32　利用导数研究函数的单调性极值和最值

体系透视题型透析目录题型一利用导数解决函数的单调性问题题型二利用导数解决函数极（最）值问题题型三利用导数解决函数的零点问题题型四解f(x)与f′(x)共存不等式问题体系透视题型一利用导数解决函数的单调性问题角度一求函数的单调区间题型透析例1

(2024北京日坛中学开学测试,20节选)已知函数f(x)=ax-

-(a+1)lnx,a∈R,求函数f(x)的单调区间.解析

f(x)的定义域为{x|x>0},f'(x)=

=

(分解因式为后面解f'(x)<0与f'(x)>0作准备).①当a≤0时,ax-1<0(用不等式性质判断含参因子的符号,方便后面解f'(x)<0与f'(x)>0),令f'(x)<0,解得x>1,则函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,令f'(x)>0,解得0<x<1,则函数f(x)在(0,1)上单调递增.②当0<a<1时,令f'(x)<0,解得1<x<

,则函数f(x)在

上单调递减,令f'(x)>0,解得0<x<1或x>

,则函数f(x)在(0,1)和

上单调递增.③当a=1时,f'(x)≥0恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).④当a>1时,令f'(x)<0,解得

<x<1,则函数f(x)在

上单调递减,令f'(x)>0,解得0<x<

或x>1,则函数f(x)在

和(1,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,f(x)的递增区间是(0,1),递减区间是(1,+∞);当0<a<1时,f(x)的递减区间是

,递增区间是(0,1)和

;当a=1时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>1时,f(x)的递减区间是

,递增区间是

和(1,+∞).技巧归纳利用导数求函数的单调区间的两个方法解不等式法列表法确定函数y=f(x)的定义域确定函数y=f(x)的定义域求导函数y'=f'(x)求导函数y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义域内

的所有根解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区

间把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)和上面所求的各

根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)

的定义域分成若干个小区间解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区

间确定f'(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每

个区间内的单调性角度二由单调性求参数范围例2

(2024清华附中朝阳、望京学校开学考试,20节选)若函数f(x)=lnx-

在区间(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.思路导引

解析∵f(x)=lnx-

=lnx+

-a,∴f'(x)=

-

,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增等价于f'(x)=

-

≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤

=

+

+1在(0,+∞)上恒成立(分离参数求最值),∵x>0,∴

+

+1≥2

+1=2,当且仅当

=

,即x=1时等号成立,故实数a的取值范围为(-∞,2].解后反思已知函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成

立,进而列出不等式;(2)利用分离参数法求解恒成立问题;(3)如有必要,对等号是否成立进行单独检验,检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间上

(或该区间的子区间上)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别

点(有限点)处有f'(x)=0,则参数可取这个值.变式训练1.(2024丰台怡海中学开学检测,17节选)设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0),求函数f(x)的单调区间.解析由题意得f'(x)=3x2-3a(a≠0),当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a>0时,由f'(x)=0,得x=±

,当x∈(-∞,-

)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-

,

)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(

,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,即函数f(x)的递增区间是(-∞,-

),(

,+∞),递减区间是(-

,

),综上,当a<0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,+∞);当a>0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,-

),(

,+∞),递减区间是(-

,

).2.(2024北京一六六中阶段测试,20节选)已知函数f(x)=

在(0,-a)上单调递增,其中a为常数,求实数a的取值范围.解析

f(x)的定义域为{x|x>0且x≠-a},f'(x)=

=

,由f(x)在(0,-a)上单调递增,得a<0,且x∈(0,-a)时,f'(x)≥0恒成立.又x∈(0,-a)时,a<x+a<0,所以1+

-2lnx≤0在(0,-a)上恒成立,即a≤2xlnx-x在(0,-a)上恒成立,令g(x)=2xlnx-x,x∈(0,-a),则g'(x)=2lnx+1,令g'(x)=2lnx+1=0,解得x=

,∴当x∈

时,g'(x)<0,当x∈

时,g'(x)>0,∴g(x)在

上单调递减,在

上单调递增,当-a<

时,a≤2(-a)ln(-a)+a,解得-a≥1,矛盾;当-a≥

时,a≤g

=

,∴实数a的取值范围是

.题型二利用导数解决函数极(最)值问题例3已知函数___________________❶________________❷且____________❸求a的取值

范围.极大值小于0,若f(x)存在极大值,f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.知识联想

❶f(x)在(0,+∞)上连续可导.❷f'(x)有变号零点x0⇒x0附近左侧f'(x)>0,x0附近右侧f'(x)<0.❸通过讨论找到f(x)的极大值后,令其小于0,求出a的范围.思路导引

1.求导:f'(x)=

.2.讨论导函数的正负⇔讨论分子(2ax-1)(x-1)的正负.3.a是二次项系数中的参数,分类讨论:①a<0,函数y=(2ax-1)(x-1)在(0,+∞)上仅有一个零点x=1;②a=0,函数y=(2ax-1)(x-1)=-x+1在(0,+∞)上仅有一个零点x=1;③a>0,函数y=(2ax-1)(x-1)是二次函数,图象开口向上,a影响着一元二次方程(2ax-1)·(x-1)

=0的根的个数和大小.解析由函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x,得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=

+2ax-(2a+1)=

=

.①当a<0时,令f'(x)=0,解得x=1或x=

(舍),当0<x<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(1)=-a-1,由题意得-a-1<0,解得a>-1,所以-1<a<0.②当a=0时,f'(x)=-x+1,令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(1)=-1<0,所以a=0符合题意.③当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1或x=

.

(i)若

>1,则0<a<

,当0<x<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当1<x<

时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>

时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)在区间(0,1),

上单调递增,在

上单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(1)=-a-1,由题意得-a-1<0,解得a>-1,所以0<

a<

.(ii)若

=1,则a=

,可得f'(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.(iii)若

<1,则a>

,当0<x<

时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当

<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)在区间

,(1,+∞)上单调递增,在

上单调递减,所以当x=

时,函数f(x)取得极大值,极大值为f

=ln

+

-(1+2a)·

=-ln(2a)-

-1,因为-ln(2a)-

-1<0恒成立,所以a>

符合题意.综上所述,若函数f(x)存在极大值,且极大值小于0,则a的取值范围为

∪

.模型提炼

1.解决函数极值问题的一般思路

2.可导函数f(x)的极值点存在问题可转化为导函数f'(x)的变号零点存在问题.3.求函数的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,

画出函数的大致图象,然后借助图象观察得出函数最值.变式训练3.(2024北京回民学校上学期统测一,19节选)已知函数f(x)=(x2-ax)lnx-

x2+ax.求函数f(x)的极值点.解析由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=(2x-a)lnx,令f'(x)=0,解得x=1或x=

,①当a≤0时,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗∴函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)的极小值点为x=1,无极大值点.②当0<a<2时,

<1.x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:x

0,

,1

1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)在

和(1,+∞)上单调递增,在

上单调递减,∴f(x)的极大值点为x=

,极小值点为x=1.③当a=2时,f'(x)=2(x-1)lnx≥0恒成立,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数无极值,即不存在极值点.④当a>2时,

>1.x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:x(0,1)1

1,

,+∞

f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)在(0,1)和

上单调递增,在

上单调递减,∴f(x)的极大值点为x=1,极小值点为x=

.综上,当a≤0时极小值点为x=1,无极大值点;当0<a<2时极大值点为x=

,极小值点为x=1;当a=2时不存在极值点;当a>2时极大值点为x=1,极小值点为x=

.题型三利用导数解决函数的零点问题例4

(2024北京潞河中学月考,20节选)已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx,当0<a<1时,求f(x)

零点的个数.题干分析本题是含参的函数零点个数问题,可采用数形结合法或分类讨论法求解.因

为本题已经给出了参数a的范围,所以使用数形结合法能避免分类讨论,解题更加便捷.解析

解法一:分类讨论法

第一步:求函数的单调区间.由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=

,令f'(x)=0,由0<a<1,得

>1.当x∈

时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈

时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.第二步:讨论函数f(x)在

上的零点个数.故函数f(x)在x=

处取得极小值,为f

=lna+1-

.因为0<a<1,所以lna<0,因为

>1,所以1-

<0,所以f

=lna+1-

<0,而f

=

+

+1>

+1=

,(不等式放缩法)又因为0<a<1,所以a+e-2>0,所以f

>0.所以f

·f

<0,函数f(x)在

上有且仅有一个零点.第三步:讨论函数f(x)在

上的零点个数.因为x>lnx,所以f(x)=ax2+(a-2)x-lnx>ax2+(a-2)x-x=x(ax+a-3).(不等式放缩法)令ax+a-3>0,得x>

,又0<a<1,故

>

.所以当x>

时,f(x)>0.又f

<0,所以函数f(x)在

上有且仅有一个零点.第四步:总结.综上,当0<a<1时,f(x)有两个零点.解法二:数形结合法

第一步:零点问题转化为两函数图象交点问题.令f(x)=ax2+(a-2)x-lnx=0,得lnx=ax2+(a-2)x.第二步:作出两函数图象.作出函数y=lnx的图象,因为0<a<1,令ax2+(a-2)x=0,得x=0或x=

=

-1>1,作出y=ax2+(a-2)x的图象,如图,

第三步:由图象交点个数得零点个数.由图知函数y=lnx与y=ax2+(a-2)x的图象有两个交点,所以函数f(x)有两个零点.技巧归纳

名师点睛

1.研究零点时,首先要确认有没有零点.如果有,再研究有几个.2.研究零点个数时,对于函数自变量趋向无穷时函数值的描述,一般采用选取某个特殊

的函数值来说明符号正负的方法.变式训练4.(2024海淀期中,20节选)已知函数f(x)=aln(x-a)+

x2-(2a+1)x,a>0,求f(x)的零点个数.解析由题意得f(x)的定义域为(a,+∞),f'(x)=

+x-(2a+1)=

.令f'(x)=0,得x=2a或x=a+1.①若0<a<1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:x(a,2a)2a(2a,a+1)a+1(a+1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗f(2a)=alna-2a2-2a<0,所以x∈(a,a+1]时,f(x)<0,又f(4a+2)=aln(3a+2)>0,所以f(x)在(a+1,+∞)上有且仅有一个零点,故f(x)的零点个数是1.②若a=1,对任意x>1,f'(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,又f(2)=-4<0,f(6)=ln5>0,由函数零点存在定理知,f(x)有1个零点,故f(x)的零点个数是1.③若a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:x(a,a+1)a+1(a+1,2a)2a(2a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗f(a+1)=

(a+1)<0,所以x∈(a,2a]时,f(x)<0,又f(4a+2)=aln(3a+2)>0,所以f(x)在(2a,+∞)上有且仅有1个零点,因此f(x)的零点个数是1.综上,当a>0时,f(x)的零点个数是1.题型四解f(x)与f'(x)共存不等式问题例5

(202某省市八一学校月考,10)已知奇函数f(x)的定义域为

,且f'(x)是f(x)的导函数.若对任意x∈

,都有___________________❶,则满足f(θ)<2cosθ·f

的θ的取值范围是

()A.

B.

∪

C.

D.

D

f'(x)·cosx+f(x)sinx<0题干分析由❶想到三角函数的求导公式、导数除法的运算法则及导数判断函数单

调性的方法,进而构造函数g(x)=

求解.解析

第一步:构造函数g(x)并判断奇偶性.令g(x)=

,x∈

,∵f(x)为奇函数,y=cosx为偶函数,∴g(x)为奇函数.第二步:判断函数g(x)的单调性.∵∀x∈

,有f'(x)cosx+f(x)sinx<0,∴g'(x)=

<0,∴g(x)在区间

上单调递减,又g(x)为奇函数,∴g(x)在区间

上单调递减,第三步:用单调性的定义解不等式.当θ∈

时,f(θ