福建省宁德市2025-2026学年高二数学上学期期末质量检测试题含解析

宁德市2025-2026学年度高二上学期期末质量检测

数学试题

（满分：150分时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

2

1.抛物线y8x的准线方程是（）

A.x2B.x2C.y2D.y2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线的标准方程可得出其准线方程.

【详解】由题意可得，抛物线y28x的准线方程为x2.

故选：B.

【点睛】本题考查利用抛物线的标准方程求准线方程，考查计算能力，属于基础题.

2.已知an是等比数列，各项都是实数，a32,a78，则a5（）

A.4B.4C.42D.42

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列性质求解.

【详解】因为2，所以2，解得，

a3·a7a5a52816a54

又22，所以，所以，

a5a3q2q0a50a54

故选：B.

3.直线l经过点1,1，且在两坐标轴上的截距相等，则l的方程为（）

A.yxB.x2y30

C.yx或xy20D.yx或x2y30

【答案】C

【解析】

【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为ykx，则1k，所以直线方程为yx，

当截距都不为零，设直线方程为xya(a0)，则11a(a0)，

所以直线方程为xy2，即xy20.

综上直线方程为：yx或xy20.

故选：C

4.宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄

鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有

（）

A.36种B.48种C.72种D.120种

【答案】C

【解析】

【分析】先用全排列排好3道菜品，再用插空法将2种加工制品插入菜品形成的空隙中，最后将两步结果相

乘得到总方案数.

【详解】3道菜的全排列数为3!6种；

排列好后，它们之间会形成314个空隙(包括两端)；

从个空隙中选2个来放加工制品，排列数为：2种；

4A44312

总方案数为：2种.

3!A461272

故选：C

5.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件A“向上的点数是奇数”，事件B“向上的点数是2或

4”，事件C“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是（）

A.A与B对立B.A与C互斥C.B与C相互独立D.A与C相互独立

【答案】D

【解析】

【分析】对A，由对立事件的概率关系判断；对B，由互斥事件的概念判断；对C、D，由相互独立事件的概

念判断.

111

【详解】PA,PB,PC，

233

115

对于A：因为PAPB1，所以A,B不对立，A错误；

236

对于B：因为当向上的点数为5时，事件A,C同时发生，所以A,C不互斥，B错误；

1111

对于C：因为事件BC“向上的点数是2”，PBC，PBPC，

6339

PBCPBPC，所以B与C不相互独立；

1111

对于D：因为事件AC“向上的点数为5”，PAC，又PAPC，

6236

所以PACPAPC，所以A与C相互独立.

故选：D.

1

6.已知为数列的前项和，且2，则数列的前项和为（）

SnannSnn2nn

anan1

n2nn2n

A.B.C.D.

6n96n99n69n6

【答案】A

【解析】

1111

【分析】由Sn求得an2n1，则，正负相消求和.

anan122n12n3

【详解】当n1时，a1S1123，

当时，22，

n2anSnSn1n2nn12n12n1

又a13211，所以an2n1，

11111

所以，

anan12n12n322n12n3

1

设数列的前n项和为Tn，

anan1

1111111111n

则Tn，

235572n12n3232n36n9

故选：A.

7.已知a1,a2,a31,2,3,4,Na1,a2,a3为a1,a2,a3中不同数字的个数，如N1,2,33,N2,2,12，

“”

则事件ANa1,a2,a32发生的概率为（）

1393

A.B.C.D.

168164

【答案】C

【解析】

“”

【分析】先求出总事件数为：64，ANa1,a2,a32表示三个数中恰好有两个不同的数字，结合排

列组合的应用计算即可求解.

【详解】总事件数为：44464，

“”

ANa1,a2,a32表示三个数中恰好有两个不同的数字，其中一个数字出现2次，另一个出现1次

从4个数字中选2个不同的数字：2，再从这2个数字中选1个作为重复出现的数字1，从

C46C22

3个位置中选2个位置放置重复的数字：2

C3=3

所以事件A的情况数为：62336

369

所以P(A).

6416

故选：C.

x2y2

8.已知双曲线C:1a0,b0的左顶点为A，右焦点为F，以AF为直径的圆与双曲线C的

a2b2

右支相交于M,N两点.若MAF300，则双曲线C的离心率为（）

A.3B.2C.5D.3

【答案】B

【解析】

【分析】求出M,的坐标，代入曲线方程，齐次化后求解即可.

ac3ac

【详解】如图：由题意知AMF90，MAF30，AFac，则MF,MA，

22

3ca3ac

M,，

44

2

2

223

3ca3acxy3caac

将M,代入C:1得，

2244

44ab1

a2b2

22

33

ac1e

化简整理得2，2，解得.

3ca413e4e2

11

4ac2a244e21

故选：B

，

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知等差数列an的前n项和为Sn，则下列说法正确的有（）

S

A.数列n是等差数列B.数列2an是等比数列

n

C.若S50,S60，则d0D.若a53，则S927

【答案】ABD

【解析】

SS

【分析】对A，由数列n的函数特征，是否为关于n的一次函数，从而判断n是否等差数列；对B，

nn

an1

2an，

由等比数列的定义判断是否为常数，从而判断2是否为等比数列；对C，由S50S60结合等

2an

差数列前n项和公式和等差数列性质可得a30,a40，由da4a3判断；对D，由等差数列前n项和

公式的性质可得.

nn1

【详解】对于A：等差数列an的前n项和公式为Snad，

n12

Sn1S

因为nad，这是一个关于n的一次函数，所以n是等差数列，A正确；

n12n

an1

2an1and

对于B：设等差数列an的公差为d，则22，

2an

这是一个与n无关的常数，所以数列2an是等比数列，B正确；

5aa6aa

对于C：因为S155a0，S163aa0，

5236234

所以a30,a40，所以公差da4a30，C错误；

9a1a9

对于D：因为a53，所以S9a9327，D正确.

925

10.已知圆C:x2y24y50，直线l过定点M3,2，则下列说法正确的是（）

A.圆心C坐标为0,2

3

B.当l的斜率为时，则圆C关于l对称

4

22

C.以M为圆心且与圆C有公共点的最大圆的方程为：x3y264

D.直线l被圆C所截的弦的中点的轨迹为圆x2y23x40在圆C内部的弧

【答案】ACD

【解析】

【分析】把圆C的方程化为标准形式可以验证A正确；求出直线方程为3x4y10，因为圆心不在直

线上，所以圆C不关于l对称，验证B错误；因为|MC|5，两圆内切，以M为圆心且与圆C有公共点

的圆最大，验证C正确；设弦的中点为P(x,y)，根据CPMP，得到x2y23x40，验证D正确.

2

【详解】把圆C的方程化为标准形式得到x2y29，

所以圆心C为0,2，半径r3，故A正确，

33

当l的斜率为时，直线方程为y2x3，即3x4y10.

44

因为304(2)170，所以圆心不在直线上，即圆C不关于l对称，故B错误

22

因为MC30225，所以以M为圆心且与圆C有公共点的最大圆，其半径

22

R|MC|r8，方程为x3y264，故C正确，

设弦的中点为P(x,y)，根据垂径定理CPMP，即CPMP0.

因为CPx,y2,MPx3,y2，

所以x(x3)(y2)(y2)0，即x2y23x40.

又因为中点P在圆C内部，所以轨迹是该圆在圆C内部的弧，故D正确.

故选：ACD.

2

11.如图，“鱼线”由抛物线C1:y4xy0和曲线C2（C2与C1关于直线yx对称）组成，“鱼身”

为其围成的阴影区域，下列说法正确的是（）

2

A.曲线C2的方程为x4yx0

B.直线yxt与“鱼线”有3个交点，则t的取值范围为1,00,1

C.点在“鱼线”上，，则

PQ2,0PQmin1

D.“鱼身”的面积大于4

【答案】ABD

【解析】

yxt

【分析】对A：由C2与C1关于直线yx对称计算即可得；对B：联立直线与C1、C2，结合

根的判别式计算即可得；对C：借助两点间距离公式，举出反例即可得；D：借助割补法计算即可得.

2

【详解】对A：由C2与C1关于直线yx对称，则有x4yx0，

2

故曲线C2的方程为x4yx0，故A正确；

2

y4x22

对B：，消去x可得y4y4t0，Δ1416t161t，

yxt

2

x4y22

，消去y可得x4x4t0，Δ2416t161t，

yxt

若t0，由C1、C2关于yx对称，此时直线yx与C1、C2共2个交点，

161t0

yxt

令，解得0t1，此时直线与C1有两个交点，

4t0

yxt

又Δ2161t0，4t0，故直线与C2有一个交点，

即直线yxt与“鱼线”有3个交点；

161t0

令，解得1t0，此时直线yxt与C2有两个交点，

4t0

yxt

又Δ1161t0，4t0，故直线与C1有一个交点，

即直线yxt与“鱼线”有3个交点；

故当直线yxt与“鱼线”有3个交点时，t的取值范围为1,00,1，故B正确；

2244

对C：若点在上，则y2y22y，

PC1PQ2yy4y42

41616

224

若点在C上，则2x2x，

P2PQx2x4x4

416

36481145

取x，则PQ1，故PQ1，故C错误；

2256256256min

y24xx0x4

对D：取点在曲线C上，联立，解得或，

M2,122

x4yy0y4

1

则C、C2有公共点O0,0、N4,4，则线段OM的方程为yx0x2，

12

3

线段MN的方程为yx22x4，

2

1x2x

当0x2时，有x2x0，

244

3x21

当2x4时，有x2x2x40，

244

1

故“鱼身”的面积S2S221404，故D正确.

OMN2

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.正八边形的对角线条数为____________.（用数字作答）

【答案】20

【解析】

【分析】根据两点确定一条直线，从8个顶点中任取两个的取法，再去掉边的条数即可.

【详解】正八边形8个顶点中的任意两个的连线的条数，排除边数即为对角线条数，

故正八边形的对角线的条数是2条.

C8820

故答案为：20

y2

13.已知直线y3x是双曲线x21b0的一条渐近线，则b______.

b2

【答案】3

【解析】

【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，比较已知直线方程求出b.

y2

【详解】因为双曲线方程为x21，所以a21，得a1，

b2

b

所以渐近线方程为yxbx，

a

y2

又直线y3x是双曲线x21的一条渐近线，

b2

所以b3，

故答案为：3.

nn1*

14.已知数列a满足a1，且aa,nN，其中x表示不超过x的最大整数，

n1n1n22

如2.12,3,93，若am56，则m___________.

【答案】11

【解析】

nn1m1m

【分析】先由aa，得到，利用累加法得，进而列方

n1nan1annam1

222

程即可求解.

【详解】当n为偶数时，设n2k，

n2kn12k11

则kk，kk；

22222

nn1

kk2kn，

22

当n为奇数时，设n2k1，

n2k11n12k2

则kk,k1k1

22222

nn1

kk12k1n，

22

nn1

所以无论n是奇数还是偶数，都有n，

22

所以an1ann，即an1ann，

a2a11,

a3a22,

a4a33,

...

amam1m1

m1m

累加得到aa123m1，

m12

m1m

所以a1，

m2

m1m

因为am56，所以156，解得m11或m10（舍去）

2

所以m11.

故答案为：11.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知n2n，其中*．

1xa0a1xa2xanxn2,nN

（1）若n7，求a1a2an的值；

（2）若n4，且a1,a2,a3依次成等差数列，求a3的值．

【答案】（1）127

（2）35

【解析】

【分析】（1）利用赋值法求二项式系数和；

（2）利用二项式系数写出a1,a2,a3对应的表达式，再利用等差数列的性质列方程求解．

【小问1详解】

当时，727，

n71xa0a1xa2xa7x

令，则77，

x111a0a1a2a72128

令，则7，

x010a01

a1a2a71281127．

【小问2详解】

n的展开式的通项为rr，系数r，

1xTr1CnxarCn

由依次成等差数列，得，即213，

a1,a2,a32a2a1a32CnCnCn

nn1nn1n2

代入组合数公式化简，得2n，

26

整理得n29n140，解得n2或n7

又n4,nN*，

n7，

3．

a3C735

16.已知直线l:xy10与圆C:x2y2mxmy10mR相交于M,N两点.

（1）若MN2，求m的值；

（2）O为坐标原点，求OMON.

【答案】（1）m2或m2；

（2）2

【解析】

【分析】（1）将直线与圆C的方程联立，化简得：2x222mx2m0，由MN2并利用

韦达定理和弦长公式求解即可.

（2）由（1）知，利用韦达定理接求解即可.

OMONx1x2y1y2

【小问1详解】

解法一：

yx1

（1）将将与圆的方程联立，

l:yx1C22

xymxmy10

化简得：2x222mx2m0

2

Δ22m82m4m23

由0解得m3或m3

设直线与圆两交点分别为Mx1,y1,Nx2,y2，

2m

由韦达定理，xxm1,xx，

12122

222，22

MN1kx1x21kx1x24x1x22m122m2m32

解得m2或m2；

解法二：

222

22mmm

（1）圆xymxmy10的标准方程为xy1，

222

mmm2

则圆心为C,，半径r1且m22

222

直线l:yx1即xy10，

mm

1

222

则圆心C到直线l的距离d

2

1212

根据垂径定理可得：MN2r2d22，

2

2

即m2

221

22

所以m2或m2；

【小问2详解】

解法一：

由（1）知，

OMONx1x2y1y2

其中y1y2x11x21x1x2x1x21，

即，

OMON2x1x2x1x21

2m

代入韦达定理结果：OMON2m112，

2

所以OMON的值为2；

解法二：

设点P为MN的中点，由向量的坐标运算可得

11212

OMONPMPOPNPOMNPOMNPOPOMN

224

MN2r2d2

2

2

2m2

MN412m23，

22

2

2222m2m21

OPCPCO

222

m211

所以OMON2m232.

24

17.甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知

21

甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也

32

互不影响.

（1）求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率；

（2）若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概

率.

5

【答案】（1）；

6

4

（2）.

9

【解析】

【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式，即对立事件发生的概率公式即可求解；

（2）先将事件分解，再利用相互独立事件同时发生的概率公式即可求解

【小问1详解】

设一轮比赛中，A“甲投中”，B“乙投中”，C“闪电队”投中篮球至少有1次，

21

由于两人投篮的结果互不影响，所以A,B相互独立，由已知可得，PA,PB，

32

“至少投中1次”的对立事件是“甲、乙都没投中”，

215

PC1PAB1PAPB111.

326

5

因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率是.

6

【小问2详解】

，

设A1,A2分别表示甲两轮投篮投中1次，2次的事件，B1B2分别表示乙两轮投篮投中1次，2次的事件，

根据事件独立性，得

2

2112424，

PA1,PA2

3333939

2

1111111，

PB1,PB2

2222224

设D表示：“闪电队”在两轮比赛中投中篮球的总数不少于3次，

DA1B2A2B1A2B2且A1B2,A2B1,A2B2两两互斥，A1与B2，A2与B1，A2与B2分别相互独立，

PDPA1B2PA2B1PA2B2PA1PB2PA2PB1PA2PB2

4141414

，

9492949

4

因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是.

9

a

18.已知数列满足n*，记n.

ana14,an2an12n2,nNbnn

2

（1）证明：数列bn为等差数列；

2

bn

（2）求数列的前n项和Sn；

an

444b

（3）不等式1112n1对nN*都成立，求实数的最小值.

2b12b22bn

【答案】（1）证明见解析

n3

（2）S3

n2n

3

（3）.

4

【解析】

【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等差数列的定义得证.

b2n1

（2）由（1）求出n，再利用错位相减法求和即得.

n

an2

111111

111111

（3）分离参数2022n1，构造2022n1，探讨数列

fn

2n22n2

单调性求出最小值即可得解.

【小问1详解】

n

由an2an12n2，

anan1

得1，即bb1，

2n2n1nn1

a

又b12，

12

所以bn是以2为首项，1为公差的等差数列；

【小问2详解】

a

由（1）得，bbn11n1，且bn，

n1n2n

b2bn1

所以nn，

nn

an22

234n1

则S①，

n2122232n

1234nn1

S②，

2n2223242n2n1

1111n111n13n3

①-②得Sn11，

222232n2n122n2n122n1

n3

所以S3；

n2n

【小问3详解】

444b

要证1112n1，

2b12b22bn

111n2

即1112

2022n1

111

111

0n1对任意正整数n都成立，

222

2n2

111111

111111

令2022n1，则2022n，

fnfn1

2n22n3

11

1nn1n

则fn1n221，

222

fn2n32n22

fn1

因为y单调递减，

fn

f23

当n1时，1，所以f2f1，

f122

fn1f352

当n2时，1，

fnf28

3

当n2时，fn单调递减，所以fnf2，

4

33

即所以实数的最小值为.

44

22

xy13

19.已知椭圆的离心率为，且经过点Q3,.

C:221ab02

ab2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，按如下方式构造点Rnn1,2,3,：过点P1,0作斜率为

knn的直线ln与椭圆相交于不同的两点Mn,Nn，过椭圆的左顶点A作直线AMn,ANn与定直线x4相

交于点Sn,Tn，线段SnTn的中点为Rn.

11

①直线OR的斜率记为k，证明：为定值；

nORnkk

ORnORn1

②求ORnRn1的外接圆圆心的横坐标x0的取值范围.

x2y2

【答案】（1）1

43

23

（2）①证明见解析；②,2；

16

【解析】

【分析】（1）根据题意列关于a,b,c方程求解即可，

（2）①设直线ln的方程为ynxn，Mnx1,y1,Nnx2,y2，联立椭圆方程利用韦达定理求解出

6y16y23y13y23

Sn4,，Tn4,，则Rn的坐标为4,，化简得到Rn4,，则

x12x22x12x22n

3

Rn14,

n1

1149

从而证明得到；②联立中垂线方程求解出外接圆圆心的横坐标x2，再利

kk30

ORnORn18nn1

用函数单调性求解范围即可.

【小问1详解】

c11

由离心率得e，即ca①，

a22

3

b2a2c2a2

4

333

椭圆经过点Q3,，所以②，

221

2a4b

联立①②解得a24,b23，

x2y2

所以椭圆C的方程为1；

43

【小问2详解】

①如图直线ln过点P1,0且斜率knn，

则直线ln的方程为ynxn，

设Mnx1,y1,Nnx2,y2，

ynxn

联立x2y2，

1

43

整理得34n2x28n2x4n2120,Δ0，

8n24n212

所以xx,xx，

1234n21