初高中数学衔接知识点专题(一)

初高中数学衔接知识点专题（一）

★专题一数与式的运算

【要点回顾】

1,绝对值

⑴绝对值的代数意义：.即,

⑵绝对值的几何意义：的距离.

网两个数的差的绝对值的几何意义：表示的距离.

⑷两个绝对值不等式：；,

2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

⑴平方差公式：；

⑵完全平方和公式：；

网完全平方差公式：.

我们还可以通过证明得到卜.列一些乘法公式：

［公式］］（a+Z?+c）2=________________________

［公式2］:+ZA立方和公式）

［公式31___________________________=以3—（立方差公式）

说明:上述公式均称为“乘法公式”二

3.根式

⑴式子叫做二次根式，其性质如下：

（1）；（2）;（3）;（4）

［2］平方根与算术平方根的概念：叫做的平方根，记作，其中叫做的

算术平方根.

［3］立方根的概念：叫做的立方根，记为

4.分式

［1］分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式.当MWO时，分式具有下列性质:

（1）;（2）.

⑵繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

⑶分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去.叫做分母（子）有理化,分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的

有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分

子中的根号的过程

【例题选讲】

例1解下列不等式：（1）（2）>4.

例2计算：

(1)(x2-V2x+-)2⑵乙」〃)」/+:〃+4)

35225104

(3)5+2)(。-2)(，+4a2+16)(4)(x2+2xy-^y2)(x2-xy+y2)2

例3已知，求的值.

例4已知，求的值.

例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数):

3

(1)(2)7)2+/2―姆(x>l)

2+6

(3)(4)

例6设,求的值.

例7化简：(1)(2)

(1)解法一：原式=

解法二：原式=

(2)解：原式=

2(x+3)—12—(x—l)(x—3)—(x—3)~3—x

23+3)(--3)-2(x+3)(x-3)-2(x+3)

说明：(1)分式的束除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简;

(2)分式的计算结果应是最简分式或整式

【巩固练习】

1.解不等式k+3|+|x-2|<7

设，求代数式的值.

当，求的值.

设，求的值.

2.计算(x+y+z)(-戈+y+z)(x-y+z)(x+y—z)

6.化简或计算：

⑴述一明十号之田⑵2加7(2-后十七

x4x+Xy[yx+yfxy+y一、/rb-yfab..aba+b.

⑶⑷诉+7^-(7^+^；一砺)

xy-y2xy[x-yy/y

•各专题参考答案•

专题一数与式的运算参考答案

例1(1)解法1:由，得；

①若，不等式可变为，即；②若，不等式可变为，即，解得：.综上所述，原不等式的解为.

解法2:表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标

为x的点到坐标为2的点之间的距离小于I,观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为

I的点的右侧.所以原不等式的解为.

解法3：,所以原不等式的解为.

(2)解法一：由得•由.得，

①若，不等式可呸为，'即>4,解"xVO,又xVl,・・・xV0；②若，不等式可变为，即>4,・,・不存

在满足条件的X；

③若，不等式可变为，即>4,解得x>4.乂x23,・・・x>4.

综上所述，原不等式的解为xVO.或x>4.

解法二：如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x—1|；|x—3|表示

x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|.

所以，不等式>4的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2,

可知点P在点C(坐标为0)的左恻、或点P在点D(坐标为4)的右侧.

所以原不等式的解为xVO.或x>4.

例2(1)解：原式=

4*/T3822\/21

=X-2第H—----------X4—

339

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降塞或升骞排列.

(2)原式=(1机)3—('〃)3=—

521258

(3)原式=(/-4)(/+4a2+42)=(a2)3-43=ab-64

(4)原式二㈠+旷尸4/一所+/产=[(》+)以丫2_0，+3,2)]2=(丫3+,3)2=丫6+2/丫3+卜6

例3解：

原式=。+-)(X2-1+4-)=(X4--)[(X+-)2-3]=3(32-3)=18

XX"XX

例4解：

mi、b+c，。+ca+ba(-a)b(-b)c(-c)a1+b2+c2

原式=Q--------+b--------+c--------=—―-+——-+—―-=-------------------©

beacabbeacabahc

va34-b'=(a+b)[(a+b)2-3ab]=-c(c2-3ab)=-c3+3abc

②，把②代入①得原式=

例5解：(1)原式=

(x-l)+(x-2)=2x-3(x>2)

(2)原式=|x—11+1x—21=«

(x-l)-(x-2)=l(l<x<2)

说明：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论.

⑶原式打\la2b-^-ab2

ab

(4)原式:2」-^——y/x'X2+J2x2%=yjlx-x>[x4-2\[lx=3>/2