2026年湖南省长沙市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式含答案详解与评分标准）SD3A3

2026年湖南省长沙市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）SD3A3第页2026年湖南省长沙市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）SD3A3适用对象：湖南省长沙市高三学生考试时间：120分钟满分：150分答题说明：本卷为阶段性限时训练卷，重点检测数形结合、函数方程、不等式转化、解析几何与导数综合应用能力。作答要求：选择题用规定答案栏作答，填空题只写最终结果，解答题必须写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。训练建议：建议按正式考试节奏完成，先易后难，遇到参数题先画图、定范围、列方程，再进行代数推理。注意事项：全卷共22题，题号连续；答案与解析另起页，练习时请勿提前翻阅。

2026年湖南省长沙市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）SD3A3学校：____________________班级：__________姓名：__________考号：________________考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.本卷共22题，满分150分；2.作答前请填写学校、班级、姓名和考号；3.解答题应写出必要步骤，只有结论不得满分；4.本卷正文不含答案，答案与解析在试卷后部另页呈现。答题卡题号123456789101112答案题号13141516第13题：__________第14题：__________第15题：__________第16题：__________一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）1.（5分）设集合A={x｜x²-5x+4<0}，B={x｜|x-2|≤1}，则A∩B=（）。A.[1,3]B.(1,3)C.(1,3]D.[1,4)2.（5分）函数f(x)=ln(x+1)+1/(x-1)的定义域为（）。A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)∪(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(-1,1]3.（5分）已知A(-1,2)，B(3,4)，点P在直线x-y+1=0上运动，则PA²+PB²取得最小值时，P的坐标为（）。A.(1,3)B.(3/2,5/2)C.(2,3)D.(0,1)4.（5分）若α∈(0,π/2)，且sin(α+π/6)=√3/2，则cos2α=（）。A.-1/2B.0C.1/2D.√3/25.（5分）等比数列{aₙ}各项为正，公比r>1，且a₂+a₄=20，a₃=8，则S₄=（）。A.15B.24C.30D.326.（5分）双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为（）。A.√2B.√3C.2D.√57.（5分）函数f(x)=x³-3x，方程f(x)=m有三个不同实根的充要条件是（）。A.m<-2B.-2≤m≤2C.-2<m<2D.0<m<28.（5分）平面向量a、b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为120°。当λ∈R时，|a+λb|的最小值为（）。A.1B.√2C.√3D.2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对且无错选得2分，有选错得0分）9.（5分）已知f(x)=eˣ-x，下列说法正确的是（）。A.f(x)在(-∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增B.x=1是f(x)的最小值点C.对任意x∈R，f(x)≥1D.方程f(x)=2有两个实根10.（5分）圆C：(x-2)²+(y+1)²=5，直线lₖ：y=kx。下列判断正确的是（）。A.lₖ与圆C相切当且仅当k=2B.k=0时，lₖ与圆C相交于两点C.k=2时，切点为(0,0)D.k=1时，lₖ截圆所得弦长为211.（5分）设平面区域D由不等式组y≥x²-2，y≤2-x确定。下列结论正确的是（）。A.D是有界闭区域B.两条边界曲线交点的横坐标之和为-1C.在D上，x+y的最大值为2D.点(2,0)在D内12.（5分）关于方程x²-2tx+1=0，下列说法正确的是（）。A.t>1时方程有两个正实根B.|t|<1时方程无实根C.若t≥1且α为方程的根，则α+1/α=2tD.当t=cosθ，θ∈(0,π)时，方程总有两个实根三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（5分）不等式log₂(x-1)+log₂(5-x)≥2的解为答：____________________14.（5分）函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为答：____________________15.（5分）直线y=x+t与抛物线y=x²只有一个公共点，则t=答：____________________16.（5分）圆x²+y²=4被直线xcosθ+ysinθ=1所截得的弦长为答：____________________草稿区（可用于画图、列式与关键演算）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知集合A={x｜x²-4x+3≤0}，B={x｜x²-2mx+m²-1<0}。

（1）求集合A；

（2）若B⊆A，求实数m的取值。答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________18.（12分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1。

（1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（2）当x∈[0,π/2]时，求不等式f(x)≥1的解集。答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________19.（12分）数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=aₙ+2n+2(n∈N*)。

（1）求aₙ；

（2）设Sₙ=∑_{k=1}^n1/aₖ，求Sₙ；

（3）若Sₙ≥0.95，求最小的正整数n。答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________20.（12分）已知圆C：(x-1)²+(y+2)²=5，直线lₖ：y=kx+1。

（1）当k=-1时，求lₖ截圆C所得弦长；

（2）求lₖ与圆C相切时k的值；

（3）求lₖ与圆C有公共点时k的取值范围。答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________

21.（12分）已知函数f(x)=eˣ-ax-1(a∈R)。

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的值；

（3）当a=1时，讨论方程f(x)=m的实根个数。答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________22.（12分）已知抛物线C：y=x²，过点F(0,1)的直线lₖ：y=kx+1与C交于A、B两点。

（1）证明A、B总在y轴两侧；

（2）求|AB|的最小值及此时k的值；

（3）分别作C在A、B处的切线，两切线交于T。若△TAB的面积不超过4√2，求k的取值范围。答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________________

2026年湖南省长沙市高三数学期中质量检测可打印冲刺卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）SD3A3参考答案与解析一、客观题答案表题号123456789101112答案CBBCCDCCACDABCABCABC题号13141516答案33-1/42√3评分说明：单项选择题每题5分；多项选择题全部选对得5分，部分选对且无错选得2分，有错选得0分；填空题每题5分，结果等价即可给分。二、逐题解析与易错提醒1.x²-5x+4<0化为(x-1)(x-4)<0，得A=(1,4)；|x-2|≤1得B=[1,3]，故A∩B=(1,3]。易错：端点1不属于A，端点3属于两集合。2.由ln(x+1)要求x>-1，同时分母x-1≠0，定义域为(-1,1)∪(1,+∞)。易错：不能只看对数忽略分母。3.PA²+PB²在P靠近AB中点M(1,3)时最小，且P受直线x-y+1=0约束。M到该直线的投影为(3/2,5/2)。易错：最小点不是端点，也不是随意取中点。4.α+π/6∈(π/6,2π/3)，且sin(α+π/6)=√3/2，得α=π/6，故cos2α=cos(π/3)=1/2。易错：α=π/2不在给定开区间内。5.设公比为r>1，则a₂=8/r，a₄=8r，8(r+1/r)=20，得r=2，a₁=2，S₄=2+4+8+16=30。易错：r=1/2与r>1矛盾。6.渐近线斜率为±b/a，点(1,2)在渐近线上，得b/a=2，离心率e=√(1+b²/a²)=√5。易错：不要把点误代入双曲线方程。7.f'(x)=3x²-3，极大值f(-1)=2，极小值f(1)=-2。水平线y=m与曲线有三个不同交点当且仅当-2<m<2。易错：端点处有重根，不是三个不同实根。8.|a+λb|²=4+λ²+2λ·2·1·cos120°=λ²-2λ+4=(λ-1)²+3，最小值为3，故最小长度为√3。易错：先平方再求最小，长度不能取负。9.f'(x)=eˣ-1，故在(-∞,0)递减、(0,+∞)递增，最小值f(0)=1，因此A、C正确；f(x)=2在最小点两侧各有一根，D正确；B错误。易错：把x=1当成极值点。10.圆心(2,-1)，半径√5。直线y=kx到圆心距离为|2k+1|/√(k²+1)，相切得k=2；k=0时距离1<√5，有两个交点；k=2时投影点为(0,0)；k=1时弦长为√2，不是2。易错：切线条件用距离等于半径。11.区域夹在y=x²-2与y=2-x之间，交点横坐标满足x²+x-4=0，故区域有界闭合且交点横坐标之和为-1；在上边界y=2-x上有x+y=2，最大值为2；(2,0)不满足0≥2。易错：不等式方向决定区域在抛物线上方。12.判别式Δ=4(t²-1)。t>1时两根实且和2t>0、积1>0，均为正；|t|<1时无实根；根α满足α²-2tα+1=0，除以α得α+1/α=2t；t=cosθ且θ∈(0,π)时一般无实根。易错：端点θ=0、π不在区间内。13.定义域为1<x<5，log₂[(x-1)(5-x)]≥2，即(x-1)(5-x)≥4，化为(x-3)²≤0，故x=3。易错：先写定义域。14.|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1与-2的距离和，最小为两定点距离3。易错：分段时中间区间[-2,1]上恒为3。15.联立y=x+t与y=x²，得x²-x-t=0。仅有一个公共点要求Δ=1+4t=0，故t=-1/4。易错：相切不是令斜率相等后漏掉切点。16.直线xcosθ+ysinθ=1到圆心距离恒为1，圆半径为2，弦长为2√(2²-1²)=2√3。易错：cos²θ+sin²θ=1使距离公式分母为1。

三、解答题参考答案、评分细则与易错提醒17.（10分）解：A={x|(x-1)(x-3)≤0}=[1,3]。（4分）B={x|(x-m)²<1}=(m-1,m+1)。若B⊆A，则m-1≥1且m+1≤3，得m≥2且m≤2，故m=2。（6分）易错提醒：B为开区间，不能写成[m-1,m+1]；包含关系要同时控制左右端点。18.（12分）解：f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)。（3分）最小正周期T=π；单调递增区间满足2x+π/4∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]，即x∈[-3π/8+kπ,π/8+kπ]，k∈Z。（4分）当x∈[0,π/2]时，2x+π/4∈[π/4,5π/4]。由√2sin(2x+π/4)≥1，得sin(2x+π/4)≥√2/2，故2x+π/4∈[π/4,3π/4]，所以x∈[0,π/4]。（5分）易错提醒：化简2cos²x-1时要用cos2x；解三角不等式要结合给定区间取交集。19.（12分）解：由a₁=2，aₙ₊₁-aₙ=2n+2，累加得aₙ=2