甘肃省兰州市四校联考2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省兰州市四校联考2026届高三上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本题共8个小题，每题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，,所以，故选：D.2.复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】因为，所以，所以复数的虚部为.故选：B.3.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，，所以，，当时，，即，解得所以“”是的充分不必要条件.故选：A.4.已知正项等比数列的前项和为，设，若为某一等比数列的前项和，则实数的值为（）A. B. C.2 D.－2【答案】B【解析】当时，，，不满足，所以.当时，由题意，所以，即，解得（舍去）.所以.所以.又为某一等比数列的前项和，设该等比数列首项为，公比为，则，又，所以.

所以实数的值为.故选：B.5.已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则,∴，对A：，A正确；对B：由题意可得：，同理可得：，∵，，∴，则，B错误；对C：∵，∴，C正确；对D：，∴，D正确；故选：B.6.函数的图象如图所示，下列说法错误的是（）A.B.向左平移个单位后是奇函数C.的对称轴为，D.的减区间为，【答案】A【解析】结合函数的图象，设其最小正周期为，则，所以，因，所以，又因为，所以，因，由图知，图象过点，则，所以，即，由，可得，所以，故A错误；把向左平移个单位可得是奇函数，故B正确；由，可得的对称轴为，，故C正确；由，可得，即的减区间为，，故D正确.故选：A.7.在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A.12π B.24π C.48π D.96π【答案】C【解析】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，则，所以，则，外接圆的半径为，所以棱柱外接球的半径为，令，则，则，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则该三棱柱外接球表面积最小值为.故选：C.8.已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，为函数的最大值或最小值.，，解得.又函数的最小正周期满足，且，，解得，当时，满足题意，.故选：B.二、多项选择题（本题共3个小题，每题6分，共18分）9.下列结论正确的是（）A.B.不等式的解集为C.“”是“”的充分不必要条件D.命题“”是真命题【答案】ABC【解析】对于A，由，故成立，故A正确；对于B，，不等式的解集为，故B正确；对于C，不等式，解得或，“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，方程，解得，则命题“”是假命题，故D错误．故选：ABC．10.已知空间向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若与夹角为锐角，则【答案】ABD【解析】对于A，，，又，，即，解得，故A正确，对于B，，，，解得，故B正确，对于C，在上的投影向量为，即，代入坐标化简可得，故，无解，故C错误，对于D，与夹角为锐角，，解得，且与不共线，即，解得，则与夹角为锐角，解得，故D正确.故选：ABD.11.e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】原式变形为，构造函数，则，∵，当时，，则，即；当时，，则，即；故在上单调递减，在上单调递增，对于A：取，则∵在上单调递增，故，即满足题意，但，A错误；对于B：若，则有：当，即时，则，即；当，即时，由在时单调递增，且，故，则；综上所述：，B正确；对于C：若，则有：当，即时，显然成立；当，即时，令，∵，当且仅当，即时等号成立，∴当时，所以，即，由可得，即又∵由在时单调递增，且，∴，即；综上所述：，C正确；对于D：取，，则，∵在上单调递减，故，∴故，满足题意，但，D错误.故选：BC.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标为__________.【答案】【解析】因为点在直线上运动，可设，所以，，所以.所以当时，取得最小值.此时点坐标为.故答案为：.13.已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________．【答案】【解析】作出函数图象：因为，，所以在处是连续的，根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点，即a的取值范围是.故答案为：.14.已知数列满足，则___________．【答案】【解析】由，两边取倒数得：，因此是首项为，公差为2的等差数列，该等差数列通项公式为，代入，得.故答案为：.四、解答题（本题共5个小题，共77分）15.已知的最小正周期为.（1）求的单调递减区间；（2）求在上的值域.解：（1），因为的最小正周期为，所以，即，所以，令，解得，所以函数单调递减区间为；（2）设，因为，所以，所以，所以的值域为.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求C；（2）若，，求的周长．解：（1）由题意得，由正弦定理得，又,，所以，即，所以，即，所以．又，所以，所以，即．（2）由（1）及正弦定理，得，则，，故．所以由余弦定理得，整理得．所以，即，所以，故的周长为．17.如图，在三棱锥中，底面，侧面与底面所成的二面角为为的中点.（1）若，求三棱锥的体积；（2）若异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，求的值.解：（1）如图，连接，因为为的中点，所以，由题知底面，又底面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以即为侧面与底面所成的二面角的平面角，即，又，所以，所以三棱锥的体积.（2）如图，分别取的中点，连接，因为，所以即为异面直线与所成的角，即，因为，又，面，所以侧面，所以即为直线与平面所成的角，即，在与中，为公共边，，所以，所以，又，所以，即，所以.18.已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由于，故，切点为，，所以切线的斜率为0，在点处的切线方程为．（2）令，则，所以为R上单调递增函数，因为，所以时，；时，，所以在单调递减，在单调递增．若对于任意，都有恒成立，即只需．因为在单调递减，在单调递增，所以的最大值为和中最大的一个，所以，设，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．，故当时，．当时，，则成立