内蒙古自治区乌兰察布市九师联盟2026届高三上学期模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区乌兰察布市九师联盟2026届高三上学期模拟预测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，则.故选：C.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.3.已知向量，若与共线，则实数（）A. B.2 C.或2 D.或【答案】D【解析】因为与共线，所以，即，解得或.故选：D.4.若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由题意知，所以，所以.故选：D.5.已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为，则上的点到点的距离为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】抛物线，，的准线方程为，故关于准线的对称点为，焦点关于的准线的对称点为，，解得，抛物线方程为，点在抛物线上，，解得，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，，故A正确．故选：A．6.已知直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件，由，得，解得，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件.故选：C.7.若曲线与曲线仅有4个公共点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】曲线等价于，表示位于一、二象限的半圆，圆心为，半径，曲线表示边长为的正方形，图像如下图所示，当时，圆心到曲线的距离为2，即曲线与相切，有两个公共点；当时，曲线的3个顶点在上，即曲线与有三个公共点；当时，曲线与有4个公共点，当时，曲线与无公共点；曲线与曲线仅有4个公共点，，故B正确．故选：B．8.已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由恰有5个零点，则关于的方程恰有5个相异实根，令，问题转化为满足的恰有5个不同的解.作出函数的图象，如图所示，由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，此时仅有1个实根，不合题意；当时，仅有两个相异实根，而各仅有1个实根，不合题意；当时，仅有3个实根，且各仅有1个实根，且两实根均小于，则有三个实根，必有，所以.又，所以，此时的5个实根互不相等，即恰有5个零点；当时，仅有2个相异实根，且，此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意.所以实数的取值范围为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.在上的值域为D.在上单调递增【答案】BC【解析】因为，所以的图象关于点对称，不关于直线对称，故A错误；，故的图象关于点对称，故B正确；当时，，所以，即的值域为，故C正确；当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D错误.故选：BC.10.已知曲线为上一点，为坐标原点，则（）A.C关于轴对称B.关于轴对称C.的取值范围分别为D.的最大值为2【答案】ABC【解析】用换方程中的，化简后方程不变，故关于轴对称，同理可得，关于轴对称，故AB均正确；由，得，解得，同理可得，故C正确；在曲线上，所以，所以，当时，取得最大值，故D错误.故选：ABC.11.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（）A.若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形B.若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值C.若为的中点，则平面D.若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为【答案】ABD【解析】连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确；若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变，又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确；如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误；如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则.易证，所以，又平面，所以平面，所以，同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为，易求，所以的面积为，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则__________.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以，故答案为：.13.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.【答案】389【解析】由题意可知，，设，在中，，所以，同理在中，，在中，由余弦定理得，即，所以.故紫峰大厦主体的高度约为米.故答案为：.14.已知实数满足，则的最大值为__________.【答案】2【解析】设，由题意得，即，在平面直角坐标系中表示半圆（除去两点），令，画出图形如下：当直线经过圆心时，；当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离：，解得（舍去），故.因为，所以，所以，令，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，综上所述，的最大值为2.故答案为：2.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）因为，所以，即，所以数列为常数列，又，所以，所以.（2）由（1）得，，两边同乘以，得，两式相减，得，所以.16.（1）求顶点在原点，对称轴为轴，且与直线相交所得线段长为9的抛物线的方程；（2）求焦点为，且过点的双曲线的标准方程；（3）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.解：（1）由题意知所求抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其方程为，与联立，得，即，因为所得线段长为9，所以，解得，故所求抛物线的方程为.（2）由题意知可设双曲线的方程为，由双曲线的定义得，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.（3）设所求双曲线的方程为，将点代入方程，得，解得，故，故所求双曲线的方程为.17.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：取棱的中点，连接，因为为的中位线，所以，且，因为四边形为正方形，为的中点，所以，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：分别取棱的中点，连接，则.因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.设平面的一个法向量，则即，令，解得，所以.设平面的一个法向量，则即，令，解得，所以.记平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点．（1）求的方程；（2）当时，求四边形的面积；（3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：（1）如图：连接，由题意知，点在圆内部，∴，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，则，∴，故；（2）由（1）得，当时，直线的方程为，代入的方程并化简，得，设，则，，∴，∴四边形的面积；（3）设的方程为，代入的方程并化简，得，显然判别式，设，则，，∴直线的方程为，直线的方程为，由，解得，∴，又，∴，即为定值，且定值为．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.解：（1）由，得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为在上单调递增，所以.由（1）知，因为，所以，即在上恒成立，所以，又，所以，即的取值范围为.（3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，不合题意；②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调