（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第03讲 指数与指数函数（解析版）

第页第03讲指数与指数函数1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．(3)指数函数与的图象关于轴对称．【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【例题1-1】下列结论中，正确的是（

）A．设则B．若，则C．若，则D．【答案】B【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；对于B，，故，选项B正确；对于C，，，因为，所以，选项C错误；对于D，，选项D错误.故选：B．【变式1-1】若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】方程有解，有解，令，则可化为有正根，则在有解，又当时，所以，故选：．【变式1-2】不等式的解集为______．【答案】【解析】函数在R上单调递增，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例题2-1】已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】∵的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立，即恒成立，即对任意恒成立，，则．故答案为．【例题2-2】已知函数，，则其值域为_______．【答案】【解析】令，∵，∴，∴，，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.【变式2-1】函数是指数函数，则（

）A．或B．C．D．且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C【变式2-2】已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（

）A．8B．24C．4D．6【答案】C【解析】因为函数图象恒过定点又点A的坐标满足关于，的方程，所以，即所以，当且仅当即时取等号；所以的最小值为4．故选：C．【解题总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题【例题3-1】已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.【答案】．【解析】令因为在区间上是增函数，所以因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．故答案为：.【变式3-1】已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．【答案】，，【解析】设，，则，对于，恒成立，即，对于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，综上，的取值范围为，，．故答案为：，，﹒【变式3-2】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】令，∵，∴，∵恒成立，∴恒成立，∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值，∴，故答案为．【解题总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题【例题4-1】设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，所以，，由可得，因为函数的定义域为，所以，，解得，所以，，则，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【变式4-1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．【答案】【解析】由函数性质知，，∴，即，解得，∴，故答案为：.【变式4-2】已知实数，满足，，则__________．【答案】1【解析】因为，化简得．所以，又，构造函数，因为函数，在上都为增函数，所以函数在上为单调递增函数，由，∴，解得，，∴．故答案为：.【变式4-3】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1B．C．D．0【答案】BC【解析】由表示与点所成直线的斜率，又是在部分图象上的动点，图象如下：如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC第03讲指数与指数函数1．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（

）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】由向右平移个单位，则.故选：D2．某款电子产品的售价（万元/件）与上市时间（单位：月）满足函数关系（a，b为常数，且），若上市第2个月的售价为2.8万元，第4个月的售价为2.64万元，那么在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为（

）（参考数据：）A．3.016万元B．2.894万元C．3.048万元D．2.948万元【答案】B【解析】由题得，，得，解得或，当时，，不合题意舍去，当时，，则，所以，当时，，所以在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为2.894万元．故选：B．3．已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，选项中四个函数定义域均为，，都有对于A，，故为奇函数，满足性质①，∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，，故为奇函数，满足性质①，令，，解得，，∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选：A.4．已知函数，则对任意非零实数x，有（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，，则，显然，且，AB错误；，D正确，C错误.故选：D5．已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，即，令，，则，又，则，不妨取任意正数，，因为，所以，即，所以在区间上单调递增，又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，令，则，令，，则，∴，又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，故选：B.6．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A，易知，，所以，所以，错误；对于B，因为，所以，由知，错误；对于C，，，虽然，但是，故对，不恒成立，错误；对于D，函数，则，，因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，又，所以，所以，即，所以，正确.故选：D7．若，则当取得最小值时，_______.【答案】【解析】根据指数函数值域可知，则依题意得，而，当且仅当，即时等号成立，故.故答案为：.8．由函数的观点，不等式的解集是______【答案】【解析】令，由于均为单调递增函数，因此为上的单调递增函数，又，故的解为，故答案为：9．已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由题意知若，即，∴，∴当时，；当时，，∵的解集为，∴，，且的解集为，∴与是的两根，故，∴，又，∴，又，∴，故答案为：10．已知函数是奇函数．(1)求的值；(2)已知，求的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为，又因为是奇函数，则，解得；经检验，故成立；（2）因为，对任