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文档简介
四川字节精准教育联盟2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺
数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求
的。
1.集合,集合,则()
22
�={�∈�|(�−2)(�−3)=0}�={�|�<6}�∩�=
A.B.C.D.⌀
2.已{−知复3数,3,2},则{3,(2}){2}
�
�=1+2��⋅�=
A.B.C.D.
1144
3.已5知等差数列的前项5�和,25,等比数列满25足�,,则()
A.��B4.�4=16�5−C�.3=4�D�.�2=�2�3=�5�6=
4.某81地区发现一种传染病,初24期3感染人数增长符合27指数函数模型729其中为感染人数,为初始感
𝑘
染人数,为传播系数,为发现疫情后的天数,为自然对数的底�数=�已0�知发(现疫�情第天感染人�0数为
人,第�天感染人数为�人若感染人数达到�人时需要启动紧).急防控预案,则最1迟应在发现疫情12后0
第 天3启动参考数据2:70.,,1000
A.().(B�.�2≈0.7��3≈1.C1.��10≈2.3)D.
5.6的展开式中,7的系数为()89
53
A.�−�+3B.��C.D.
6.已80知是定义在上的偶6函0数,且对任意−80,−6总0有,则不等式
�(�1)−�(�2)
1212
�(�)��,�∈0,+∞,�≠�12<0
的解集为()�−�
A�(.2�−1)<�(�)B.
1
(−∞,3)∪(1,+∞)(1,+∞)
C.D.
1
(3,1)(−∞,1)
7.设为坐标原点,为椭圆的两个焦点,点在上,,则()
22
��4
1212
��,��:9+6=1��cos∠���=5|��|=
A.B.C.D.
25531435
8.已3知函数3,若对任意5恒成立2,则实数的最小值为()
(�+1)�
A.�(�)=�B+.���∈C(0.,+∞),�(�)≥ln�D.�
112
2
二、�多−选1题:本题共3小题,�−共118分。在每小题�给−出1的选项中,有多�项−符1合题目要求。
第页,共页
19
9.为测试脑机接口设备的信号识别精度,某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验,实验评分部分满分
分随机抽取名参与实验的高三学生的操作得分单位:分如下:,,,,,,,,,
10下列.说法正确的10是()()6758676810
A7..该样本的分位数为分B.该样本的极差为分
C.用样本均值70估%计总体均值7,其值约为分D.用样本方差估计总5体方差,其值约为
10.将函数的图象向左平移个单7位,再将横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不1.8变,得到函数
�
�=sin2�2�(�)
的图象,则()4
A.函数的图象的一条对称轴为直线
�
�(�)�=2
B.函数的图象的一个对称中心为
�
�(�)(2,0)
C.函数的周期为
�
�(�)2
D.不等式的解集为
1��
11.如图,�矩(�形)≥2中,[−3+,2��,3+,2�为�](边�∈�的)中点,沿将折起,点折至处平
面,若�为��线�段�的�中=点4,�平�面=2�与平面��所成锐�二�面角△�,��直线与�平面�1(所�成1∉角为
,�则��在�)�折起过程�1中�,下列说法正�确1�的�是()������1�����
�△𝐵�
A.存在某个位置,使得
B.面积的最大值�为�⊥�1�
C.△�1��22
D.�三��棱�锥=2����体积最大时,三棱锥的外接球的表面积
三、填空题�1:−本�题��共3小题,每小题5分�,1−共�1�5�分。16�
12.若,且,则的最小值是.
13.已知�>圆0,�:>0��=�+���,圆:,,分别是圆,上的动
2222
点,为轴�1上的�动−点4,�+则�点−到6�+,12两=点0的距离�2之和(�的−最3)小+值(为�−4.)=9���1�2
�����
第页,共页
29
14.有个相同的球,分别标有数字,,,,,从中有放回地随机取次,每次取个球记为这
个球5中至少被取出次的球的个数1,则2的3数4学期5望.31.�
5四、解答题:本题共15小题,共77分。解�答应写出文字�(说�)明=,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
人教(版选择1性3必)修二第页中提到:欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素
∗
的正整�数的个数,例如:8���∈���
,,,,,,正偶数与不互素,所有
�
�正奇1数=与1�互素2,=比1�小3的正=奇2数�有4=个2,�所8以=4�9=;6�27=18.2
���−1��−1
求2,,2的值;2�2=2
�
(1)已知�数6列�10满足�3,求的前项和;
1�
����
(2)��=2�⋅�3���
若数列的前项和为,对任意,均有恒成立,求实数
4��−1∗∗3
��
(3的)取值范围2�.−1�∈����∈��⋅�+2−2�+3≥0
�注:两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为.
16.本小题分1
甲、(乙两人进15行围)棋比赛,每局胜者得分,负者得分,约定一方比另一方多分或比赛满局时结
束,并规定:当一方比另一方多分或比1赛满局时,0得分多的一方才算赢假设在3每局比赛中不7存在平
局,且甲每局获胜的概率为,各3局比赛相互独7立已知前局中,甲胜局,.乙胜局,两人又打了局
2
后比赛结束.5.312�
求甲获得这次比赛胜利的概率;
(1)求的分布列及期望.
1(27).本�小题分
已知(函数15),.
ln(�+1)1
令�(�)=,�求(�>在0点)�(�)=�(�)+�处(�的)切线方程;
(1)讨论ℎ(�)=在��(�)上的ℎ单(�调)性;(�−1,ℎ(�−1))
(2)证明:�(�)当(0,1)时,;
�
(3)(�)�>0.ln(�+1)>�+1
1(�8�.)1本<小�题(�)≤分2��2
已知(双曲线1的7方)程为,是一个定点.
22
��
22
��−�=1(�>0,�>0)�(1,1)
第页,共页
39
若点在双曲线的渐近线上,求的离心率;
(1)若点�在双曲线�上,,是双曲�线上的另外两个动点,是坐标原点.
(2)当是�的重�心且�直线�的斜率�为时,求双曲线的�方程;
(�)当�△��时�,求证:存在�一�个定圆与直2线相切.�
1(�9�.)本�小�题⊥��分��
如图(①,在17)中,,点是边上一点,且,.
▵�����=3���𝐵=2����=2
若平分时,求的大小;
(1)如图��②,将∠���沿∠翻��折�至,使平面平面.
(2)当三棱锥△𝐵�的体�积�最大时▵,�求��三棱锥𝐵�⊥的外接�球��的表面积;
(�)求直线�与−平𝐵面�所成角的正弦值的最大�值−.𝐵�
(��)���𝐵
第页,共页
49
参考答案
1.
2.�
3.�
4.�
5.�
6.�
7.�
8.�
9.�
10�.𝐵
11.𝐵
12.�𝐵
13.4
14.52−4
61
15.解25:因为不超过正整数且与互素的正整数只有,,所以,
因为不超(1过)正整数且与6互素的6正整数只有,,,1,5所以�6=2,
所有不超过正整数10的正整1数0有个,其中与不1互素3的7正整9数有�10,=4,,,
���
,共个3,331×32×33×3⋯
�−1�−1
3所以所×有3不超3过正整数,且与互素的正整数的个数为个,
����−1�−1
即;333−3=2×3
��−1
�3=2×3
��−1
(2)��=1�⋅�3=�×3
2,
012�−2�−1
��=1×3+2×3+3×3+⋯+�−1×3+�×3,
123�−1�
3两�式�=相1减×得3+2×3+3×3+⋯+�−1×3+�×3
,
123�−1�1��
�
−2�=1+3+3+3+⋯+3−�×3=23−1−�×3
;
1�1
�
�=42�−13+4
由可知
�
4��−12�−13+1−1�
(3)(2)2�−1=2�−1=3
第页,共页
59
,
�
31−33�3
�
�=1−3=2×3−2
得恒成立,
322�−3
��
�⋅�+2−2�+3≥0�≥3×3
令,
22�−3
��
�=3×3
则,
22�−122�−32−4�+8
�+1��+1��+1
可得�−�;=当3×3时−,3×3=3,×当3时,,
21�+1��+1�
所以�>��的>最2大值为�<��,=2�=�
22�−32
��23
�=3×3�=�=27
故.
2
�≥27
16.解:情况:在接下来的比赛中,甲连赢局,则甲获胜,
概率为(1)1;4
222216
情况:5×在5接×下5来×的5=比6赛25中,甲嬴局,乙赢局,则甲获胜,
概率为2,31
323396
4
�⋅(5)⋅5=625
甲获得这次比赛胜利的概率为;
1696112
∴由题意得的可能取值为,62,5+625=625
(2)时,在�接下来的比赛中2,乙4连嬴局,
�=2,2,
339916
∴�(的�分=布2)列=为5:×5=25�(�=4)=1−�(�=2)=1−25=25
∴�
�24
�916
的期望为25.25
91682
��(�)=2×25+4×25=25
17.在单调递增证明:令,则′
�1
�−��+1=0�(�)(0,1)(�)�(�)=ln(�+1)−(�>0)�(�)=−
,�+1�+1
1�
22
所(�+以1)=在(�+1)>0上单调递增,所以,即当时,
所以当�(�)(0时,+,∞);�(由�)>可�(知0)当=0时,�>0�(�),>故0
�111
�>0ln(�+1)>�+1(��)(�)�>0�(�)>�+1�(�)=�(�)+�(�)>�+1+
第页,共页
69
,
1
1
�+1=1
由于,则,故,
1111
�(�)=�(�)+�(�)�(�)=�(�)+�(�)�(�)=�(�)
由可知在单调递增,在单调递减,故在单调递减,即在
11
(单2)调递减�(,�)(0,1)�=�(1,+∞)�(�)(1,+∞)�(�)(1,+
∞故),所以
18�.解(�:)≤�双(1曲)=线2�的�2渐近线方1程<为�(�)≤2��,2若点在双曲线的渐近线上,
�
(1)��=±����
则,所以;
���2
�设=1,的坐�标=分别1为+(�)=,2,因为点在双曲线上,
1122
所(2)以��,(�,�)(�,�)��
11
22
�−�=1
因为,在双曲线上,所以,
2222
�1�1�2�2
(�)���2−2=1,2−2=1
作差可得��,�即�,
2
(�1+�2)(�1−�2)(�1+�2)(�1−�2)�1−�2�(�1+�2)
222
�−�=0�1−�2=�(�1+�2)
因为是的重心,所以,即,,
0+�1+�20+�1+�2
1212
�△���3=1,3=1�+�=3�+�=3
又因为直线的斜率为,所以,即,
2
�×322
��22=2�=2�
代入解得�×,3
11212
22
所以双�曲−线�=的1方程为�=2,�=1;
22
因为�,直线2�−不�可能=垂1直于轴,所以设直线的方程为,
代(��入)��⊥��,化简得�����,�=��+�
22
��222222222
22
�−�=1(��−�)�+2����+��−��=0
所以,
22222
2�����−��
1222212222
因为�>0,�,+所�以=−��−�,��,=即��−�,
即��⊥���1�2+�1�2=0,(��1+�)(��2+�)+�1�2=0
22
化简(�得+1)�1�2+��(�1+�2)+,�=0
222
���1
22211
1+�=�−�=2−2=1
所以原点到直线的距�离�,存在定圆与直线相切.
|�|22
2
���=1+�=1�+�=1��
第页,共页
79
19.解:因为,所以,
△𝐵�△𝐵�
即(1)𝐵=2���=2�,
11
若2×平��分×𝐵×,s则in∠�𝐵=2×2×��×,𝐵所×以sin∠�𝐵.
设��,∠�则��si,n∠�𝐵=sin∠�𝐵��=2��
因为��=�,��=2�,所以.
�
𝐵=2𝐵=2cos∠�𝐵=2
由,得,
2
�4+�−1
解得cos∠�𝐵,=即cos∠�𝐵2=2×2×.�
所以�=3��=3,��=2,3
222
(23)+3−31
又cos∠���=2×2,3所×以3=2;
∘∘∘
0设<∠���<1,80作∠�,��垂=足6为0,所以,
(因2)为(�平)面∠𝐵�=平�面��,⊥平�面�平面���⊥,��平面,
所以�平�面�⊥C.𝐵�𝐵�∩𝐵�=����⊂𝐵�
又��⊥𝐵,
所以��=��=2����,
111222
�−𝐵�▵𝐵�
当且仅�当=3�时取最×大��值=,3此×时2×𝐵×�,�×sin�×,2�即���=,3���,�≤两3两垂直,
∘
设三棱锥�=90的外接球半径为,𝐵则⊥𝐵𝐵⊥𝐵𝐵𝐵𝐵,
222
所以三棱锥�−𝐵�的外接球的表面�积为2�=𝐵;+𝐵+𝐵=4+1+4=3
2
如图,以�−所𝐵在�直线为轴,所在直4�线�为=轴9�,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
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