吉林省长春市三校2026届高三上学期第三学程联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省长春市三校2026届高三上学期第三学程联考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.下列说法不正确的是（）A.命题p：，，则命题p的否定：，B.若集合中只有一个元素，则C.若，，则D.已知集合，且，满足条件的集合N的个数为4【答案】B【解析】对于A，由全称命题的否定知，命题p：，，的否定为，，故A正确；对于B，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B不正确；对于C，因为，，所以，，则，故C正确.对于D，由，故集合N的个数为，故D正确.故选：B.2.设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；当且时，设存在直线，且，因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件．故选：A．3.已知数列中，，，则（）A.1 B. C.－1 D.－2【答案】D【解析】因为，，所以，，，所以是以3为周期的数列，所以.故选：D.4.已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为双曲线的焦距为12，所以，解得，又，所以该双曲线的离心率为.故选：C.5.已知平面上不共线的四点，，，，满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，所以，所以，因为，所以，所以.故选：A.6.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等，所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为，则外接球半径，所以，又，所以，而，则，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积为，则三棱锥的体积的最大值为.故选：D.7.在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确．学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项．事件：两人选择都正确；事件：两人选择都错误；事件：至少有一人选择正确，则（）A.与互为对立事件 B.与互斥C. D.【答案】C【解析】由条件得两人作答总共有种等可能的选法，设正确选项为A.则事件：两人都选对（即都选A）共有1种选法，故，事件：两人都选错（即都从B、C、D中选）共有种选法，故，事件：至少一人选对等价于总的方法数减去两人都选错的方法数，即共有种选法，故.对于A：因“至少一人对、一人错”的情况既不在也不在中，即，故与互为对立事件不成立，故A错误；对于B：由条件得是的子集，即，即与不互斥，故B错误；

对于C：，即成立，故C正确；对于D：由条件概率公式得：，故D错误.故答案为：C.8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，解得：，不满足条件；故，关于的不等式可得，所以，即，方程的两根为，当时，不等式可化为，，解集为：，不满足条件；当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为：，要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；当时，则，即，不等式的解集为空集，当时，则，即，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，故实数的取值范围是：.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（）A.B.复数z的虚部为C.D.复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】AC【解析】因为，所以，对于A：，A正确；对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误；对于C：因为，所以，所以，又，所以，C正确；对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，D错误；故选：AC.10.已知，，，则下列结论成立的是（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AB【解析】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确；对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确；对于C，由，可知，且，，，不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误；对于D，，故，最小值大于1，故D错误.故选：AB.11.已知函数，则（）A.的最大值是 B.在上单调递增C. D.在上有两个零点【答案】AC【解析】对于A，由于，且，所以的最大值是，故A正确；对于B，因为，所以在上不是单调递增的，故B错误；对于C，由于，故，故C正确；对于D，若，则，即，可得，，解得，，所以在上恰有个零点，故D错误.故选：AC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设为数列的前项和，若，，则______.【答案】27【解析】由于，则，所以，所以.故答案是：.13.已知，若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是______.【答案】【解析】由圆的方程，可得圆心为，半径为3，若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离小于，直线的一般式方程为，则，解得，则的取值范围是.故答案为：.14.已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________．【答案】1【解析】.不妨取，则，所以，即，亦即.令，则问题等价转化为是增函数.所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立.令，则，因为二次函数在上单调递增，所以当时，，即，所以是增函数，所以，即，所以实数的最大值为1.故答案为：1.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求C；（2）若、，在角C的平分线上取点D，且，判断点D是否在线段上？请说明理由.解：（1）由及正弦定理可得，，又因为，所以，即，化简得，因为，所以，即，即，又，所以；（2）点D不在线段上.理由如下：理由一：设为角平分线，E在上，（面积等量）所以，所以D不在上理由二：由（1）及，及余弦定理可得，，所以，设c边上的高为h，所以，即，所以，假设D在上，即为c边上的角平分线，则，因为，即，这与矛盾，所以点D不在线段上.16.近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表．年龄食用频数25岁以下（）25岁到50岁50岁及以上（）轻食低频消费者（每周次）153550轻食中频消费者（每周2-3次）554540轻食高频消费者（每周4-6次及以上）302010（1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率．（2）从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为，，记，求的分布列与期望．对应的概率，即可得的分布列与期望.解：（1）记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件，，，其为高频消费者为事件B，则，，，由表中数据估计概率，，，所以，即从该地区中任抽一人，其为高频消费者的概率为．（2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为3和2，依题意，的所有可能取值分别为0、1、2、3．所以，，，．所以的分布列为：0123P所以的数学期望为．17.如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，．．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）若点在上，且．（i）当时，求到平面的距离：（ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由平面平面，平面平面，平面，，得平面.因为，平面，所以．又四边形为直角梯形且，则，故两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，取，从而，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）因为，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，从而.（i）当时，，从而到平面的距离为.（ii）假设存在满足题意，与平面所成角为，则.化简得，解得或．故存在或，使得与平面所成角的正弦值为.18.在数列中，.（1）求证：是等比数列；（2）若等比数列满足.（i）求的值；（ii）记数列的前项和为.若，求的值.（1）证明：因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：（i）由（1）可得，所以，所以，则，因为数列为等比数列，所以，即，化简得，解得或，又，所以，当时，，此时为定值，符合题意；（ii）由（i）可知，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，易知，所以，所以为偶数，因为，所以，化简得，解得或（舍去），所以．19.已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点.①求a的取值范围；②若成等差数列，求证：.（1）解：，定义域为，，令得，故的单调递减区间为；（2）①解：，即，故，有三个不同的零点，故有3个不同的正根，令，定义域为，则需有两个极值点，则需有两个不同的