初中数学60个几何模型专题复习：模型57 12345模型

模型57“12345”模型

1模型故事

为什么叫“12345”模型

何为“1,2,3”?

如图，°tana=；,tan/?=1

•54

何为“4,5”？

如图，当满足匕!1"二二七2"？=工时，“。+8=45°”.

32

对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型.

模型展现

基础模型怎么用

在如图所示的大小相同的小正方形方格内

图示结论1.找模型

1.如图①,若tanZDAFa,tanZBAE贝lj在网格、四边形、坐标系等中涉及几

何问题时，隐含特殊的正切值“1”

ZDAF+ZBAE=45°;Q"+3”=45°

“2”“3”“和特殊角“4

2.如图①，若tanZDFA=3,tanZAEB=2,

5。”，考虑用“12345”模型

则NDFA+NAEB=135°;(“3"+“2”=13

2用.模型

5°)运用特殊的正切值及“12345”

模型，将45°、90°这两个特

3.如图②，若tanNAFGs，tanNAEB=2则

殊角度联系起来，简化此类题

ZAEB-ZAFG=45°;(“2"-3”=45°

的运算

4.如图③，若tanZDFA=3,tanZAEII则Z

DFA-NAEH=45°;(“3”七”=45°

图③

结论分析

结论3:tinffl®,tanz/lFG=tan^AEB=2,®]NAEB-NAFG=4

5°

图①

证明:根据网格线计算可得，AE=遥,EF=®AF=同,

•••ZE?+EF2="2,

「•△AEF为等腰直角三角形,

ZEAF=45°,

ZAEB-ZAFG=ZDAE-ZDAF=ZEAF=45°.

（结论4证明同结论3）

模型拓展

拓展方向：结论中未直接给出“12345”模型

图示结论

1.如图①，若tanZAEB=

2,tan/FEC二则NAEB+N

FEC=90°;(“2"+%”二

图①90°

2.如图②，若tanNAEB二

3,tanNFEC二则NAEB+N

FEC=90°;(“3"+“3”二

90°

3.如图③，若tan/BDA3

tanNDB二则tan(ZBDA+

NDBA)二tanNBACj；(3”

图③+一”

十3,~4

1

IT-HB

T—F-4.如图④，若tan/BDA^tan/DB

1

____1一一J一.一——

1N

1__4...

11

11=贝ijtan(ZBDA十ZDBA)=

牙

■r—ir—1xW

1tanZBAC;(+2”二

DI'.A!C32

n

图④3

结论1：如图①，若12!1乙4£18=2,12114/^。=3贝1」^AEB+

2

Z.FEC=90°

图①

证明：根据网格线计算可得，AE=yj5,EF=VS,AF=V10,

222

•・♦AE+EF=AFt

•••△AEF为等腰直角三角形，

乙4EF=90°,

.・.^AEB+乙FEC=90。..(结论2证明方法同结论1)

结论3：如图②，若tan^BDA=-,tan^DBA=；则tan^BDA+

33

3

4DBA)=tan^BAC=:

图②

证明：根据网格线计算可得.A8=5=AD,

乙DBA=Z-BDA,

•••乙BDA+乙DBA=Z.BAC,

.0.tan^Z-BDA+乙DBA)=tanZ-BAC,

又：tan/BDA=tanZ-DBA=-,tan/-BAC=三,

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Q

•••tan(z_B04+乙DBA)=tanz.BAC=

(结论4证明方法同结论3)

模型典例

思路点拨

例1如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是EC的中点,将aABE

要求DG的长,构造含DG的直

角三角形，结合题干已知条件

利用正切值表示，分析发现正

沿AE折叠得到aAFE,延长EF交DC于点G,则DG的长为

切值与特殊角满足“12345”

)模型，利用模型即可解题.

思路点拨

32

11

4D.3由网格图可得tanzMCF=1,

例2例如图所示的网格中,A.M,C,N,F都在格点上,AN与CM相交于点P,则tantaMMAN=*根据“12345”

模型结论易得NMCF+NW1N=4

5。，根据三角形的内外角关

系即可求得/APC,从而

求得NCPN.

针对训练

1.如图，在矩形ABCD中,BC=3,CD=4,将ZiCDE沿DE翻2-模型构造如图，在边长为6的正方形ABCD中，点

折,使得点C恰好落在对角线BD上的点F处，则BEE为AB上靠近点A的三等分点，连接DE,点F,G

的长为1分别为BC,AD上一点，连接FG交DE于点P,且NE

PF=45°,则GF的长为.

第2题图

第1题图

3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平6.“选做如图,抛物线y=x2+bx+c与坐标

分线交BC于点E,交AB的延长线于点