运算一致性视角下除法运算性质的应用-小学数学四年级导学案

运算一致性视角下除法运算性质的应用——小学数学四年级导学案

一、教学内容分析

【基础】本节课“除法运算性质的应用”隶属于小学数学四年级下册“运算定律”这一核心单元。在此之前，学生已经系统学习了加法和乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律），并初步接触了减法的运算性质，积累了通过变换运算顺序和运算方式使计算简便的丰富经验。除法作为加、减、乘、除四则运算中的关键一环，其运算性质的理解与应用，不仅是对已有知识体系的横向拓展，更是对数学运算一致性的纵向深化。教材编排遵循从具体情境感知、到算式对比发现规律、再到抽象建模并最终灵活应用的认知逻辑。本节课内容并非孤立的新知，而是对除法自身规律的深度挖掘，特别是商不变的性质（被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变）在简便计算中的核心应用，以及一个数连续除以几个数，等于除以这几个数的积（除法的“去括号”性质）这一重要规律。本课的教学内容，旨在引导学生跳出单纯的计算技能训练，从数学规律的视角审视除法运算，感悟运算之间的内在联系，提升数感和运算策略优化能力，为后续学习分数、比的基本性质、比例以及更复杂的代数运算奠定坚实的思维基础。

二、学情分析

【基础】四年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期。他们已经具备了一定的计算能力和观察、比较、归纳的能力。在知识储备上，学生对除法计算本身（尤其是除数是一位数、两位数的除法）已经较为熟练，对“商不变”的规律在口算除法（如360÷90）中有过初步的无意识运用。同时，通过前期运算定律的学习，他们对于“拆数”、“凑整”、“改变运算顺序”等简算策略并不陌生。然而，学习的【难点】在于：第一，学生对除法性质的理解往往停留在表面，容易机械记忆“带着符号搬家”或“去括号要变号”的口诀，而未能从除法的本质意义（平均分、包含除）和计数单位的角度去深度理解其背后的算理。例如，对于a÷b÷c=a÷(b×c)的规律，学生可能无法清晰解释为什么“连续除以两个数”就等于“除以这两个数的积”。第二，学生在应用性质时，容易与乘法运算定律产生混淆，特别是在处理乘除混合运算时，对于何时可以“带着符号搬家”、何时可以“去括号”、何时可以运用分配律（除法没有分配律）感到困惑。第三，学生面对复杂算式时，识别并选择最优运算性质的策略意识不强，往往盲目计算，缺乏根据数据特征灵活选择方法的敏感度。

三、核心素养指向

【非常重要】本节课的教学设计与实施，致力于落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“核心素养”的具体要求：

1.数感与运算能力：通过对除法性质的探究与应用，进一步理解除法的意义，能够在真实情境和算式中敏锐地感知数的特征（如是否存在倍数关系、能否凑成整十整百数），并据此选择合理的运算性质进行有效、简洁的运算，提升运算的准确性和灵活性。

2.推理意识与能力：引导学生经历“观察算式、提出猜想、举例验证、归纳概括”的完整探究过程，从具体的除法算式（如120÷3÷4和120÷(3×4)）中发现共同规律，并能用数学语言清晰地表达自己的发现和推理过程，培养初步的演绎推理和合情推理能力。

3.模型意识：将发现的除法运算规律抽象、概括为一般的数学表达式（用字母表示），使学生认识到这些规律是普遍存在的数学模型。并能将生活中的实际问题（如平均分、购物问题）抽象成除法模型，运用运算性质加以解决。

4.应用意识与创新意识：鼓励学生在解决具体计算问题时，不满足于一种方法，敢于打破常规运算顺序，尝试运用除法性质进行简便计算，并对不同方法进行对比、评价，感悟数学方法的多样性与优化策略，培养思维的批判性和创造性。

四、教学目标

1.【基础】理解并掌握除法的两条基本运算性质：商不变的性质（核心应用）以及一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。能用字母符号进行一般性表达。

2.【重要】能够灵活、准确地运用除法运算性质进行简便计算，尤其是在面对被除数和除数末尾有0、或者除数可以分解成两个一位数相乘等特定数据特征的算式时，能主动、自觉地应用性质优化运算过程。

3.经历除法运算性质的探究与归纳过程，培养观察、比较、抽象、概括的能力，以及合作交流和质疑反思的精神。

4.在解决实际问题的过程中，体会除法运算性质的应用价值，感受数学内部的逻辑美与简洁美，增强学习数学的兴趣和自信心。

五、教学重难点

1.【非常重要】教学重点：理解并掌握除法运算性质（特别是a÷b÷c=a÷(b×c)和商不变的性质在简算中的应用），并能运用性质进行简便计算。

2.【难点】【高频考点】教学难点：理解除法性质背后的算理，尤其是对“连续除以两个数等于除以这两个数的积”这一规律的直观解释；在乘除混合运算中，能根据数据特征，准确、恰当地选用运算性质，避免与乘法运算定律混淆。

六、教学准备

教师：多媒体课件（PPT），包含生活情境动画、对比算式、探究活动记录表。

学生：常规学习用品，预习单（布置思考：计算120÷3÷4和120÷12，你发现了什么？）。

七、教学实施过程

（一）唤醒经验，引入新知——从“分物”情境中发现数学问题

【基础】环节目标：激活学生关于除法意义的已有经验，为探究性质提供现实背景。

1.创设生活情境：课件出示“校科技节购买物资”场景。问题一：“王老师为三个班级购买了12盒乒乓球，每盒24个，准备平均分给4个小组，每个小组能分到多少个乒乓球？”

2.学生独立审题，尝试列综合算式解答。教师巡视，收集不同解法。

3.展示学生的两种典型解法，并请学生阐述每一步的含义：

方法一：先算总共有多少个乒乓球，再算每个小组分到多少个。列式：12×24÷4。

方法二：先算每个班分到多少盒，再算每个班每个小组分到多少个，最后乘以盒子的数量？或者更直接的思路：因为盒数、每盒个数与小组数存在关系，有可能会出现：12÷4×24。重点引导学生讨论12×24÷4和12÷4×24是否相等？为什么？初步体会“交换运算顺序”的可能性。

4.【基础】引入核心问题：看来，在只有乘除法的同级运算中，我们可以根据需要调整运算顺序。那么，除法运算本身有没有一些独特的、能使计算变简便的规律呢？这节课，我们就一起来研究“除法运算性质的应用”。（板书课题：运算一致性视角下除法运算性质的应用）

（二）自主探究，构建模型——发现“连续除”的奥秘

【非常重要】环节目标：通过对比、观察、验证，引导学生自主发现并归纳出a÷b÷c=a÷(b×c)这一核心性质。

1.出示例题，引发猜想：课件呈现两组算式，要求学生先独立计算，再观察比较。

第一组：120÷3÷4120÷(3×4)

第二组：240÷5÷6240÷(5×6)

2.【热点】小组合作，初步感知：

（1）学生计算后，发现每组两个算式的结果相同。

（2）教师追问：“从这些算式中，你发现了什么规律？能用一句话概括你的发现吗？”引导学生初步表达：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。

3.【难点突破】借助直观，深挖算理：

（1）教师引导学生回到“分物”情境，对规律进行解释。例如，将120视为120个苹果，先除以3（平均分给3个班），再除以4（每个班再平均分给4个小组）。请学生在图中圈一圈、画一画，解释为什么连续除以3和4，就相当于直接除以（3×4）即12（相当于直接平均分给12个小组）。

（2）通过数形结合，让学生从“平均分的总份数”这个本质上理解：无论分几步，最终都是把120个物体平均分成了（3×4）份。因此，连续除以两个数，等于除以这两个数的积。

4.举例验证，抽象建模：

（1）鼓励学生再举出一些类似的例子（如180÷2÷3与180÷(2×3)），通过计算验证这一规律是否普遍成立。

（2）引导学生思考：如果要举一个反例，推翻这个规律，可能吗？为什么除数不能为0？

（3）【重要】引导学生尝试用字母表示这个规律：a÷b÷c=a÷(b×c)(b≠0,c≠0)。并强调，这是除法的一个重要运算性质。

5.逆向运用，深化理解：教师提问：“反过来，a÷(b×c)等于什么？”引导学生得出可以转化成连续除以两个数。这在计算诸如360÷(9×5)时，可以变成360÷9÷5，有时能使计算更简便。

（三）纵横联系，拓展模型——“商不变”性质的深度应用

【非常重要】环节目标：回顾并深化“商不变的性质”，并将其纳入除法运算性质的应用体系中，重点解决被除数和除数末尾有0的简算问题。

1.回顾旧知：教师引导：“同学们，其实在三年级，我们就接触过一条非常重要的除法规律，它是什么？”引导学生回忆并表述“商不变的性质”：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

2.创设冲突，体会价值：出示计算题：3500÷500。

（1）学生尝试计算，可能出现笔算或口算。

（2）教师引导：“如果运用商不变的性质，可以怎样使计算更简便？”引导学生发现，可以将被除数和除数同时除以100，转化成35÷5，口算即可得出7。

（3）【重要】规范书写格式：强调在应用商不变性质进行简算时，可以划去被除数和除数末尾相同个数的0，其依据就是“商不变的性质”。如3500÷500=(3500÷100)÷(500÷100)=35÷5=7。

3.【高频考点】变式练习，灵活运用：

（1）出示：480÷15。提问：“这个算式还能用商不变的性质吗？怎样变才能使计算变得简单？”

（2）小组讨论，汇报交流。可能出现的思路：

思路一：被除数和除数同时乘2，变成960÷30，再同时除以10变成96÷3=32。

思路二：被除数和除数同时除以3，变成160÷5=32。

思路三：将15拆成3×5，变成480÷3÷5，利用刚才学的“连续除”的性质。

（3）教师总结：看来，无论是“商不变的性质”还是“连续除的性质”，它们的目的都是为了让计算变得简单。我们需要根据数据的特点，灵活选择。有时，将除数拆成两个一位数相乘，然后运用连续除的性质，非常有效。

4.沟通联系，构建网络：引导学生发现，无论是“连续除”的性质还是“商不变”的性质，其核心思想都是“变换形式，恒等变形”，都是为了在保证结果不变的前提下，改变运算的数或运算的顺序，使计算更便捷。这体现了数学运算中的“变中不变”思想。

（四）分层练习，内化应用——在辨析与计算中形成技能

【热点】环节目标：通过不同层次的练习，巩固对除法运算性质的理解，提升在复杂情境中准确、灵活应用的能力，并澄清易混淆点。

1.【基础】模仿练习，巩固新知：

用简便方法计算下面各题，并说说应用了什么性质。

1400÷25÷4360÷(9×5)7200÷600540÷45

设计意图：前两题针对“连续除”的性质及其逆运用；第三题针对“商不变”性质；第四题开放性强，可以拆45为9×5，也可以利用商不变性质，旨在让学生初步尝试选择策略。

2.【难点】辨析练习，澄清概念：

（1）判断下面的计算是否正确，如果不正确，请改正。

A.100÷25×4=100÷(25×4)=100÷100=1

B.120÷(12+8)=120÷12+120÷8=10+15=25

（2）组织学生辩论，重点分析A题，为什么不能把“×4”移到括号里变“÷4”？强调“连续除”的性质中，括号里必须是“乘”，而这里原式是“乘4”，运算符号不同，不能乱用。对于B题，再次明确：除法没有分配律！不能像乘法分配律那样套用。只能先算括号内的加法，再算除法。

3.【重要】综合应用，解决问题：

出示情境：“学校运来960千克苹果，准备分给低、中、高三个年级。低年级分得总数的1/3，中年级分得余下的一半，剩下的全给高年级。高年级分得多少千克？”

（1）学生独立思考，尝试列式。

（2）展示不同解法。可能出现的解法一：960÷3=320（千克），(960-320)÷2=320（千克），960-320-320=320（千克）。解法二：综合算式960÷3÷2？引导学生分析，此算式不合理。

（3）引导更优解法：高年级分得的是总数的几分之几？通过画线段图分析，得出高年级占总数的1/3。列式：960÷3=320（千克）。或者直接列出960×(1-1/3-1/3)。对比不同方法，体会除法运算性质在解决实际问题中的间接应用。

4.【拓展】开放练习，挑战思维：

在下面的式子中，填入适当的数，使计算简便。

1600÷25÷（）750÷（）÷（）36000÷125

设计意图：最后一题36000÷125，引导学生思考如何利用“商不变”性质，将被除数和除数同时乘8，将除数转化为1000，从而简便计算。拓展学生思维，感受数学的奇妙。

（五）课堂总结，反思提升

环节目标：回顾学习历程，梳理知识结构，提炼数学思想，将所学内化为学生的认知结构。

1.教师引导学生回顾：“这节课我们主要研究了哪些除法运算性质？我们是怎样发现这些规律的？”

2.学生畅谈收获。从知识层面（除法运算性质有哪些）、方法层面（观察、比较、猜想、验证、归纳）、思想层面（转化、数形结合、变中不变）等多个维度进行总结。

3.【重要】教师提升：“同学们，无论是加、减、乘、除，它们都不是孤立存在的。今天我们研究的除法性质，特别是商不变的性质，在未来学习分数、比的时候，还会以新的面貌出现（如分数的基本性质、比的基本性质）。数学知识就是这样，像一棵大树，不断地生长、分枝，但根系是紧紧连在一起的。希望同学们在今后的学习中，能带着联系的眼光去看问题，发现更多数学的奥秘。”

八、教学评价设计

本节课注重过程性评价与结果性评价相结合。

1.过程性评价：

（1）课堂观察：在探究环节，观察学生参与小组讨论的积极性、能否提出有价值的猜想、是否能清晰表达自己的推理过程；在练习环节，观察学生的计算准确率和速度，以及对错误能否进行有效辨析。对表现突出的学生及时给予口头表扬，对有困难的学生进行个别指导。

（2）表现性评价：通过学生完成的探究记录表，评价其归纳概括能力和建模能力；通过学生在解决实际问题时的策略选择，评价其应用意识和创新意识。

2.结果性评价：

（1）课后分层作业设计：A层（基础）：完成教材中相关练习题；B层（提高）