福建省宁德市三校2026届高三上学期1月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省宁德市三校2026届高三上学期1月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.复数的虚部为（）A.1 B.－1 C.i D.－i【答案】B【解析】，∴虚部为－1．故选：B.2.已知非零向量，则“与共线”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】已知非零向量，若“与共线”：当时，，则，故充分性不成立；若：则，即，化简得，，，即，，，即，与共线，必要性成立；故“与共线”是“”的必要不充分条件．故选：B．3.若点不在圆的内部，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为点不在圆的内部，所以点在圆上或外部，所以.所以实数k的取值范围为.故选：A.4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】对A，若，，可能相交、平行、异面，故A错误；对B，若，，则或，故B错误；对C，若，，可能直线与平面斜交，也可能在平面内，故C错误；对D，若，根据线面平行的性质，可知内必有一直线与平行，由知，内这一直线与垂直，由面面垂直的判定定理知，故D正确.故选：D.5.已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，令，则，根据四个选项，可知则，所以，所以，所以的单调递增区间为，因为，所以为函数的一个单调递增区间.故选：B.6.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.函数图象可由的图象向左平移个单位得到B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于直线对称D.函数图象的对称中心为【答案】B【解析】由图象可知，，，因为，所以，所以，而，则，由图可知，所以，所以，A，图象向左平移个单位得到图象，不正确；B，由，可得，则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确；C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确；D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确．故选：B.7.数列满足，则数列的前9项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】数列满足①,当时，；当时，②，①②得，，又因为，不满足上式，故，当时，，设数列的前9项和为,则，故选：.8.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，，，，所以直线的方程为，设圆心坐标为，，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以．故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，当时，函数单调递减，由可得，故A错误；对于B，当时，函数在单调递减，由可得，故B错误；对于C，因，，函数在上单调递增，由，可得，由，也可得，故C正确；对于D，若取，显然满足正数均不为1，且，但，即与不等价，故D错误.故选：C.10.已知△ABC的三个角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，，，设BC的中点为O，则下列说法正确的是（）A.△AOC不可能是等腰三角形 B.的最小值为C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最小值为4【答案】BC【解析】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设点A，B，C的坐标分别为，，．由得点A的轨迹为．对于A选项，当点A在上运动时，，存在点A使得，即△AOC为等腰三角形，故选项A错误；对于B选项，当直线OA与相切时，取到最大值，易得对应的，故选项B正确；对于C选项，当轴时，△ABC的面积取到最大值，最大值为，故选项C正确；对于D选项，△ABC的周长为，所以△ABC周长的最小值不存在，故选项D错误.故选：BC．11.已知函数，则（）A.当时，函数恰有1个零点B.当时，函数恰有2个极值点C.当时，函数恰有2个零点D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2【答案】ABD【解析】因为，所以，令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，对于A：当时，，即恒成立，所以在上单调递增，又，，所以函数恰有1个零点，A正确；对于B：当时，，令，有，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，作出图象如下图：又，所以方程必有个根，即必有两个零点，设为，且，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，即函数恰有2个极值点，B正确；对于CD：当函数有2个零点时，或，所以或，将或代入得或，解得或，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______.【答案】【解析】依题意，当，即时，，所以定点为.故答案为：.13.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点､的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时4秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒；已知与的离心率之比为，则___________.【答案】20【解析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，而与的离心率之比为，即，即，在图①中，，两式相减得：，即，即的周长为，在图②中，的周长为,由题意可知：，则，故（秒）.故答案为：.14.棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为______【答案】【解析】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，于是，则点到平面距离之和为，设，则，，因为，所以，所以，令,则,故函数为开口向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，所以当时,即时，，取到最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为已知.（1）求角的大小；（2）设，.求和的值.解：（1）由已知及正弦定理可得．因为.所以.故.即．整理得.所以．因为.所以．（2）根据余弦定理.，将，，代入解得：．因为，所以．根据正弦定理有：，解得．又因为，所以，则，可求得：，．则．16.已知正方体的棱长为2，P是空间中的一点.（1）证明：直线平面；（2）若点P在平面内，且满足平面平面，请判断点P的轨迹，并说明理由.（1）证明：在正方体中，因为平面平面，所以.又因为，平面.所以平面.（2）解：如图，以为坐标原点，以所在直线分别为､､轴，建立空间直角坐标系，则.设点，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，得，由取，得，即.由得，取，得，即.又因为平面平面，所以，整理得，故点的轨迹为抛物线.17.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）对数列，因为数列为等差数列，可设公差为，由题意：，所以，所以；对数列，因为，且，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.（2）因为.，所以.18.已知椭圆C：的离心率，点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，（i）若直线的斜率为1，求；（ii）若点，判断与的大小，并证明你的结论.解：（1）因为离心率即①，又因为点在椭圆上所以②，由①②联立解得：，所以椭圆C的方程为：.（2）（i）设，，由题意可知直线l的方程为：，与椭圆方程C：联立，整理可得：，即，解得，即；（ii）结论是：.已知点，当斜率等于0时，直线为，此时即；当斜率不等于0时，设直线：，，，联立，整理得：，，故，，，故，即点在以为直径的圆内，故，综上所述.19.若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设.（1）判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若时，函数的最大值为0，求的取值范围；（3）当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程.解：（1）不存在，理由如下，令，，令，则有，所以在上单调递增，即在上单调递增，不存在且时，所以函数不存在“自公切线”.（2），，，当时，与题意矛盾，