2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学中考押题可打印冲刺卷（聚焦概率统计与应用建模含答案详解与评分标准）S4878

2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学中考押题可打印冲刺卷（聚焦概率统计与应用建模，含答案详解与评分标准）S48782026年黑龙江省哈尔滨市高三数学中考押题可打印冲刺卷（聚焦概率统计与应用建模，含答案详解与评分标准）S4878适用对象高三数学冲刺训练考试时间120分钟满分150分答题说明本卷用于限时诊断与查漏补缺训练；试题聚焦概率统计与应用建模，题卷与答案解析分开呈现。请在规定时间内独立完成；计算结果按题目要求保留，证明与建模题须写出必要过程。

2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学中考押题可打印冲刺卷（聚焦概率统计与应用建模，含答案详解与评分标准）S4878学校：______________班级：______________姓名：______________考号：______________考试时间：120分钟满分：150分答题说明与注意事项1.本卷共22题，选择题、填空题和解答题均须按题号作答，题号不得跳写。2.选择题每题只有一个正确选项；填空题只写最终结果；解答题须写出关键公式、代入过程和结论。3.计算题涉及概率、均值、方差、回归模型和正态模型时，结果可按题意保留到指定精度。4.本卷聚焦高频方向，用于阶段性诊断、限时训练和查漏补缺，不作考试命中承诺。一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）请将唯一正确选项填入答题卡。1.某班50名同学一次限时训练的数学成绩分布如下：90分至105分8人，105分至120分14人，120分至135分18人，135分至150分10人。随机抽取1名同学，其成绩不低于120分的概率为（）。

A.2/5B.13/25C.14/25D.3/52.一组数据7，8，8，9，10的平均数、中位数、众数分别记为a，b，c。若再加入一个数据8，则下列说法正确的是（）。

A.平均数不变B.中位数和众数均不变C.中位数变为8.5D.众数变为103.已知事件A与事件B相互独立，P(A)=0.6，P(A∩B)=0.24，则P(B的对立事件)为（）。

A.0.24B.0.36C.0.40D.0.604.某校复习资料借阅量y（本）与推广天数x（天）满足模型y=80+12x−x²，0≤x≤12。若按该模型估计，借阅量达到最大时x为（）。

A.4B.6C.8D.125.某活动抽奖收益X（单位：元）的分布为：X=0的概率为0.5，X=10的概率为0.3，X=30的概率为0.2。则X的数学期望为（）。

A.6B.8C.8.5D.96.某校统计发现，模拟训练投入时间x（小时）与提升分数y（分）可用回归直线y=0.8x+2近似描述。若x=10，则预计提升分数为（）。

A.10B.8C.12D.187.若随机变量X服从二项分布B(100，0.5)，则X的数学期望和方差分别为（）。

A.50，25B.50，50C.25，50D.100，258.数据1，2，2，3，7用于描述某小组5次答题用时（分钟）。下列判断正确的是（）。

A.极差为5B.中位数为2C.众数为7D.平均数为29.一个袋中有4个红球、3个蓝球、2个白球，从中不放回随机取出2个球，2个球颜色相同的概率为（）。

A.1/4B.5/18C.1/3D.7/1810.某批电子答题器抽样200个，合格188个。合格率p的点估计及用正态近似得到的95%置信区间最接近（）。

A.p=0.94，[0.907，0.973]B.p=0.88，[0.807，0.973]C.p=0.94，[0.930，0.950]D.p=0.06，[0.027，0.093]11.某校医务室记录一名学生运动后体温恢复模型为T=36.5+1.2e^(−0.4t)，t为休息时间（小时）。当t=3时，体温约为（取e^(−1.2)≈0.301）（）。

A.36.56℃B.36.86℃C.37.20℃D.37.70℃12.某年级共有600人，其中物理方向360人，历史方向240人。若按分层抽样抽取50人，则物理方向应抽取（）。

A.20人B.24人C.30人D.36人选择题答题卡：题号123456789101112答案二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.某同学随机猜答10道判断题，每题答对概率均为1/2，且相互独立，则恰好答对7道题的概率为__________。14.某组40个观测值的平均数为12，且∑(x_i−12)²=160，则这组数据的方差为__________，标准差为__________。15.同时掷两枚质地均匀的骰子，点数之和不小于10的概率为__________。16.某区域日平均气温x（℃）与用电负荷y（万千瓦）满足回归模型y=2.5x+80。若预警负荷为160万千瓦，则气温至少达到__________℃时需启动预警。三、解答题（共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）为了解高三学生冲刺阶段每日运动情况，某校抽取100名学生，记录其某日运动时长，整理如下表。运动时长t（分钟）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数122836186（1）估计样本中运动时长不少于60分钟的频率；（2）用组中值估计样本平均运动时长；（3）若学校建议每日运动不少于45分钟，结合估计结果判断该样本整体是否达到建议水平，并说明理由。答：

18.（12分）某校采购一批电子阅卷辅助设备，单台设备一次检测合格的概率为0.92，且不同设备检测结果相互独立。（1）随机检测5台，求5台全部合格的概率；（2）随机检测5台，求至少4台合格的概率；（3）若一批共有1000台，记不合格设备台数为Y，求E(Y)与标准差σ(Y)（结果保留两位小数）。答：19.（12分）哈尔滨某考点附近设置志愿服务接驳点。统计显示，一个5分钟时段内到达接驳点的学生人数X的概率分布如下表。X012345P0.050.120.240.310.180.10（1）求E(X)和D(X)；（2）若每15分钟安排一辆接驳车，估计每辆车平均需接送多少名学生；（3）假设连续3个5分钟时段到达人数相互独立，若要求一辆车满员风险不超过10%，最少应设置多少个座位？已知3个时段总人数S的尾概率：P(S>10)=0.160，P(S>11)=0.072，P(S>12)=0.025。答：

20.（12分）某区对两所学校高三学生线上答疑使用情况进行抽样调查，结果如下表。学校使用线上答疑未使用线上答疑合计甲校522880乙校5050100合计10278180（1）分别估计甲、乙两校学生使用线上答疑的比例；（2）用χ²检验判断“学校与是否使用线上答疑”是否有关。参考公式χ²=n(ad−bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，临界值χ²₀.₀₅=3.841；（3）结合结论提出一条数学备考管理建议。答：21.（12分）某校食堂根据高三晚自习需求准备营养餐。设某日需求量X（份）近似服从正态分布N(600，50²)。给出：Φ(1.00)=0.8413，Φ(1.28)=0.8997，Φ(1.64)=0.9495，Φ(1.65)=0.9505。（1）若准备650份，求供不应求的概率；（2）若要求供不应求的概率不超过5%，至少应准备多少份；（3）若准备m份，且m在650至700之间，从风险控制角度说明m为何应靠近第（2）问的结果，而不是只按平均数600准备。答：

22.（12分）某校比较两种概率统计专题复习方案A、B。抽取8个学习小组进行试用，统计每组阶段测试中“概率统计与应用建模题组”的达成率（%），数据如下。方案12345678A6265677070727476B6063666973757781（1）分别计算两种方案达成率的平均数与方差；（2）学校采用综合指标M=平均数−0.2×方差评价方案，M越大越优，判断应优先采用哪种方案；（3）若把达成率不低于70%记为“达标”，用样本频率估计达标概率。现有5个学习小组，A方案成本为2个资源单位，B方案成本为1个资源单位，总预算不超过7个资源单位，求使期望达标组数最大的安排。答：

2026年黑龙江省哈尔滨市高三数学中考押题可打印冲刺卷（聚焦概率统计与应用建模，含答案详解与评分标准）S4878参考答案与解析一、答案总览题号123456789101112答案CBDBDAABBABC题号13141516答案15/1284，21/632二、选择题逐题解析、评分标准与易错提醒1.答案：C。不低于120分的人数为18+10=28，总人数50，概率为28/50=14/25。评分标准：5分；选C得5分，其他答案不得分。易错提醒：不要把“120分至135分”与“135分至150分”漏加，也不要把不低于120误读为高于120。2.答案：B。原数据排序为7，8，8，9，10，加入8后为7，8，8，8，9，10，中位数仍为(8+8)/2=8，众数仍为8。评分标准：5分；选B得5分，其他答案不得分。易错提醒：平均数由42/5=8.4变为50/6≈8.33，并不保持不变。3.答案：D。相互独立时P(A∩B)=P(A)P(B)，故P(B)=0.24÷0.6=0.4，P(B的对立事件)=1−0.4=0.6。评分标准：5分；选D得5分，其他答案不得分。易错提醒：独立事件不能写成互斥事件，不能用P(A∩B)=0。4.答案：B。y=80+12x−x²为开口向下的二次函数，对称轴x=−12/(2×−1)=6，且6在给定区间内。评分标准：5分；选B得5分，其他答案不得分。易错提醒：应用模型题先看定义域，若顶点不在定义域内还要比较端点。5.答案：D。E(X)=0×0.5+10×0.3+30×0.2=9。评分标准：5分；选D得5分，其他答案不得分。易错提醒：期望是“收益×概率”的加权和，不是三个收益的算术平均数。6.答案：A。代入x=10，得y=0.8×10+2=10。评分标准：5分；选A得5分，其他答案不得分。易错提醒：回归直线给出的是估计值，应注意x与y的单位含义。7.答案：A。若X~B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1−p)。代入n=100，p=0.5，得E(X)=50，D(X)=25。评分标准：5分；选A得5分，其他答案不得分。易错提醒：方差不是np，而是np(1−p)。8.答案：B。排序后仍为1，2，2，3，7，第3个数为2，中位数为2。极差为7−1=6，众数为2，平均数为15/5=3。评分标准：5分；选B得5分，其他答案不得分。易错提醒：极端值7会明显影响平均数，但不会改变本题中位数的位置。9.答案：B。总取法为C(9,2)=36；颜色相同取法为C(4,2)+C(3,2)+C(2,2)=6+3+1=10，概率为10/36=5/18。评分标准：5分；选B得5分，其他答案不得分。易错提醒：不放回抽取时分母应是从9个球中任取2个的组合数。10.答案：A。样本合格率为188/200=0.94，标准误约为√[0.94×0.06/200]≈0.0168，95%置信区间约为0.94±1.96×0.0168，即[0.907，0.973]。评分标准：5分；选A得5分，其他答案不得分。易错提醒：置信区间估计的是总体合格率，不是样本中不合格率。11.答案：B。T=36.5+1.2e^(−1.2)≈36.5+1.2×0.301=36.8612，约为36.86℃。评分标准：5分；选B得5分，其他答案不得分。易错提醒：指数衰减模型随t增大逐渐接近36.5，不会继续升高。12.答案：C。分层抽样按比例抽取，物理方向人数为50×360/600=30。评分标准：5分；选C得5分，其他答案不得分。易错提醒：分层抽样要保持总体比例，不能按两个方向平均分。三、填空题解析、评分标准与易错提醒13.答案：15/128。恰好答对7道的概率为C(10,7)(1/2)^7(1/2)^3=C(10,7)/2^10=120/1024=15/128。评分标准：5分；写出15/128或等值形式得5分。易错提醒：二项分布中“恰好”要乘组合数C(10,7)。14.答案：4，2。方差为(1/40)∑(x_i−12)²=160/40=4，标准差为√4=2。评分标准：5分；方差2分，标准差3分。易错提醒：方差和标准差不能混写；标准差是方差的算术平方根。15.答案：1/6。两枚骰子共有36种等可能结果，点数和为10、11、12的结果数分别为3、2、1，共6种，概率为6/36=1/6。评分标准：5分；写出1/6得5分。易错提醒：“不小于10”包括10、11、12三种点数和。16.答案：32。由2.5x+80≥160，得2.5x≥80，x≥32。评分标准：5分；写出32℃或32得5分。易错提醒：预警条件是达到或超过阈值，应列不等式而不是方程后忽略方向。

四、解答题参考答案、评分细则与易错提醒17.参考答案：（1）运动时长不少于60分钟的人数为18+6=24，频率为24/100=0.24。（2）用组中值估计平均数：[(10×12)+(30×28)+(50×36)+(70×18)+(90×6)]/100=(120+840+1800+1260+540)/100=45.6（分钟）。（3）45.6>45，故从样本平均水平估计，该样本整体达到学校建议水平；但仍有76%的学生未达到60分钟，后续应关注运动时长偏低人群。评分细则：第（1）问3分，列出18+6得1分，频率0.24得2分；第（2）问4分，组中值选取2分，加权平均计算2分；第（3）问3分，结论1分，理由2分。易错提醒：频率不是人数；估计平均数时应使用组中值而不是区间上端点。18.参考答案：（1）5台全部合格的概率为0.92^5≈0.6591。（2）至少4台合格的概率为C(5,4)×0.92^4×0.08+0.92^5≈5×0.7164×0.08+0.6591≈0.9456。（3）不合格概率为0.08，Y~B(1000，0.08)。E(Y)=1000×0.08=80；D(Y)=1000×0.08×0.92=73.6，σ(Y)=√73.6≈8.58。评分细则：第（1）问3分，模型1分，结果2分；第（2）问5分，分情况或二项式表达3分，数值2分；第（3）问4分，期望2分，标准差2分。易错提醒：至少4台包括4台和5台；不合格台数的概率应使用0.08而不是0.92。19.参考答案：（1）E(X)=0×0.05+1×0.12+2×0.24+3×0.31+4×0.18+5×0.10=2.75。E(X²)=1²×0.12+2²×0.24+3²×0.31+4²×0.18+5²×0.10=9.25，所以D(X)=9.25−2.75²=1.6875。（2）15分钟含3个5分钟时段，平均需接送3E(X)=8.25名学生。（3）设3个时段总人数为S。由表给尾概率，P(S>10)=0.160>0.10，P(S>11)=0.072≤0.10，所以最少设置11个座位。评分细则：第（1）问5分，期望2分，E(X²)1分，方差2分；第（2）问3分；第（3）问4分，建立S与座位关系1分，比较尾概率2分，结论1分。易错提醒：三段总人数的平均值可直接用期望线性性；座位数s应满足P(S>s)≤0.10。20.参考答案：（1）甲校使用比例为52/80=0.65，乙校使用比例为50/100=0.50。（2）χ²=180(52×50−28×50)²/(80×100×102×78)=180×1200²/63648000≈4.07。因为4.07>3.841，所以在5%显著性水平下可认为学校与是否使用线上答疑有关。（3）建议乙校进一步调查未使用原因，优化线上答疑时段与提醒机制；甲校可总结使用经验，但仍需关注使用质量而非只看使用比例。评分细则：第（1）问3分，两个比例各1.5分；第（2）问6分，代入公式2分，计算2分，比较和结论2分；第（3）问3分，建议合理、结合数据与结论即可。易错提醒：χ²检验的结论是“有关”或“未能认为有关”，不能直接说某校一定更优秀。

21.参考答案：（1）P(X>650)=P[(X−600)/50>1]=1−Φ(1.00)=1−0.8413=0.1587。（2）要求P(X≤m)≥0.95。由表知Φ(1.64)=0.9495，Φ(1.65)=0.9505，故可取(m−600)/50≈1.65，m≈682.5。由于份数取整数且要满足不超过5%的风险，至少准备683份。（3）平均数600只代表