2025-2026年济南市“市中区”九年级中考数学二模考试试题以及含答案

年九年级学业质量检测数学试题（满分150分时间120分钟）第I卷（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求.1.在−2，0，−12，1中，最小的数是A.−2B.0C.−122.下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（）3.根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力。数据431840000000用科学记数法可以表示为（）A.4.3184×1010B.43.84×1010C.4.3184×1011D.0.43184×10124.如图，△ABC≌△DEF，∠B=40∘，∠D=80∘，则∠F的度数是（）A.100∘B.80∘C.60∘D.40∘5.下列各式计算正确的是（）A.a2+2a3=3a5B.(a2)3=a5C.a6÷a2=a3D.a2·a3=a56.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A.a+b>0B.a−b>a−cC.ac>bcD.ab>ac7.如图，在正五边形ABCDE中，连接对角线AC，AD，则∠CAD的度数是（）A.30∘B.35∘C.36∘D.40∘8.不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别。从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是（）A.12B.13C.149.如图，在△ABC中，∠ACB=60∘，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点D，再以点B为圆心，以AB的长为半径作弧交直线MN于点E，连接BE交AC于点F，连接CE.以下结论不一定正确的是A.∠ABE=60∘B.EFBF=BCABC.BE2=AF·AC10.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=x2−2x−3，将其图象在直线x=−1左侧部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G。M(x1,y1)，N(x2,y2)是图形G上两点，若对于t−1<x1<t，x2=t+3，都有y1<y2，则t的取值范围是（）A.t≤1﹣72或t≥0B.﹣7﹣12≤t≤7第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案.11.若二次根式在x−1实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：.12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同。那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为.13.将一把直尺和一个含30∘角的直角三角板按如图方式放置。若∠1=27∘，那么∠2的度数是.（第13题图）（第14题图）（第15题图）14.共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B两种品牌的共享电动车，图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）的关系，其中A品牌共享电动车的收费方式对应y1，B品牌共享电动车的收费方式对应y2.当骑行时间为25分钟时，A品牌共享电动车比B品牌共享电动车收费少元.15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕EF交BC于点F.若EF=213，DN=3，则BC=.三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分7分）计算：12+(2026−π)0−(15)−1+∣317.（本小题满分7分）解不等式组2（18.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AD，CD边上，DE=DF，求证：∠ABE=∠CBF.19.（本小题满分8分）数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动。如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的C处，沿仰角∠ACM=67∘方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得此时河对岸D处的俯角为∠FBD=33∘.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上.（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求CD的长.（结果精确到0.1m.参考数据：sin33∘≈0.54，cos33∘≈0.84，tan33∘≈0.65，sin67∘≈0.92，cos67∘≈0.39，tan67∘≈2.36）20.（本小题满分8分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点O在AB上，过点D作⊙O的切线DF交BA延长线于点F，对角线AC，BD交于点E，CG是⊙O的直径.（1）求证：∠ADF=∠ACD；（2）若CD=6，sin∠AED=13521.（本小题满分9分）某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的情况开展了统计活动.【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据.（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）【整理和表示数据】第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图；第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间t（分钟）整理分成4组：①0≤t<30，②30≤t<60，③60≤t<90，④90≤t≤120，并绘制成如下的频数分布直方图.（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的m=，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为度；（3）补全频数分布直方图；（4）已知“60≤t<90”这组的数据是：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85.被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位数为分钟；（5）若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数.22.（本小题满分10分）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人。已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元.（1）求A型网箱和B型机器人的单价；（2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的1323.（本小题满分10分）已知反比例函数y=kx（1）求k，m的值；（2）如图1，若四边形OAPQ的面积为6，求P坐标；（3）如图2，连接CQ，若tan∠BCQ=1324.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.直线y=mx+n经过点A，与y轴交于点D.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，E为直线AD与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接BC，BE，CE，若△CBE是锐角三角形，求m的取值范围；（3）如图2，若n=1，点M是抛物线第四象限图象上一点，连接MC并延长，交直线AD与点N，连接BM，BN，求△BMN面积的最大值.25.（本小题满分12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=4，AC=8，在Rt△EDC中，∠ECD=90∘，且CE=2CD，连接AE，BD.【初步感知】（1）如图1，判断线段BD与AE的数量关系并给出证明；【深入探究】（2）如图2，点E在Rt△ABC内部，若A，E，D共线，且DE=BD，求线段AE的长；（3）如图3，点D在Rt△ABC内部，BD=2，过点E作EF⊥AB于点F，点P为线段AE上一点，且AP=12AF，连接BP，当△ABP的面积取最大值时，求BP2答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求.1.在−2，0，−12，1中，最小的数是A.−2B.0C.−122.下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（B）3.根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力。数据431840000000用科学记数法可以表示为（C）A.4.3184×1010B.43.84×1010C.4.3184×1011D.0.43184×10124.如图，△ABC≌△DEF，∠B=40∘，∠D=80∘，则∠F的度数是（C）A.100∘B.80∘C.60∘D.40∘5.下列各式计算正确的是（D）A.a2+2a3=3a5B.(a2)3=a5C.a6÷a2=a3D.a2·a3=a56.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（A）A.a+b>0B.a−b>a−cC.ac>bcD.ab>ac7.如图，在正五边形ABCDE中，连接对角线AC，AD，则∠CAD的度数是（C）A.30∘B.35∘C.36∘D.40∘8.不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别。从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是（B）A.12B.13C.149.如图，在△ABC中，∠ACB=60∘，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点D，再以点B为圆心，以AB的长为半径作弧交直线MN于点E，连接BE交AC于点F，连接CE.以下结论不一定正确的是A.∠ABE=60∘B.EFBF=BCABC.BE2=AF·AC10.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=x2−2x−3，将其图象在直线x=−1左侧部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G。M(x1,y1)，N(x2,y2)是图形G上两点，若对于t−1<x1<t，x2=t+3，都有y1<y2，则t的取值范围是（D）A.t≤1﹣72或t≥0B.﹣7﹣12≤t≤7第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案.11.若二次根式在x−1实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：2.12.在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同。那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为2513.将一把直尺和一个含30∘角的直角三角板按如图方式放置。若∠1=27∘，那么∠2的度数是63°.（第13题图）（第14题图）（第15题图）14.共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B两种品牌的共享电动车，图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）的关系，其中A品牌共享电动车的收费方式对应y1，B品牌共享电动车的收费方式对应y2.当骑行时间为25分钟时，A品牌共享电动车比B品牌共享电动车收费少1元.15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕EF交BC于点F.若EF=213，DN=3，则BC=272三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分7分）计算：12+(2026−π)0−(15)−1+∣3=23+1﹣5+2﹣3﹣3=﹣217.（本小题满分7分）解不等式组2（解：解不等式①得，x<4…………2分解不等式②得，x≥−1…………4分所以不等式组的解集为：−1≤x<4………………6分则该不等式组的正整数解为：1，2，3…………………7分18.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AD，CD边上，DE=DF，求证：∠ABE=∠CBF.证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C………………3分又∵DE=DF∴AD−DE=CD−DF，即AE=CF…………………5分∴△ABE≌△CBF……………6分∴∠ABE=∠CBF…………………7分19.（本小题满分8分）数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动。如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的C处，沿仰角∠ACM=67∘方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得此时河对岸D处的俯角为∠FBD=33∘.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上.（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求CD的长.（结果精确到0.1m.参考数据：sin33∘≈0.54，cos33∘≈0.84，tan33∘≈0.65，sin67∘≈0.92，cos67∘≈0.39，tan67∘≈2.36）解：（1）∵AM⊥MD，∴∠AMC=90∘在Rt△ACM中，∠AMC=90∘sin∠ACM=AMAM=AC·sin∠ACM=130×sin67∘……2分≈130×0.92=119.6(m)答：无人机的飞行高度AM为119.6m；…………3分（2）过点B作BN⊥MD于点N∴∠BND=∠BNM=90∘∵AF∥MD，∴∠ABN=∠BND=90∘，∠FBD=∠BDN=33∘∴∠AMC=∠MNB=∠ABN=90∘∴四边形AMNB为矩形………4分∴AM=BN，AB=MN在Rt△ACM中，∠AMC=90∘cos∠ACM=MC∴MC=AC·cos∠ACM=130×cos67∘≈130×0.39=50.7………………5分在Rt△BDN中，∠BND=90∘tan∠BDN=BN∴DN=BNtan∠BDN=119.6∴CD=MD−MC=MN+DN−MC≈30+184.0−50.7=163.3(m)答：CD的长为163.3m。…………8分20.（本小题满分8分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点O在AB上，过点D作⊙O的切线DF交BA延长线于点F，对角线AC，BD交于点E，CG是⊙O的直径.（1）求证：∠ADF=∠ACD；（2）若CD=6，sin∠AED=135解：（1）如图，连接OD，∵FD为⊙O的切线，∴∠ODF=90∘………………1分∴∠ADF+∠ADO=90∘由题可知AB是⊙O的直径∴∠ADB=90∘……………2分∴∠ADO+∠ODB=90∘∴∠ADF=∠ODB∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD…………3分∵弧AD=弧AD∴∠ACD=∠OBD∴∠ACD=∠ADF……………4分（2）连接DG∵CG是⊙O的直径∴∠CDG=∠ADB=90∘∵弧CD=弧CD∴∠DAE=∠DGC……………5分∴△DAE∽△DGC∴∠AED=∠GCD……………6分在Rt△GCD中，∠CDG=90∘sin∠GCD=DGCG=设DG=13x，CG=5xDG2+CD2=CG2，即(13x)2+62=(5x)2…………………7分解得x=3∴CG=53……………………8分21.（本小题满分9分）某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的情况开展了统计活动.【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据.（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）【整理和表示数据】第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图；第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间t（分钟）整理分成4组：①0≤t<30，②30≤t<60，③60≤t<90，④90≤t≤120，并绘制成如下的频数分布直方图.（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的m=，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为度；（3）补全频数分布直方图；（4）已知“60≤t<90”这组的数据是：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85.被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位数为分钟；（5）若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数.解：（1）15÷25%=60（人）答：随机抽取的学生人数为60人。…………………2分（2）12，18………………………4分（3）补全频数分布直方图为：………5分（4）62………………7分（5）4200×20+1260答：估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数是2240人。……9分22.（本小题满分10分）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人。已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元.（1）求A型网箱和B型机器人的单价；（2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的13解：（1）设A型网箱的单价是x万元，则B型机器人的单价是(x+40)万元…………1分由题意得：180x=300解得：x=60，………………………4分经检验x=60是原方程的根，且符合题意………5分∴x+40=60+40=100答：A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元………6分（2）设购买A型网箱m个，则购买B型机器人(20−m)个，由题意得：20−m≥13解得：m≤15，……………………7分设投资总额为w万元，由题意得：w=60m+100(20−m)=−40m+2000，……8分∵−40<0，∴w随m的增大而减小，∴当m=15，w有最小值…………………9分此时w=−40×15+2000=1400（万元）答：采购A单元15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元。………………10分23.（本小题满分10分）已知反比例函数y=kx（1）求k，m的值；（2）如图1，若四边形OAPQ的面积为6，求P坐标；（3）如图2，连接CQ，若tan∠BCQ=13解：（1）∵正比例函数y=x经过点A(2,a)，∴a=2……………1分∴点A(2,2)∵反比例函数y=kx∴k=2×2=4……………………2分∵一次函数y=mx+3经过点A(2,2)∴2=2m+3∴m=−12（2）∵OA沿AP方向平移得到PQ∴OA∥PQ且OA=PQ∴四边形OAPQ为平行四边形连接OP∵平行四边形OAPQ为的面积为6∴△OPA的面积为3…………4分设P(p,4p∴由割补法得S△AOP=2p−12×2×2−12×p×4p−12(p−2)(2−解得p=4∴P(4,1)………………………6分（3）过点B作BG⊥BC，交CQ的延长线于点G，过点B作y轴的平行线l，过点C和点G，分别作CM⊥l，GN⊥l。∴∠CMB=∠GNB=90∘∴∠MCB+∠MBC=90∘又∵∠GBN+∠MBC=90∘∴∠MCB=∠GBN∴△MCB∽△NBG∴BNCM=GNMB∵tan∠BCQ=1∴BGBC=∵一次函数y=﹣12∴B(6,0)∴BN6=GN3∴BN=2，∴GN=1∴G(5,−2)……………………7分又∵C(0,3)∴CQ解析式：y=−x+3……………………8分设Q(t,−t+3)∵四边形OAPQ为平行四边形∴P(t+2,−t+5)∵P在反比例函数上∴(t+2)(−t+5)=4……………9分解得t1=3+332，t2=所以Q(3+332,24.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.直线y=mx+n经过点A，与y轴交于点D.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，E为直线AD与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接BC，BE，CE，若△CBE是锐角三角形，求m的取值范围；（3）如图2，若n=1，点M是抛物线第四象限图象上一点，连接MC并延长，交直线AD与点N，连接BM，BN，求△BMN面积的最大值.解答：(1)∵y=x2+bx+c过A(−1,0)，B(3,0)；∴0=1−b+c0=9+3b+c，解得b=−2∴抛物线的表达式y=x2−2x−3，……………3分（2）∵直线y=mx+n过点A(−1,0)∴m=n∴y=mx+m抛物线的对称轴为直线x=1∴E(1,2m)………………………4分∵点B(3,0)和C(0,−3)∴BE2=4+4m2，BC2=18，CE2=1+(2m+3)2若△CBE是直角三角形，则只能∠CBE=90∘或∠CEB=90∘若∠CBE=90∘，则BE2+BC2=CE2，解得m=1……………6分若∠CEB=90∘，则BE2+CE2=BC2，解得m=﹣∵△CBE是锐角三角形，∴综合得﹣3（3）连接BC，由点B(3,0)和C(0,−3)，则直线BC的解析式为y=x−3，过点M作MQ∥y轴，交BC于点Q，设点M的坐标为(a,a2−2a−3)，∴点Q的坐标为(a,a−3)∴MQ=a−3−(a2−