吉林省长春市四县区2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省长春市四县区2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.直线的倾斜角是，则的值是（

）A. B. C. D.1【答案】C【解析】直线的倾斜角是，得，所以.故选：C.2设是等差数列的前项和,若,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，选A.3.若抛物线上的点到焦点的距离为，则它到轴的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为12，可知M到准线的距离也为12，故到M到轴的距离是8.故选：B．4.等比数列中，已知，则（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】若等比数列的公比为，由题设，则，即，由.故选：A.5.圆在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将圆的方程化为标准方程得，∵点在圆上，∴点P切点．从而圆心与点P的连线应与切线垂直．又∵圆心为，设切线斜率为k，∴，解得．∴切线方程为．故选：D.6.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”．如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，因为平面的方程是，所以法向量由平面方程是，所以法向量，所以，所以，故选：A.7.已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（）A B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，，，，，，故双曲线的标准方程为.故选：B.8.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，在中结合余弦定理可得，故，即，所以，因此，故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）9.已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.的面积为1C.到双曲线的一条渐近线的距离为2D.以为直径的圆的方程为【答案】AB【解析】对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确；对于B，由双曲线，可得，则，设，则，所以，得，因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确；对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误；对于D，由于，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误，故选：AB.10.首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）A.若，则，；B.若，则使的最大的n为15；C.若，，则中最大；D.若，则.【答案】ABD【解析】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD.11.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（）A.该椭圆的焦距为6 B.的最小值为2C.的值可以为 D.的值可以为【答案】ABC【解析】由椭圆，得，，，故A正确；椭圆上的动点，，即有，故的最小值为2，B正确；设，，，…组成的等差数列为，公差，则，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.等差数列的前项之和为，若，，则______．【答案】90【解析】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故答案为：90.13.若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________.【答案】【解析】当直线与双曲线的渐近线平行时，，此时直线与双曲线的其中一支有一个交点，若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，可得直线一定在两渐近线之间，则k的取值范围为.故答案为：.14.若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数字，则=_____________．【答案】4【解析】因为，整理得，由已知得，所以，则有，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则其通项公式为，所以，又，个位数字为2；，个位数字为4；，个位数字为8；，个位数字为6，所以数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环，所以与的个位数字相同，所以.故答案为：4.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程步骤.）15.已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；(1)若，求的直线方程；(2)若，求的直线方程．解：（1）由，得，∴与的交点为.设与直线平行的直线为，则，∴.∴所求直线方程为.（2）设与直线垂直的直线为，则，解得．∴所求直线方程为.16.已知数列是一个公差为的等差数列，前n项和为成等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列{}的前10项和．解：（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即5d2=a1d，又∵d≠0，可得a1=5d；而，解得d=1，所以an=a1+（n1）d=n6，即数列{an}的通项公式为an=n6．（2）因为，所以，令，则为常数，∴{cn}是首项为5，公差为的等差数列，所以的前10项和为．17.如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.（1）证明：平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，又且，、平面PAB，平面；（2）解：取中点为，连接、，又，，则，，，，，则，以为坐标原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，设为平面的一个法向量，∴由，得，令，则，设与平面所成角为，.则直线与平面所成角的正弦值为.18.在数列中，，．（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）∵，等式两边同时除以得，，即．当时，可得．∴，，．．．．．，．以上各式累加得，又，当时，，又时，也满足上式，∴，．（2）由（1）可得，∴，①，②①-②，得，∴．19.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．解：（1）由题意，因为，为直角三角形，所以.又，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，,显然直线的斜率存在，设直线