初中几何经典例题

经典例题1

如图，在矩形.48CO中，E定边AB上一点,BE=BC,EFLCD,垂足为尸.将四边形C8E产

绕点C顺时针旋转a(0°<a<90°),得到四边形C8£尸，夕E'所在的直线分别交直线

BC千点G,交宜线/O干点尸，交CO于点K.E'F'所在的出线分别交宜线8c于点H,交

五线于点0,连接夕F交CD于点O.

(1)如图1,求证：四边形5EFC是正方形：

(2)如图2,当点。和点0重合时.

①求证：GC=Z)C；

②若QK=1,。=2,求线段GP的长；

【分析】(1)根据邻边相等的矩形的正方形证明即可.

(2)①证明△CGBTsCDF*(ASA),可得结论.

②设正方形的边长为a,利用勾股定理构建方程求出a,再证明GK=PK,求出PG=2PK,

求出PK可得结论.

经典例题2

如图，△0.48的顶点坐标分别为O(0.0),A(3,4),B(6,0),动点尸、。同时从点

O出发.分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单

位，点P到达点B时点P、。同时停止运动.过点Q作MN//OB分别交AO.AB于点M、

N,连接PA/、PN.设运动时间为，(秒).

(1)求点M的坐标(用含，的式子表示)；

(2)求四边形尸面积的最大值或最小值；

(3)是否存在这样的直线/,总能平分四边形AW5P的面积？如果存在，请求出直线/

的解析式；如果不存在，请说明理由；

(4)连接.4P.当NO.4P=/8尸N时，求点N到。4的距离.

【分析】(1)过点A作x轴的垂线，分别交MN和x轴于点E和点F,利用三角形相似

写出点M的坐标；

(2)四边形的面积可以用分割法求解，MNP和^BNP的面积之和；②四边形MNBO

和aOMP的面积之差，其它方法亦可；

(3)先判断四边形MNBP的形状，就可知道平分四边形MNBP的直线经过的定点的坐

标(用含t的式子表示J,然后消去3得到直线I的解析式；

(4)利用三角形相似解题，由/OAP=/BPN和/AOB=/PBN(由题意可知)，得

证△AOPSAPBN,再利用相似的性质求出对应的t值，再由等面积法求高，求出点N

到OA的距离.

经典例题3

在平面直角坐标系中，抛物线—i=-(/4)(.v-n)与.v轴交广点』和点5(〃，0)(〃7-4),

顶点坐标记为(加，Ai).抛物线「2=・(.v+2〃)〃2+2〃+9的顶点坐标记为(介2,h).

(1)写出月点坐标；

(2)求Ai，后的值(用含”的代数式表示)

(3)当-4W〃W4时，探究心与的的大小关系；

(4)经过点M(2/i+9,-5/I2)和点N(2〃，9-5/P)的H线与抛物线以=-(.vM)Cv-/i),

n=-(./2〃)2-M+2〃+9的公共点恰好为3个不同点时，求〃的值.

【分析】(1)令yi=0,得到x值即为A、B的横坐标，

(2)由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标.

2

(3)讨论ki-k2=5/4n・5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得

长、心大小.

(4)两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y=・x・5n2+2n+9.①当直线

2

MN经过抛物线yi,y2的交点时,联立抛物线yi与y2得解析式(5n-4)x=-5n-2n+9①,

联立宜线y=-x-5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+(4n-1)x=0,求出n的值，此

时直线MN与抛物线yi,y2的公共点恰好为三个不同点，即(5n-4)(1-4n)=-5n2

-2n+9,该方程判别式△<(),②当直线MN与抛物线yi或者与抛物线y2只有一个公共

点时，当直线MN与抛物线yi只有一个公共点时，联立直线y=・x-5M+2n+9与抛物

线y=-x?+(n-4)x+4n可得，-x?+(n-3)x+5n2+2n-9=0,解得n的值，由①而

知直线MN与抛物线yz公共点的横坐标为xi=0,x2=1-4n,xi^x2,所以此时直线MN

与抛物线力，y2的公共点恰好为三个不同点，联立宜线y=-X-5n2+2n+9与抛物线yi

得：-x2+(n-3)x+5n2+2n-9=0,△=21n2+2n-27,当n=1/4时，△VO,此时直

线MN与抛物线yi,y2的公共点只有一个，nW1/4.

经典例题4

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点例如(1,D,(2021.

2021)…都是“雁点”.

(1)求函数y=4图象上的“雁点”坐标：

x

(2)若抛物线j，=ad+5.什c上有且只有一个“雁点”后该抛物线与Y轴交于M、N两点(点M在点N

的左#0.当。＞1时.

①求c的取值范围；

②求/EW的度数：

(3)如图,抛物线＞，=・./+2/3与x轴交于小8两点(点4在点8的左健),P是抛物线＞=・.，+2/3

上一点.连接8P.以点尸为直角顶点•构造等腰Rt^BPC,是否存在点尸•使点C恰好为“雁点”？

【分析】(1)由题意得：x=4/x,解得x=±2,即可求解；

(2)