上海市静安区2026届高三上学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市静安区2026届高三上学期一模数学试题一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知全集是实数集R，集合，则集合的补集___________．【答案】【解析】由已知,或，所以.故答案为：.2.已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于___________．【答案】10【解析】由椭圆方程可知，，，所以椭圆的长轴长为.故答案为：10.3.已知直线与，则直线与的夹角大小是_________.【答案】【解析】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得；直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得；所以直线与的夹角.故答案为：.4.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________．【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.5.已知是第四象限角，，则________.【答案】【解析】是第四象限角，，则，故，故.故答案为：.6.设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则_________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，因为，且，可得，解得，所以.故答案为：.7.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________．【答案】【解析】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为，则由题意得，，则，则.故答案为：.8.已知函数，则___________．【答案】【解析】因为，则，且，所以.故答案为：.9.抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点；设抛物线的方程为，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线于一点，这点的纵坐标为12，则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为___________．【答案】（答案不唯一）【解析】设入射光线所在直线交抛物线于点，由题意得点坐标为，设抛物线的焦点为，所以反射光线所在直线的一个方向向量为，设反射光线所在直线的法向量为，则，取，则，所以这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为.故答案为：（答案不唯一）.10.在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为___________．【答案】【解析】由余弦定理得，∵，，∴，即，整理得，即，所以，∵，∴，∴.故答案为：.11.如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列.若CD的长为，则的取值范围为__________．【答案】【解析】连接，由，知，设，则为锐角，且，所以由于，所以，即的取值范围为.故答案为：.12.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.设，若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】因为是定义在上的偶函数，则，函数图象关于轴对称，且，即的周期为4.作出函数在上的图象，根据的对称性及周期性，可得出在上的图象，若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点，则在区间上关于的方程恰有3个不同的实数根，则函数与函数在上恰有3个不同的交点；所以，解得.故答案为：.二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13.在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（）A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.垂直于同一个平面的两个平面平行C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直【答案】C【解析】如图为正方体，，但，故A错误；平面平面，平面平面，但平面平面，故B错误；，与平面平行的所有平面均与平行，故D错误；如图，，由线面平行的性质定理可知，平面内一定存在直线与平行，由线面垂直的性质定理可知，，则有，故C正确.故选：C.14.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A.众数平均数中位数 B.众数中位数平均数C.众数平均数中位数 D.中位数平均数众数【答案】B【解析】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数.故选：B.15.若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以，所以且，以上式子相乘得，所以，所以，得，即，得，因为，所以；同理，，所以，所以，所以.故.故选：C.16.已知函数；现有下述两个结论：①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是；②若，则方程的解为；则下列说法正确的是（）A.结论①和②均正确 B.结论①正确，结论②错误C.结论①错误，结论②正确 D.结论①和②均错误【答案】B【解析】①，当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增；当时，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在定义域内单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点；当时，由可得，仅有一解，所以仅有一解，令，则直线与的图象仅有一个交点，因为，且直线过点，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，所以，结合，则的取值范围为.结论①正确②由题，，记上式为，由，则，所以函数在定义域内单调递减，因此，仅有一个解，至此可以判断结论②错误．注意到待求方程，对中含的部分单独考察，即，其中关于的多项式的解为或（舍去），因此时可消去.当时，有，满足题意；综上，原方程的解为．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17.为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动．已知、两所学校中的志愿者学科分布如下：学科语文数学学校12学校11（1）假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人”的样本空间；（2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率；（3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率．解：（1）样本空间为：.（2）事件“抽到的人恰好都是语文老师”只有一种可能，所以概率为，（3）事件“抽到的人中，恰好有名语文老师名数学老师，且这人恰好来自同一所学校”，来自学校有两种可能：，，来自学校一种可能，总计结果有种可能，所以概率为.18.已知函数().（1）将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位；（2）若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域.解：（1），这个函数的振幅为2，初始相位为.（2）由的最小正周期为，且，故.函数的值域为.19.已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．（1）证明：平面；（2）若2，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为，，则，可得，且平面，平面，所以平面.（2）解：方法一：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，则，所以直线与平面所成角的正弦值是．方法二：由题意可知：，，，则，，设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积即为三棱锥-的体积，则，解得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值．20.在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值；（3）如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程．解：（1）由双曲线的焦距为4，点在上，可得，所以，且，又因为，即，联立方程组，解得，，所以的方程为.（2）设直线l方程为，代入圆的方程整理得，直线与圆相切，所以判别式，所以，切点位于轴上方，故.将直线代入双曲线方程，整理得，解得，两点的坐标分别为（）、（），从而；另解：由题意设直线方程为，该直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得.联立得，设，，则，.（3）由题意直线与平行，由双曲线的对称性，易知=，四边形为平行四边形．当直线垂直于x轴时，，此时四边形的面积为，不合题意，舍去；设直线方程为，则直线方程为，直线和的距离就是点到直线的距离，设，，联立方程组，整理得，则，且，，又由双曲线的渐近线的方程为，要使得过的左焦点的直线交的左支于点、，可得，()则，所以，化简可得，解得，或，因为，所以，故直线的方程为或．另解：设直线方程为，代入双曲线方程得，整理得，(因为双曲线的渐近线斜率为，直线AB与双曲线左支交于两点，所以)，，所以，点到直线的距离，，化简可得，解得，或，因为当时，直线AB斜率平方，此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以，故直线的方程为，或．21.已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数∙，.（1）若函数是点奇函数，求实数的值；（2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点；（3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由.解：（1）法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数，即，因为，，比较两式右边，由所以，解得.法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称，则对任意实数恒成立，即，化简得，所以，解得．（2），从而，其中，所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，，则就是一元二次方程；当时，，当时，，当时，从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点.因为是的极小值点，所以，即，解得或1.当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，因此是的极大值点(舍去)；当时，，当时，单调递减，当时，单调递增，因此是的极小值点