2026届重庆市高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

第页2026届重庆市高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：____________________班级：____________姓名：____________考号：________________考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．本试卷依据高三数学第二轮复习进度与高考二模检测要求编制，突出基础整合、关键能力、运算求解和综合应用。2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写清楚。客观题答案填入答题栏，解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。3．全卷共22题。选择题10题，每题3分，共30分；填空题6题，每题3分，共18分；解答题6题，共102分。4．书写要规范，结果应化为最简形式；凡涉及近似值，应按题目要求保留。题型选择题填空题解答题总分阅卷人分值3018102150一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。1．已知集合A={x｜x²−5x+6≤0}，B={x｜x<4}，则A∩B等于（）A．[2,3]B．[2,4)C．(−∞,3]D．[3,4)2．复数z满足(1+i)z=2−4i，则z的虚部为（）A．−3B．−1C．1D．33．某校高三年级在二模前组织数学限时训练，抽取80名学生的成绩分组统计如下：90分以下12人，90—110分28人，110—130分30人，130分以上10人。若用分层抽样抽取16人参加讲评座谈，则成绩在110—130分段应抽取（）A．4人B．5人C．6人D．8人4．已知向量a=(2,−1)，b=(1,m)，若a⊥(a+2b)，则m等于（）A．−3B．−1C．3D．9/25．函数f(x)=lnx−x+2的零点所在区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)6．已知等差数列{aₙ}满足a₂+a₅=16，a₃=6，则a₈等于（）A．18B．22C．26D．307．将函数y=sin(2x+π/3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到偶函数图象，则φ的最小值为（）A．π/12B．π/6C．π/4D．5π/128．已知双曲线C：x²/a²−y²/b²=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，且焦距为2√5，则C的标准方程为（）A．x²−y²/4=1B．x²/4−y²=1C．x²−y²=1D．x²/2−y²/8=19．在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱PA=√6，则直线PA与底面ABCD所成角的正弦值为（）A．√3/3B．√2/2C．√6/3D．2√2/310．设函数f(x)=x³−3x²+ax+1。若f(x)在区间(0,3)内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,0)B．(0,3)C．[0,3]D．(3,+∞)

选择题答题栏12345678910二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．若抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且P到准线的距离为5，则PF=________。12．已知二项式(x−2/x)⁶的展开式中常数项为________。13．袋中有大小相同的5个红球、3个白球，从中不放回地随机取2个球，则取出的两个球颜色不同的概率为________。14．已知圆C：x²+y²−4x+2y−4=0与直线l：x+y+k=0相切，则k的取值为________。15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a=4，b=5，cosC=3/5，则c=________。16．已知正实数x，y满足x+2y=6，则xy²的最大值为________。填空题答题栏111213141516三、解答题：本题共6小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分15分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=2，aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ(n∈N*)。（1）求证：数列{aₙ/2ⁿ}为等差数列；（2）求Sₙ，并求满足Sₙ>2026的最小正整数n。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18．（本小题满分17分）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2√2，AA₁=3，D为BC的中点。（1）证明：AD⊥平面BCC₁B₁；（2）求二面角A₁-BD-C的余弦值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19．（本小题满分17分）重庆某区在高考二模后对高三学生进行“函数与导数”专题复盘。某班36名学生的专题得分x（满分20分）按区间[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]统计，频数分别为3，5，8，10，7，3。（1）估计该班学生专题得分的平均数；（2）从得分不低于16分的学生中随机抽取2人参加经验交流，已知其中[18,20]区间有3人，求抽到的2人中至少1人来自[18,20]区间的概率；（3）若以样本频率估计概率，从全区同层次学生中随机抽取4人，记得分不低于16分的人数为X，求X的分布列和数学期望。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20．（本小题满分17分）已知椭圆E：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为1/2，且过点M(1,3/2)。直线l：y=kx+m与E交于P，Q两点。（1）求椭圆E的标准方程；（2）若OP⊥OQ，求m²关于k的表达式，并写出k的取值范围。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21．（本小题满分18分）已知函数f(x)=eˣ−ax，其中a∈R。（1）若a=e，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥0对任意x>0恒成立，求a的取值范围；（3）当a=2时，证明方程f(x)=1在(0,+∞)上有且仅有一个实根。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22．（本小题满分18分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=2cosθ，y=sinθ（θ为参数）。以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π/4)=√2。（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长AB；（3）若点T(t,0)在x轴上，求|TA|²+|TB|²的最小值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案与解析评分说明：选择题、填空题按答案给分；解答题按步骤给分，关键结论正确但过程不完整时酌情给分。若考生采用不同方法且逻辑严密、运算正确，可参照相应步骤给分。一、选择题答案与解析12345678910AACDDCDACB1．答案A。由x²−5x+6≤0得(x−2)(x−3)≤0，即2≤x≤3；又B={x｜x<4}，故A∩B=[2,3]。本题考查集合运算与一元二次不等式，易错点是把交集误写成[2,4)。2．答案A。z=(2−4i)/(1+i)=((2−4i)(1−i))/2=(−2−6i)/2=−1−3i，虚部为−3。注意虚部是实数−3，不含符号i。3．答案C。分层抽样应保持各层比例一致，抽样比例为16/80=1/5。110—130分段人数为30，应抽取30×1/5=6人。4．答案D。a+2b=(4,2m−1)，由垂直得a·(a+2b)=0，即2×4+(−1)(2m−1)=0，9−2m=0，解得m=9/2。5．答案D。函数f在(0,+∞)上连续。f(3)=ln3−1>0，f(4)=ln4−2<0，因此由零点存在定理可知零点在(3,4)内。6．答案C。设aₙ=a₁+(n−1)d。由a₂+a₅=2a₁+5d=16，a₃=a₁+2d=6，得d=4，a₁=−2，故a₈=a₁+7d=26。7．答案D。向右平移φ后解析式为y=sin(2x+π/3−2φ)。要成为偶函数，需相位为π/2+kπ。取k=−1得到π/3−2φ=−π/2，所以φ=5π/12，且为最小正值。8．答案A。双曲线渐近线斜率为b/a，因此b/a=2。又c²=a²+b²=5a²，焦距2c=2√5，得c=√5，a=1，b=2，标准方程为x²−y²/4=1。9．答案C。设底面中心为O，则AO=√2，PO⊥底面，PA=√6。由PO²=PA²−AO²=4得PO=2，故直线PA与底面所成角α满足sinα=PO/PA=2/√6=√6/3。10．答案B。f'(x)=3x²−6x+a。函数在(0,3)内有两个不同极值点，等价于f'(x)=0在(0,3)内有两个不同实根。根为1±√(1−a/3)，由此得0<a<3。二、填空题答案与解析11．5。抛物线定义表明，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离。已知点P到准线的距离为5，因此PF=5。12．−160。通项为T_{r+1}=C(6,r)x^{6−r}(−2/x)^r=C(6,r)(−2)^rx^{6−2r}。令6−2r=0得r=3，所以常数项为C(6,3)(−2)^3=20×(−8)=−160。13．15/28。不同色取法为C(5,1)C(3,1)=15，总取法为C(8,2)=28，所求概率为15/28。此题不放回，但一次取2个球时直接用组合计数即可。14．−1±3√2。圆C配方得(x−2)²+(y+1)²=9，圆心为(2,−1)，半径为3。直线到圆心距离为|2−1+k|/√2=|k+1|/√2，相切时等于3，故k=−1±3√2。15．√17。由余弦定理c²=a²+b²−2abcosC=16+25−2×4×5×3/5=17，故c=√17。16．8。由x+2y=6得x=6−2y，且0<y<3。令F(y)=xy²=(6−2y)y²=6y²−2y³，则F'(y)=12y−6y²=6y(2−y)。当y=2时，x=2，F取得最大值8。

三、解答题答案详解与评分标准17．【答案与解析】设bₙ=aₙ/2ⁿ。由aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ，两边同除以2ⁿ⁺¹，得bₙ₊₁=aₙ/2ⁿ+1/2=bₙ+1/2（4分）又b₁=a₁/2=1，因此{bₙ}是首项为1、公差为1/2的等差数列，bₙ=1+(n−1)/2=(n+1)/2（3分）由bₙ=aₙ/2ⁿ，得aₙ=(n+1)2ⁿ⁻¹。这里需写明由辅助数列还原原数列，否则结论不完整（3分）Sₙ=∑_{k=1}^n(k+1)2^{k−1}=∑_{k=1}^nk2^{k−1}+∑_{k=1}^n2^{k−1}（2分）利用错位相减或常用求和式得∑k2^{k−1}=(n−1)2ⁿ+1，且∑2^{k−1}=2ⁿ−1，所以Sₙ=n2ⁿ（2分）比较7×2⁷=896，8×2⁸=2048>2026，故满足条件的最小正整数n=8（1分）18．【答案与解析】由AB=AC=2，BC=2√2，可得AB²+AC²=BC²，△ABC为以A为直角顶点的等腰直角三角形。D为BC中点，故AD既是斜边中线也是斜边上的高，AD⊥BC（4分）因为AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥AD；又CC₁∥AA₁，所以CC₁⊥AD。BC与CC₁是平面BCC₁B₁内两条相交直线，且AD同时垂直于它们，所以AD⊥平面BCC₁B₁（4分）建立空间直角坐标系：以D为原点，DB方向为x轴，DA方向为y轴，过D且平行AA₁方向为z轴，则B(√2,0,0)，C(−√2,0,0)，A(0,√2,0)，A₁(0,√2,3)（3分）平面CBD即底面所在平面，可取法向量n₂=(0,0,1)。平面A₁BD内有方向向量BD=(1,0,0)，DA₁=(0,√2,3)，故其法向量可取n₁=(0,−3,√2)（4分）二面角的余弦值等于相应法向量夹角余弦的绝对值，因此cos=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=√2/√11=√22/11（2分）19．【答案与解析】用组中值估计平均数。各组组中值依次为9，11，13，15，17，19，频数依次为3，5，8，10，7，3（2分）估计平均数为(3×9+5×11+8×13+10×15+7×17+3×19)/36=512/36=128/9，约为14.22分（3分）得分不低于16分的学生共7+3=10人，其中[18,20]区间有3人。随机抽取2人，总基本事件数为C(10,2)=45（2分）至少1人来自[18,20]区间的对立事件是2人都来自[16,18)区间，其基本事件数为C(7,2)=21，所以概率为1−21/45=8/15（3分）以样本频率估计单个学生得分不低于16分的概率，得p=10/36=5/18。随机抽取4人可视为独立重复试验，故X服从二项分布B(4,5/18)（3分）分布列为P(X=r)=C(4,r)(5/18)^r(13/18)^{4−r}，r=0,1,2,3,4。写成表格或逐项列出均可（2分）二项分布期望为E(X)=np=4×5/18=10/9（2分）20．【答案与解析】由离心率e=c/a=1/2，可得c²=a²/4。又b²=a²−c²，所以b²=3a²/4（3分）点M(1,3/2)在椭圆上，代入x²/a²+y²/b²=1，得1/a²+(9/4)/b²=1（3分）将b²=3a²/4代入，得1/a²+3/a²=1，即a²=4，b²=3，所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（3分）椭圆也可写为3x²+4y²=12。将y=kx+m代入，得(3+4k²)x²+8kmx+4m²−12=0（2分）设交点横坐标为x₁，x₂，由韦达定理得x₁+x₂=−8km/(3+4k²)，x₁x₂=(4m²−12)/(3+4k²)（2分）因为y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，故y₁y₂=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²（2分）OP⊥OQ等价于x₁x₂+y₁y₂=0，代入并化简得7m²−12(1+k²)=0，因此m²=12(1+k²)/7（3分）判别式条件化为3+4k²−m²>0，代入m²后为(9+16k²)/7>0，恒成立，故k∈R（2分）

21．【答案与解析】f'(x)=eˣ−a。当a=e时，f'(x)=eˣ−e。由eˣ−e<0可得x<1，由eˣ−e>0可得x>1（3分）因此f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。x=1处为极小值点（3分）若f(x)≥0对任意x>0恒成立，则eˣ−ax≥0，即a≤eˣ/x对任意x>0成立（3分）令g(x)=eˣ/x，x>0。g'(x)=eˣ(x−1)/x²，所以g(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增（3分）g(x)的最小值为g(1)=e。因此要使a≤g(x)对一切x>0成立，必要且充分条件为a≤e（3分）当a=2时，方程f(x)=1化为h(x)=eˣ−2x−1=0。h(0)=0，但x=0不属于(0,+∞)，需研究正根（2分）h'(x)=eˣ−2，h''(x)=eˣ>0，故h'严格递增，并在x=ln2处由负变正，h在(0,ln2)递减，在(ln2,+∞)递增（2分）又h(1)=e−