四川省内江市东兴区三校2026届高三上学期1月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省内江市东兴区三校2026届高三上学期1月联考数学试题一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的）1.设，若，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由题设，，则.故选：D.2.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】，故.故选：C.3.已知向量，，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】A【解析】由，，所以，因为，所以，得，所以，故A正确.故选：A.4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】B【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B.5.空间两个平面满足，，是空间两条不重合的直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因，所以，当时，必有；反之，时，与可能平行，也可能相交或者在平面内，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6.核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（）A.36.9% B.41.5% C.58.5% D.63.1%【答案】C【解析】由题意得，即，整理得，所以，所以，故选：C．7.已知函数，若等差数列的前项和为，且=，，则（）A. B.0 C.2026 D.4052【答案】D【解析】函数，其定义域为，又，故为奇函数；又在为单调增函数，在为单调增函数，故在单调递增，又为上的奇函数，故在上为单调增函数；又函数为上的奇函数，且为增函数，故为上的单调增函数且为奇函数；，，则，即；故．故选：D.8.已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，又极小值点为，极大值点为，所以，即，由韦达定理得到，所以，，得到．故选：A．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按正确选项比例给分）9.豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）A.m的值是32%B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C.若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则D.若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件【答案】AD【解析】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则，所以，故A正确；对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误；对C选项，由A选项，因为，则，故C错误；对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；故选：AD.10.已知函数，满足，且，则（）A.B.的图象关于对称C.在区间单调递减D.的图象关于点对称【答案】ABD【解析】对于A：因为函数满足，所以的图象关于对称，因此有，得，又因为，故取，则，所以，故A正确；对于B：由A分析可知，的图象关于对称，故B正确；对于C：由A可知，当时，，而在上不单调，故C错误；对于D：由A可知，，因此由正弦函数的性质可知，的图象关于点对称，故D正确；故选：ABD．11.已知，则下列选项一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A：（当且仅当时，取等号），即，故A错误；对于B：，则，故B正确；对于C：，构造函数，，当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递减，则，即，故C正确；对于D：，构造函数，，，即函数在上单调递增；，即函数在上单调递减；即，则，故D正确；故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共计15分）12.在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______.【答案】【解析】由二项式定理，.当时，，于是的系数为，∴.13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．则该圆锥的体积为______．【答案】【解析】设该圆锥的底面半径为，高为．由扇形圆心角为，半径为，得圆锥底面圆周长为，解得．因为扇形半径为，所以，所以．所以圆锥的体积为．故答案为：．14.曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为_______.【答案】【解析】函数在处的切线斜率为，则切线方程为，函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即，由题意有①且②，故，，从而，整理得，所以，即.代入式②，得，即.故答案为：.四、解答题（共5个题，77分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.记为数列的前项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求．（1）证明：因为，即①，当时，②，①－②得，，即，即，所以，且，当时，由得，解得，结合，可知数列是公差为的等差数列.（2）解：由（1）可得，，，又成等比数列，所以，即，解得，所以．16.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且+，，.（1）求角；（2）若为锐角三角形，且，求的面积.解：（1）在中，由得，，，，，又，，，，，由正弦定理得或，，，两个解均符合题意.（2）因为为锐角三角形，所以，，，是的重心，，所以的面积为.17.已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求的单调区间和极值．解：（1），则，由题意可得，解得；（2）由，故，则，，故当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，故有极大值，有极小值.18.交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.（1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；（2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式；②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明.解：（1）由题可知X的取值可能为且易知，且，所以，，，，，所以的分布列为1234；（2）①由题可知，即，又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即；②由①可知，，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于.19.对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“-函数”．（1）试写出“2-函数”，并求的值；（2）若“1-函数”，求的最