复数的加法与减法课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十章复数10.2.1复数的加法与减法《人教B版2019高中数学必修第四册》我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即a,b,c∈R时，必定有a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c).那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？一般地，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，称z1+z2为z1与z2的和，并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.显然，两个复数的和仍然是复数.而且容易证明，复数的加法运算满足交换律与结合律，即对任意复数z1,z2,z3，有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)例如，对于上述尝试与发现中的三个复数来说，有z1+z2=(1+i)+(2−2i)=(1+2)+(1−2)i=3−i,类似地，可以算出(z1+z2)+z3=(3−i)+(−2+3i)=1+3i由复数加法的几何意义可以得出||z1|−|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.(在三角形中，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）

在实数中，减去一个数可以看成加上这个数的相反数．例如，因为3的相反数为-3，因此8-3=8+(-3)=5.在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？一般地，复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z，并规定-z=-(a+bi)=-a-bi复数z1减去z2的差记作z1−z2，并规定z1−z2=z1+(−z2)因此

z1−z2=z1+(−z2)=(5+8i)+(−5+3i)=11i一般地，如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.显然，两个复数的差仍然是复数.而且，同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1−z2≠z2−z1.由复数减法的几何意义可以得出||z1|−|z2||≤|z1−z2|≤|z1|+|z2|.

因为复数相加、相减之后的结果都还是复数，所以当然可以进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运算，下面以实例进行说明.探究新知例1

计算(2-5i)+(3+7i)-(5+4i)解

根据定义有(2-5i)+(3+7i)-(5+4i)=(2+3-5)+(-5+7-4)i=-2i.例2

判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由.

复数差的模的几何意义：|z1-z2|表示复平面上点Z1与点Z2之间的距离，其中z1,z2

分别对应点Z1,Z2.(1)以点(1,1)为圆心，2为半径的圆(2)以点(-1,0)和(1,0)为端点的线段（含端点）练习A①已知z是复数，判断下列等式是否成立.(1)0+z=z； (2)z-0=z.②已知z1=3+2i,z2=1−4i，计算z1+z2,z1−z2.③

计算下列各式的值.(1)(5-4i)+0; (2)3+(4+2i); (3)5i+(3+7i).④计算下列各式的值.(1)5-(3+2i); (2)(4+5i)-3; (3)0-(4-5i).5求证：两个共轭复数的和是实数．成立

成立z1+z2=4-2i，

z1−z2=2+6i5-4i，

7+2i3+12i2-2i，

1+5i-4+5i

练习B①

计算下列各式的值.(1)(-3+2i)-(5-i)+(4+7i);(2)(1+i)-(1-i)-(5-4i)+(-3+7i).②

如果复数z1,z2的和z1+z2是实数，那么z1与z2定互为共轭复数吗？为什么？-4+10i-8+13i不一定。反例：z1=1+2i，z2=2-2iz1+z2=(1+2i)+(2-2i)=3和是实数，但z1与z2不互为共轭复数（共轭复数要求实部相等、虚部互为相反数）.结论：和为实数只是两个复数虚部互为相反数，不一定实部相等，所以不一定互为共轭复数。练习B

证明：

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则z1=a-bi，z2=c-di

练习B

⑤

如果不相等的两个复数z1,z2在复平面内所对应的点分别为Z1与Z2，且Z为线段Z1Z2的中点，用z1,z2表示点Z对应的复数.

小结1.复数形式设两个复数：z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)2.复数加减法法则①加法实部加实部，虚部加虚部：z1+z2=(a+c)+(b+d)i②减法实部减实部，虚部减虚部：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3.运算律①交换律：z1+z2=z2+z1②结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)小结

巩固提升1.直接复数加减运算解题步骤：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，写成m+ni标准形式计算下列各式的值（1）(3+4i)+(2-i)（2）(5-2i)-(1+3i)解：（1）(3+4i)+(2-i)=(3+2)+(4-1)i=5+3i解：

（2）(5-2i)-(1+3i)=(5-1)+(-2-3)i=4-5i巩固提升

B巩固提升2.复数加减运算（2）复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=()A.-7B.7C.-1D.1解析：

由已知得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i.因为z1+z2为实数,所以3+b=0,即b=-3.因为z1-z2为纯虚数,所以a+4=0,3-b≠0,即a=-4且b≠3,综上,a=-4,b=-3,所以a+b=-7.A巩固提升

D巩固提升

-2-2i巩固提升4.根据复数相等求参数解题步骤左边、右边分别化成标准复数形式实部=实部，虚部=虚部列方程组求解(1)已知(x+2y)+(2x-y)i=3-2i,

x,y∈R,求x,y

3巩固提升

(2)已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________如图所示，因为|z|＝1，所以z所对应点的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－