上海市普陀区部分学校2026届高三上学期1月学业质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市普陀区部分学校2026届高三上学期1月学业质量监测数学试题一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合，则__________.【答案】【解析】集合，所以.故答案为：2.不等式的解集为____________.【答案】【解析】由可得，解得，即.故答案为：.3.已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________.【答案】【解析】，因为其为纯虚数，则且，解得.故答案为：.4.在的展开式中的系数为_________.【答案】【解析】由题知，设展开式中通项为，令，则，.故答案为：.5.已知为实数，且函数是偶函数，则________.【答案】【解析】因为函数是偶函数，所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称，所以，且，所以.故答案为：.6.某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________.【答案】【解析】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，，共个数，则，所以这组数据的第百分位数为.故答案为：.7.设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________.【答案】【解析】由题意可得，则，，由椭圆离心率为，可得，则，所以.故答案为：.8.若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________.【答案】【解析】由题意可作图如下：在圆锥中，易知，且为母线与底面所成的角，由母线与底面所成的角的余弦值为，则，在中，，可得，则，圆锥的体积，解得，则，圆的周长为，则圆锥侧面展开图的面积，圆锥底面面积，所以圆锥的表面积.故答案为：.9.设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________.【答案】【解析】，，，所以，，由，，，可得，，解得.故答案为：.10.双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______．【答案】【解析】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，因为是抛物线的焦点，∴∵，∴，在△中，由余弦定理得，∴，即，解得又∵和是双曲线的左、右焦点，∴，∴.故答案为：.11.2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示）【答案】【解析】设第二次拍照飞船的实际上升了，所以，解得：，所以拍照时飞船的瞬时速度为：.故答案为：.12.已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个．【答案】【解析】由于，可以先将任意排列，再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种，再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种，再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种，以此类推，将插入该数列，共有种.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，则“”是“且”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】先看充分性：若，，则满足，但不满足且，所以“”不是“且”的充分条件；再看必要性：因为且，根据不等式的性质可得.所以“”是“且”的必要条件.综上，“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.14.下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误；对于B：令没有实数解，所以不存在零点，故B错误；对于C：令，所以零点为1，又因为，所以在为增函数，故C正确；对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误.故选：C.15.设且都是正整数，数列的通项公式为记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（）A.当时，的取值范围是 B.不存在和的值，使得C.当时，的取值范围是 D.存在和的值，使得【答案】C【解析】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到，由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素.当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得，此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确.对于B选项，当时，有且.要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素，所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了，这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确.对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得.由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误.对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，.由此得到方程，整理得，解得或，因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确.故选：C.16.设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（）．①存在等比数列以及锐角α，使成立．②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题【答案】A【解析】对于①，若，，成等比数列，即，，则，即，得，在同一坐标系内作和的图象：可知方程，有且只有一解，所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题；对于②，假设存在等差数列以及锐角α，使成立，则必有，当时，显然不成立；当时，，，所以，，所以，则，，即，即，因为，所以，，不存在这样的使得等式成立；当时，，，所以，，所以，同理，因为，所以，，不存在这样的使得等式成立；所以②是真命题.故选：A.三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）求不等式的解集.解：（1），令，解得或者，令，解得或，所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和.（2），即，，即，利用穿根法解得.所以解集为.18.如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形.（1）求正三棱锥的体积；（2）设分别是线段的中点.求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形.（1）解：由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体，取正的中心，连接，延长交于，连接，则平面，是的中点，，，则，所以正三棱锥的体积.（2）证明：①由分别是线段的中点，得，而平面，平面，所以平面.②由平面交于点，得面平面，而平面，平面，则，而是的中点，则是的中点，因此，而，则四边形是平行四边形，又，于是为菱形，而，平面，则平面，又平面，因此，于是，所以四边形是正方形.19.第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个）产品产品产品普通装180400精品装300420600现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率；（3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差.解：（1）由题意可知，该公司一天所生产的产品数为现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个，则，解得.（2）设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得，所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品.因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为（3）由题意，某项指标总体的平均数为，所以由分层抽样的总体方差公式可得.20.设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点.（1）若点是上的一点，，求的值；（2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标；（3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积S的取值范围.解：（1）双曲线的右焦点的坐标为，因为过点，所以，所以，因为，所以点在双曲线的左支上，由双曲线定义知，又，所以.（2）由（1）知，，则双曲线，联立，消去得，则，设，则，，所以，，又，所以，因为点、、、满足：，，所以，，所以四边形为平行四边形，故与互相平分，点在直线上，所以，又，所以，所以点的纵坐标为，所以点的坐标为.（3）因为，所以，所以，又，所以，由双曲线的对称性可得，，所以，所以，令，，即，所以，因为在区间上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，所以的面积S的取值范围为.21.设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．（1）判断是否具有性质，并说明理由；（2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；（3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有.若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．（1）解：记，显然，则其是偶函数.当时，，故，所以对恒成立，具有性质.（2）解：，当时严格单调递增，当时严格单调递减.若，则，函数在上严格单调递增，恒成立，此时函数具有性质.若，则函