（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第01讲 基本不等式及其应用（解析版）

2026年暑假讲义第页第01讲基本不等式及其应用1、基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．【例题1-1】下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，此时，当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；对：，当且仅当，即时取等号，但，则等号取不到，故的用法有误；对：，，，当且仅当，即时取等号，故的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：.题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．【例题2-1】若，，且，则的最大值为______．【答案】【解析】由题知，，，且因为，所以，所以，即，当且仅当，即时，取等号，故答案为：【变式2-1】若，，且，则的最小值是____________．【答案】【解析】因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：【变式2-2】已知实数，则的最小值为___________.【答案】【解析】∵，，，∴，当且仅当即时取等号.故答案为：.题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．【例题3-1】若，则的最小值为___________.【答案】0【解析】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：0【例题3-2】已知，则的最小值为__________.【答案】3【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：3.【变式3-1】若，则的最小值为______【答案】【解析】由，则.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例题4-1】已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2B．C．D．6【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.【变式4-1】已知，，满足，则的最小值是______．【答案】.【解析】由，得，所以.当且仅当即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．【例题5-1】设，，若，则的最大值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设，则，条件，所以，即.故选：D.法二：（三角换元）由条件，故可设，即，由于，，故，解得所以，，所以,当且仅当时取等号.故选：D.【变式5-1】已知，，，则取到最小值为________．【答案】．【解析】令，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．【例题6-1】若直线过点，则的最小值为______．【答案】【解析】∵直线过点，．，当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故答案为：．【例题6-2】已知，，且，则的最小值为______.【答案】1【解析】因为，所以，即，因为，，所以，，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为1.故答案为：1【变式6-1】已知正实数满足，则的最小值为___________.【答案】8【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8.故答案为：8.题型七：齐次化求最值【解题方法总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．【例题7-1】已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．【答案】6【解析】由已知条件得，，当且仅当，即，时取等号．故答案为：6.题型八：利用基本不等式解决实际问题【解题方法总结】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．【例题8-1】首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当，即时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则，因为，则，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【变式8-1】某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【解析】（1）该单位每月的月处理成本：，因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而得当时，函数取得最小值，即.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：，每吨二氧化碳的平均处理成本为：当且仅当，即时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．第01讲基本不等式及其应用课后巩固练习1．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.2．下列函数中，是偶函数且有最小值的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对A，二次函数的对称轴为，不是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，，定义域为，所以函数是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；对D，，定义域为，所以函数是偶函数，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值，故D正确.故选：D3．若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12B．25C．27D．36【答案】C【解析】因为，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27．故选：C4．已知实数满足，则的最小值是（

）A．5B．9C．13D．18【答案】B【解析】由，可得，所以，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.5．已知，，且，则ab的最小值为（

）A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，当且仅当即时取等号，即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16.故选：C.6．已知，则下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为4C．若，则的最大值为2D．若，则的最大值为【答案】D【解析】∵，∴，∴，故A正确；若，则，当且仅当时等号成立，故B正确；若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：D.7．下列函数中最小值为4的是A．B．C．D．【答案】【解析】对于，，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，，所以函数的最小值不是4，故选项错误．故选：．8．函数在区间上的最小值为_____________．【答案】．【解析】，因为，所以，故，故，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：9．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．【答案】【解析】设矩形植物种植园的宽、长为，所以，则，当且仅当“”时取等.故至少需要米栅栏．故答案为：．10．已知，，，写出满足“”恒成立的正实数的一个范围是______（用区间表示）．【答案】（答案不唯一，是的子集即可）【解析