面：第12题是等差数列基础，第22题是递推数列综合。第22题的关键不是单纯算出若干项，而是找到递推结构的线性化方式。评分中应区分“发现规律”和“证明规律”两个层次：只列出前几项只能获得有限过程分，能够用归纳或代入验证通项，才能获得主要分。参数范围题要说明充分性和必要性。整卷分值核对：选择题10题每题3分共30分，填空题6题每题3分共18分，解答题分值依次为15分、17分、17分、17分、18分、18分，共102分。三部分合计150分。阅卷时应保持分点记录清楚，主观题每一问的过程分不应与其他问混淆；若学生在前问结果错误但后问方法正确，可在后问中保留独立方法分。答案核验与评分闭环客观题核验应按“题干条件—核心运算—唯一选项”的顺序完成。对于含参数或函数图象判断的题目，应核对定义域、参数取值和端点情形，防止因只考察局部情况而误判。第6题、第9题、第10题尤其需要关注全体实数或全体正实数范围内的性质，而不是单点代入。填空题核验应重视精确性。第11题中的距离、第14题中的离心率、第15题中的最小值都要求精确结果；第16题涉及区间包含关系，最大值必须由左右端点共同确定。若学生给出与精确值等价的根式或分式形式，应按正确答案处理。解答题核验应按分问独立检查。第17题先核三角恒等变形，再核三角形计算；第18题先核统计估计，再核抽样分配和组合概率；第19题先核垂直证明，再核线面角和距离；第20题先核导数结论，再核恒成立与不等式；第21题先核判别式，再核中点轨迹与垂直面积；第22题先核换元，再核通项、乘积与参数范围。评分闭环应体现“结论正确、过程充分、书写清楚”三项要求。结论正确但过程缺失的主观题不能给满全部分值；过程方向正确但出现个别算术误差的，应在对应层级保留方法分；结论与过程矛盾时，以可核验的推理为主。全卷总分核算后，应再次检查各大题分值是否分别为30分、18分和102分。整卷能力覆盖本卷按高三高考二模的综合检测要求设置，既保留基础题的稳定得分点，也安排函数、解析几何、数列等综合题形成区分度。选择题前半部分以基础运算为主，后半部分逐步过渡到函数性质和参数判断，能够检验学生对概念、公式和图象语言的综合掌握程度。填空题强调快速、准确、精炼的求解能力。六个填空分别覆盖抛物线参数、等差数列求和、向量最值、椭圆离心率、基本不等式和二次函数区间限制，题量不大但要求计算严谨。每题答案都可以由题干直接推出，不依赖额外条件。解答题的顺序由常规到综合。三角函数题注重恒等变形和解三角形，统计概率题注重数据读取与抽样模型，立体几何题注重证明与坐标运算，导数题注重最值和恒成立，解析几何题注重联立、消元与面积，数列题注重递推转化和参数范围。参考答案部分既给出最终结果，也给出关键推理、计算依据和分值分配。评分标准围绕可核验步骤展开，便于教师批阅，也便于学生在考后对照检查自己的失分原因。整卷分值结构与卷头保持一致，题号与答案号一一对应。二模模拟卷还应体现阶段复习的诊断功能。本卷在每个模块中保留可直接得分的基础入口，同时在综合题中设置需要多步推理的问法，使学生能够通过一次完整作答发现计算、表达、模型选择和论证完整性上的薄弱环节。答案与评分标准围绕这些环节展开，保证阅卷口径清楚、分值分配明确。整份试卷的题目条件均已在题干中给出，学生无需借助其他材料即可完成作答；参考答案中的每一个结果均与对应题号保持一致，分步评分也只围绕本卷已列出的22道题展开，便于直接打印、组织考试和统一阅卷。卷面结构紧凑，作答区预留充分，适合A4纸双面或单面打印使用。所有题目均围绕高中数学核心内容设置。答案部分逐题对应，便于考后核对。适合作为阶段检测卷使用。可打印。评分细则与阅卷原则客观题评分细则：选择题每小题3分，只按最终选项给分，未选、多选或选项无法辨认均不得分。若学生在卷面上写出计算过程但最终选项错误，不单独给过程分；若选项正确，无论过程是否完整均得3分。填空题每小题3分，只看最终结果，等价形式可给满分，例如√5/3与(√5)/3视为同一结果；涉及区间或不等式时，端点、方向、