甘肃省酒泉市2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省酒泉市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（）A.1 B.3 C. D.【答案】B【解析】因为，，所以，解得．故选：B.2.过点且方向向量为的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所求直线的方向向量为，，所求直线过点，所求直线的方程为，整理得.故选：D.3.在等差数列中，若，则（）A.17 B.18 C.19 D.20【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，则，∴．故选：C.4.圆心为且与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设圆的方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即，所以.故选：A.5.抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】抛物线的准线方程是.抛物线，则，所以准线方程.故选：D.6.已知等比数列满足，公比，则（）A.32 B.64 C.128 D.256【答案】B【解析】因为，公比，所以.故选：B.7.关于曲线，下列叙述不正确的是（）A.当时，曲线表示的图形是双曲线 B.当时，曲线表示的图形是椭圆C.当时，曲线表示的图形是双曲线 D.无论取何值，曲线表示的图形都不是抛物线【答案】B【解析】当曲线为椭圆时，，解得或，当时，曲线是圆，B选项错误；当曲线为双曲线时，，则或，A、C选项正确；∵，∴无论取何值，曲线表示的图形都不是抛物线，D选项正确.故选：B.8.班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆定义可得，由光学性质可知，为的角平分线，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于直线的说法正确的是（）A.直线的斜率为 B.直线的倾斜角为C.过点且与轴垂直的直线方程为 D.直线与平行【答案】BCD【解析】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误；对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确；对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确；对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确．故选：BCD．10.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的有（）A. B.均是的最大值C. D.公差【答案】ABD【解析】选项A：由，得，∴，故A正确；选项D：由，且，得，故D正确；选项B：由、，知等差数列是递减数列：∵，故前8项（到）均为正数，第9项为0，第10项及以后为负数；是前8项正数的和，，因此是的最大值，故B正确；选项C：，故C错误；故选：ABD．11.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则下列说法正确的是（）A. B.点到轴的距离为C.的面积为 D.【答案】ACD【解析】双曲线的离心率为，，，，，，，，，，，，点在双曲线上，，，，，，，，故选项AD正确；设，，，，，，，，，点到轴距离为，故选项B错误，选项C正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.等差数列的前项和为，写出一个满足条件的的通项公式___________.【答案】（满足公差为即可）【解析】设等差数列的公差为，由得：，即.由以上等式可知，写出一个公差为的通项公式即可.若，则.故答案为：（满足公差为即可）.13.已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________.【答案】【解析】可化为.两直线平行,的最小值即为两平行线间距离，为.故答案为：.14.已知点，点在圆上运动，则的取值范围是___________.【答案】【解析】依题意，设，则，因为，所以，所以，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式；（3）求的前项和.（1）证明：∵，∴，即，∴数列是以为首项，为公比的等比数列（2）解：由（1）可知，∴（3）解：.16.直线与直线垂直，且经过点.（1）求方程；（2）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值；（3）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程.解：（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，又因为经过点，所以方程为，即.（2）圆化为标准型为，圆心到直线的距离为，因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得.（3）设线段MN中点的坐标为，，则，即因点在圆上运动，所以，所以，即，所以线段MN中点的轨迹方程为.17.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数；（3）若直线与椭圆相交于A，B两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求关于的表达式.解：（1）根据题意得，，所以椭圆的标准方程为：.（2）将直线与椭圆联立得，消去得，，当时，即时直线与椭圆有两个交点；当时，即时直线与椭圆有一个交点；当时，即或时直线与椭圆没有交点.（3）设，由（2）知，，，线段的中点为即线段的垂直平分线方程为：，令得，所以.18.已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.解：（1）由题意得，，，，解得.（舍去）则，解得，所以.则，设等差数列的公差为，则，所以.（2）.所以，两式相减得，.19.已知抛物线的焦点为，过点且斜率不为0的直线交抛物线于A，B两点（点在轴上方），点D，E都在抛物线的准线上，且轴，轴.（1）若直线的斜率为1，求|AB|的值；（2）设是DE的中点，判断AR与EF是否平行，并说明理由；（