2026年江苏省南京市高三数学高考一轮诊断高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式含答案详解与评分标准）S7520

2026年江苏省南京市高三数学高考一轮诊断高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S7520高三数学一轮诊断卷2026年江苏省南京市高三数学高考一轮诊断高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S7520适用对象江苏省南京市高三学生（高考一轮复习阶段）考试时间120分钟满分150分答题说明本卷共22题，按题号顺序作答；选择题只选一项，非选择题写出必要步骤。注意事项：1.答题前请填写学校、班级、姓名、考号等信息。2.选择题在答题栏内填涂或填写字母，填空题只写最终结果，解答题须写出主要推理和运算过程。3.本卷用于一轮复习阶段诊断，重点考查函数图象、方程根、不等式解集、参数讨论、平面区域与解析几何中的数形结合能力。4.允许使用直尺、圆规、铅笔作辅助图，所有结果以规范数学表达为准。

2026年江苏省南京市高三数学高考一轮诊断高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S7520学校：____________班级：____________姓名：____________考号：____________考试时间：120分钟满分：150分答题说明：全卷共22题。第1—12题为单项选择题，第13—16题为填空题，第17—22题为解答题。请在规定区域内作答，解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。注意事项：本卷不使用彩色图形；涉及图象、平面区域、直线与曲线位置关系的问题，可先作简图，再用方程或不等式验证。一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意。）1.函数f(x)=√(x+1)+ln(3−x)/(x−2)的定义域为（）A.(−∞,3)B.[−1,3)C.[−1,2)∪(2,3)D.(−1,2)∪(2,3)2.不等式((x−1)(x+3))/(x−2)≥0的解集为（）A.(−∞,−3]∪[1,2)B.[−3,1]∪(2,+∞)C.(−3,1)∪[2,+∞)D.[−3,2)3.直线y=kx+3与圆x²+y²=5有两个不同公共点，则k的取值范围是（）A.|k|<2/√5B.|k|>2/√5C.|k|≥2/√5D.k∈R4.不等式log₂(x−1)+log₂(5−x)≥2的解集为（）A.(1,5)B.[2,4]C.{3}D.∅5.若实数x,y满足x≥0，y≥0，y≥x，x+y≤4，则z=2x+y的最大值为（）A.4B.5C.5.5D.66.关于x的方程x²−2ax+a=0有两个不同的正实根，则a的取值范围是（）A.a<0B.0<a<1C.a=1D.a>17.在区间[0,2π]上，方程2sinx=1的解为（）A.π/6，5π/6B.π/6，11π/6C.5π/6，7π/6D.π/3，2π/38.借助函数图象判断，不等式2ˣ>x+1的解集为（）A.(−∞,0)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(−∞,1)D.(0,+∞)9.方程|x²−4x+3|=m有且只有三个不同实根，则m的值为（）A.0B.1C.3D.410.设f(x)=x+1/x（x>0）。若不等式f(x)≤a有实数解，则a应满足（）A.a≤−2B.a<2C.a≥2D.a∈R11.抛物线y=(x−2)²+1与水平直线y=m有两个不同交点，则m的范围是（）A.m<1B.m=1C.m>1D.m≥112.若二次不等式x²−2px+4≥0对一切实数x恒成立，则p的取值范围是（）A.(−∞,−2]∪[2,+∞)B.[−2,2]C.(−2,2)D.{−2,2}选择题答题栏123456789101112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将结果填写在横线上。）13.不等式x²−5x+6<0的解集是__________。14.平面区域D={(x,y)|x²+y²≤4，y≥0}的面积是__________。15.若直线y=x+b与圆x²+y²=2相切，则b=__________。16.方程(x−1)(x−3)=t在区间[0,4]内有两个不同实根，则t的取值范围是__________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（12分）已知关于x的不等式((x−a)(x−2))/(x+1)≤0。（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）求使x=0属于该不等式解集的实数a的范围；（3）当a<2时，按a的取值讨论不等式的解集。答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

18.（12分）已知正项等比数列{aₙ}满足a₁+a₂=6，a₂+a₃=12。（1）求首项a₁与公比q；（2）写出前n项和Sₙ；（3）求满足Sₙ>180的最小正整数n。答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

19.（12分）设函数f(x)=x³−3x+a。（1）求f(x)的单调区间；（2）求方程f(x)=0有三个不同实根时a的取值范围；（3）当a=2时，解不等式f(x)≥0。答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

20.（12分）已知圆C：x²+y²=5，直线l：y=x+m。（1）求直线l与圆C有两个不同交点时m的取值范围；（2）当m=1时，求直线l与圆C的交点坐标；（3）若直线l截圆C所得弦长为2√2，求m的值。答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21.（12分）某校高三数学组安排两类专题训练：A类为“函数图象与方程根”，B类为“不等式与平面区域”。设A类安排x课时，B类安排y课时。要求x≥20，y≥10，x+y≤80，2x+y≤120。A类每课时诊断贡献记为6分，B类每课时记为5分。（1）用不等式组表示可行域；（2）求诊断贡献z=6x+5y的最大值；（3）给出达到最大值时的课时安排。答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22.（10分）设fₐ(x)=lnx−a(x−1)，x>0。（1）当a=1时，证明lnx≤x−1；（2）求使fₐ(x)≤0对一切x>0恒成立的实数a；（3）当a=1/2时，证明方程fₐ(x)=0除x=1外，在区间(3,4)内还有一个实根。答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2026年江苏省南京市高三数学高考一轮诊断高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S7520参考答案与解析一、答案速查表选择题：每小题5分，选对得5分；选错、多选或不选得0分。填空题：每小题5分，结果正确得5分，结果等价亦可。解答题按步骤给分。123456789101112CBBCDDAABCCB13141516(2,3)2π±2(−1,3]题号主要结论17（1）(−∞,−1)∪[2,4]；（2）a≤0；（3）见分类解集。18a₁=2，q=2；Sₙ=2ⁿ⁺¹−2；最小n=7。19增区间(−∞,−1)、(1,+∞)，减区间(−1,1)；−2<a<2；a=2时解集[−2,+∞)。20（1）m²<10；（2）(1,2)、(−2,−1)；（3）m=±√6。21最大值440，在x=40，y=40时取得。22（1）成立；（2）a=1；（3）除x=1外另有α∈(3,4)。

二、逐题解析、评分细则与易错提醒1.【答案】C【解析】由x+1≥0得x≥−1；由ln(3−x)有意义得3−x>0，即x<3；又分母x−2≠0。故定义域为[−1,2)∪(2,3)，选C。易错提醒：对数真数必须大于0，分母不能为0，两个条件不能漏。【评分】选对得5分，其他情况得0分。2.【答案】B【解析】临界点为−3、1、2，其中x=2不能取。用数轴穿根法检验符号，可得非负区间为[−3,1]∪(2,+∞)，选B。易错提醒：零点−3、1可取，间断点2不可取。【评分】选对得5分，其他情况得0分。3.【答案】B【解析】圆心O(0,0)到直线kx−y+3=0的距离d=3/√(k²+1)。两交点要求d<√5，得9<5(k²+1)，即k²>4/5，故|k|>2/√5，选B。易错提醒：相切时只有一个公共点，不能用“≤”。【评分】选对得5分，其他情况得0分。4.【答案】C【解析】定义域为1<x<5。原不等式等价于log₂[(x−1)(5−x)]≥2，即(x−1)(5−x)≥4。化为−(x−3)²+4≥4，故x=3，选C。易错提醒：乘积最大值恰为4，不是一个区间。【评分】选对得5分，其他情况得0分。5.【答案】D【解析】可行域顶点为(0,0)、(0,4)、(2,2)。计算z=2x+y，分别得0、4、6，最大值为6，选D。易错提醒：直线y≥x会截去点(4,0)，不能把它作为顶点。【评分】选对得5分，其他情况得0分。6.【答案】D【解析】二次方程有两个不同正根需Δ>0、根和2a>0、根积a>0。由Δ=4a²−4a>0得a<0或a>1，再结合a>0，得a>1，选D。易错提醒：只看判别式会误选a<0。【评分】选对得5分，其他情况得0分。

二、逐题解析、评分细则与易错提醒（续）7.【答案】A【解析】sinx=1/2。在[0,2π]上对应第一、第二象限角，x=π/6或5π/6，选A。易错提醒：11π/6的正弦为−1/2。【评分】选对得5分，其他情况得0分。8.【答案】A【解析】令h(x)=2ˣ−x−1，h(0)=0，h(1)=0。由指数函数凸性或作图可知，在(0,1)内h(x)<0，在两侧h(x)>0，解集为(−∞,0)∪(1,+∞)，选A。易错提醒：端点是等号点，不能取。【评分】选对得5分，其他情况得0分。9.【答案】B【解析】令y=x²−4x+3=(x−2)²−1，其顶点值为−1。方程|y|=m中，m=0时2根；0<m<1时4根；m=1时3根；m>1时2根。故选B。易错提醒：顶点对应水平线恰与下半部分相切。【评分】选对得5分，其他情况得0分。10.【答案】C【解析】x>0时，由x+1/x≥2，当且仅当x=1取等号。因此f(x)≤a有解等价于a≥2，选C。易错提醒：“有解”只要求a不小于最小值。【评分】选对得5分，其他情况得0分。11.【答案】C【解析】抛物线y=(x−2)²+1的最低点为(2,1)。水平线y=m与其有两个不同交点需m>1，选C。易错提醒：m=1时只有一个切点。【评分】选对得5分，其他情况得0分。12.【答案】B【解析】二次项系数为正，要x²−2px+4≥0恒成立，判别式Δ=(−2p)²−16≤0，即p²≤4，故p∈[−2,2]，选B。易错提醒：恒成立关注“最小值不小于0”或判别式非正。【评分】选对得5分，其他情况得0分。13.【答案】(2,3)【解析】x²−5x+6=(x−2)(x−3)，开口向上，小于0在两根之间，故解集为(2,3)。易错提醒：严格小于0，端点不取。【评分】结果正确得5分；区间端点或开闭错误酌情扣2至3分。14.【答案】2π【解析】区域是半径为2的上半圆，面积为(1/2)·π·2²=2π。易错提醒：y≥0只取上半部分。【评分】结果正确得5分；区间端点或开闭错误酌情扣2至3分。15.【答案】±2【解析】直线x−y+b=0与圆x²+y²=2相切，圆心到直线距离|b|/√2=√2，得|b|=2，所以b=±2。易错提醒：相切距离等于半径，不能只取正值。【评分】结果正确得5分；区间端点或开闭错误酌情扣2至3分。16.【答案】(−1,3]【解析】设y=(x−1)(x−3)=(x−2)²−1，在[0,4]上最小值为−1，端点最大值为3。水平线y=t与图象有两个不同交点需−1<t≤3。易错提醒：t=−1时只有一个交点，t=3时两个端点都可取。【评分】结果正确得5分；区间端点或开闭错误酌情扣2至3分。

三、解答题详解与评分标准17.【解析】（1）当a=4时，原不等式为((x−4)(x−2))/(x+1)≤0。临界点为−1、2、4，其中−1不取。数轴符号分析得解集(−∞,−1)∪[2,4]。（2）令x=0代入，得((−a)(−2))/1=2a≤0，所以a≤0。（3）当a<2时需比较a与−1。若a<−1，解集为(−∞,a]∪(−1,2]；若a=−1，原式约去后仍须排除x=−1，解集为(−∞,−1)∪(−1,2]；若−1<a<2，解集为(−∞,−1)∪[a,2]。评分标准：第（1）问4分，其中找临界点1分、符号判断2分、写解集1分；第（2）问3分，代入1分，得到不等式1分，范围1分；第（3）问5分，分类依据1分，三种情形各1分，端点与排除点准确1分。易错提醒：分母零点x=−1始终不能取；当a=−1时，约分后仍要保留原式定义限制。18.【解析】由正项等比数列得a₂=a₁q，a₃=a₁q²，且q>0。（1）由a₁(1+q)=6，a₁q(1+q)=12，两式相除得q=2，代回得a₁=2。（2）Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)=2(2ⁿ−1)=2ⁿ⁺¹−2。（3）Sₙ>180等价于2ⁿ⁺¹−2>180，即2ⁿ⁺¹>182。因2⁷=128<182<256=2⁸，故n+1≥8，最小n=7。评分标准：第（1）问4分，列方程2分，求q与a₁各1分；第（2）问3分，公式1分，代入化简2分；第（3）问5分，转化不等式2分，比较幂值2分，给出最小值1分。易错提醒：数列为正项，公比取正；求最小n时要验证严格不等号。

三、解答题详解与评分标准（续）19.【解析】f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)。因此f′(x)>0在(−∞,−1)、(1,+∞)，f′(x)<0在(−1,1)。故f(x)在(−∞,−1)、(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减。极大值f(−1)=2+a，极小值f(1)=a−2。三次方程f(x)=0有三个不同实根，需极大值大于0且极小值小于0，即2+a>0且a−2<0，故−2<a<2。当a=2时，f(x)=x³−3x+2=(x−1)²(x+2)。由符号分析，(x−1)²≥0且只在x=1