大学线性代数试题及答案

2006学年第2学期线性代数〔A卷〕

填空题(此题共有30分,每题3分)

120

1.A=i130,那么A-

001

2.设A为4阶方阵，且网=1,那么|3川=.

3.%二(2,3,4,5)7,%=(3,4,5,61,a3=(4,5,6,71,%=(5,6,7,8)，,那么向量组

{%,%，%，。/的秩为.

4.设A是〃阶方阵，且满足A2+A-5七=0,那么(A+2E)T=.

1211

5.方程组23。+23无解，那么实数a

1a-21

Tr

6.设《=(lx,l),a2=(2,-1,2),a3=(0,1,2/,当x时，即%，火线性无关・

7.设向量a=(2,3,4,l)/=(l,-3,2,幻，且a与/正交，那么x=t

8.假设4阶矩阵A与8相似，矩阵A的特征值为，那么行列式

2345

\B'-E|=.

9.二次型/(5,/,七)=¥+2百七的负惯性指标为.

10.在MATLAB软件中，inv(A)表示求.

二、单项选择题(此题共21分，每题3分)

1.设〃维向量a和/7的模分别是4和8,a与夕的距离是，那么a与夕的夹角为()

(A)-(B)--(C)—(D)--

3333

2.设4为5阶方阵，且R(A)=4,几区是4r=。的两个不同的解向量，那么Ar=O的通解

为()

(A)kR(B)kp2(C)以4+⑸)(D)k(伙-仇)

3.以下命题中与命题“〃阶方阵A可逆〃•不•等•价的是()

(A)|4|工0(B)A的列向量组线性无关

(C)方程组4=0有非零解(D)A的行向量组线性无关

-123一

4.e=24/,P为3阶非零矩阵，且满足夕。=0、那么()

369

(A)，=6时P的秩必为1(B)，=6时产的秩必为2

(C)ZW6时产的秩必为1(D)”6时P的秩必为2

5.当以下哪一个命题成立时，〃阶方阵A与8相似()

(A)|A|=|B|(B)R(A)=R(B)(C)A与8有相同的特征值

(D)A与B有相同的特征值，且〃个特征值各不相同

6.设6，4,%是齐次线性方程组心=0的根底解系，那么以下向量组不能作为公=0的

根底解系的是（）

（A）。|+。2，。1十号3（B）a?+。3，仪］+。2+。3

（c）/，四+%，%+%+%（D）%+%6+四,％一a

7.设A与8均是〃阶正定矩阵，A*,ZT分别为A,8的伴随矩阵，那么以下矩阵必为正定矩

阵的是（）

（A）A*+3*（B）A才（C）勺与+'8.（即k为任意常数）（D）A*-*

21L1

1?L1

三、计算〃阶行列式&二»一一一的值.（此题8分）

MMMM

11L2

（1+7）玉+x2+x3=0

四、设线性方程组卜1+（1+外%+与=4，

当2等于何值时，方程组

芭+“2+（I+九）工3=一%~

（1）有惟一解;⑵无解；（3）有无穷多解，并用根底解系表示方程组的通解.（此题12

分）

五、设有向量a=(0,4,2,5尸,4=(1,2,3,11,乩=(2,3,1,21,

4二（3,1,2,-2）/，问a可否表示成力，八用的线性组合?假设可以,请给出一种表达式.

（此题9分）

六、证明假设〃阶方阵4满足川-4/1+3£=（）,那么人的特征值只能是1或3.（此题8分）

七、二次型/（xpx2,x3）=2x；+3x；+3xj+2a¥2x3（a>0）通过正交变换化成标准型

/=犬+2），；+5代，求参数。及所用的正交变换矩阵.（此题12分）

2006学年第2学期线性代数（A卷）答案

,6-40、

1.-2202.813.24.-(A+3E)5.3或-1

102,

6.xW--7.-18.249.010.10

2

二.1.A2.D3.C4.C5.D6.B7.B

〃+11…111…111-1

〃+12…112…101•••0

D「[4分)=(n+1)(6分)=(n+1)=n+l(8分)

〃+11…211…200-1

四.（12分）

I+Z11

11+21=（4+3）A2...............（2分）

111+4

（1）.当义工0且2W-3时，方程组有唯一解（4分）

（2）.当;1=-3时

（7分）

R（A）=2WR（A）=3・•・方程组无解（8分）

（3）.当%=0时

1r

（）（）......................................................（9分）

00

Z

R（A）=1<3J故方程组有无穷多解......（10分）

++=Q0

XyX2X31=（-11°）5=（T0•・…⑴分）

・.・通解工=k。+七乙，其中左，后为任意实数…（12分）

卜+2k2+3k3=0

2k\+3k2+0=4

五.（9分）设a=匕夕］+&42+欠他，（2分）

3k\+k2+2&=2

k[+2k2-2k3=5

p230、P23°〕

23140-1-54

__V..............................（AZk1

A=—>14,丁J

3122001-1

2-25J1000

VR（A）=R（A）=3••・方程组有解（5分）

kr+2k2+3的=0

42-5右=4……（7分）4=1/2=1，阳=-1-（8分）

乩=-1

a=4+打一夕3.......（9分）

六.（8分）证明：设4为A的特征值，（p（A）=A2-4A+3E=0.....（2分）

那么—为火力）的特征值......（4分）

即m（A）一到/l）q=O.....（6分）

而（p（A）=0/.|0-=（pn（2）=0

••・°（人）=万一4；1+3=0.・・/1=1或3……（8分）

七.（12分）

,20。、

A=0203分）A的特征值为1,2,5（2分）

“。3）

20a

网=1x2x5即网=024=2（6-«2）=10Aa=±l（舍去-1）（5分）