简单的线性规划知识点及题型归总

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、考点、热点回顾

1.二兀一■次不等式表布的平面区域

⑴普通地，二元一次不等式Ax+BV+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O某一侧所有点组成的平一面区我.我们把直线画

成虚线,以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C>0所表示

的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.

⑵对于直线Ax+By+C=O同一侧的所有点.把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一仰J取一个

特殊点(x0,y。)作为测试点，由Axo+Byo>C的符号即可断定Ax+By+C>0表示的是宜

线Ax+By+C=O哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念

名称意义

约束条件由变量x,y组成的一次不等式

线性约束条件由x,y的一次不等式(或者方程)组成的不等式组

目标函数欲求最大值或者最小值的函数

线性目标函数关于x,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解

口J行域所有一行解组成的集合

最优解使口标困数取得最大值或者及小值的可仃解

线性规划问题在线性约束条件卜求线性H标阴数的最大值或者最小值问

3.重要结论

画二元•次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

⑴直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.

(2)特殊点定域：若直线无非原点，特殊点常选原点：若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或者(1,0)来验证.

【知识拓展】

1.利用同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域

对于Ax+By+C>0或者Ax+By+C<0,WU有

(T)当B'：Ax+By+C)>0时，区域为直线Ax+By+C=O的上方■:

⑵当B.Ax+By+C)<0时，区域为直线Ax+By4C=0的下方.

2.最优解和可行解的关系

最优解必然是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定惟一，有时惟一，有时有多个.

二、典型例题

例1、：1)分别回出不等式x+2y-4>0和y>x+3所表布的平面区域；

(2)在平面直角坐标系中，已知平面区域A={(x,y)|x+yvl,且x>Qy>0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x.

y)£A}的面积为()

B.l

c.2

变式训练1、不等式《加+”21)<x.y-3)w海坐标平面内表示的区域(用阴影部份表示)，应是卜列图形中的。

例2、若不等式组表示的平面区域的形斗,是三角形，则a的取值范围是0

y>o,

x-y>0.

B.O<a<l

44

C1D.O<a<l或者aA3

考点二、含参数的平面区域问题

变式训练2、已知约束条件x+y-4<Q表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为0

x>l,

kx-y<0

A.1B.-1C.0D.-2

考点二、含绝对值符号的不等式(组)表示的平面区域

例3、画出不等式18+1川W1所表示的平面区域。

[1MK£4

变式训练3、设实数XN满足不等式组N+2々以“-31试求点(x,y)所在的平面区域。

考点四、不等式组表示的平面区域的面枳

;x>0

x+3y>4-

.一.vv44

例4］若不等式组了一所表木的平面区域被宜线ykx一分为面积相等的两部份，求

3

x+yM2

:用之。

a-b)所在的平面区

变式训练4、已知点M(a,b)在由不等式组I)'之。确定的平面区域内，求点N(a+b,域的面积。

考点五、求线性目标函数的最值

2x+3y-3<Q

例5、设x,y满足约束条件2x-3y+3>Q则z=2x+y的最小值是0

y+3>Q

A.-15B.-9C.1D.9

,r+2之0

x-y+3>Q

变式训练5、设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值是()

A.3B.4C.18D.40

考点六、非线性目标函数的最值x+ywz

例6、若变量x,y满足2x-3ywg则xi23+yz的最大值是0

x>Q

A.4B.9C.10D.12

il-+7W04x-3y-12<0

一口…Ix+2y-3>0,0°—

变式训练6、(1)已知变重x,y满足，求z=X2+w的取大值和取小值。

2x-y-6>0,

(2)已知实数x,y满足约束条件yJx-3,则z=l的取值范围为0

2x-2

x+4y<12

11

A.-8,-2B.一。。,一Q

3

-11

D.+oo

3

考点七、求参数的值或者取值范围

x+y>0,

例7、变量x,y满足约束条件x-2y+2>Q若z=2x—y的最大值为2,则实数m等于（

B.-lC.lD.2

mx一产0.

变式训练7、已知x,y满足约束条件x”W2,育z=ax+y的最大值为4,则a等于（

y刊

B.2C.-2D,-3

x-y>0.

考点八、线性规划问题的实际应用

例8、某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个

将只需7分钟，生产一个个及需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫女可获利润5元，生产

一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利涧3元.

（1）试用每天生产白■■卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润3（元）；

（2）怎样分配生产任务才十使每天的利润最大，最大利润是多少？

变式训练8、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个

工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的禾U

润为900元该企业现有甲材料150kg,乙材料93kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为

元.

三、课后练习

、选择题（共12小题，每小题5分，60分）

1.不等式2工+/-3工°表示的平面区域（用阴影表示）是（

2.下列各点中，在不等式2x+y~6〈C表示的平面区域内的是（

A.1B.0：1D.

X之1

1y>xT

3.已知点P(x,y)的坐标满足条件

x+3y-5<。

，那末点P到直线3x-4y-13

=0的距离的最小值为

A.5B.2C.SD.1

2x-yWo

4.若X,W满足广+J舄3,则M的最大值为0

A.0B.3C.4D.5

X<1

{x+2y-l>

满足x-ky〉0，若J

5.实数工，y=3x+y的最小值为1,则正实数

A.2B.lC.D.彳

x-y>0

6.若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数门的取值范围是

B.(币⑹

A.c.

x+3y<15

(y£#+l

7.不等式组表示的平面区域的面积为（

x-5y<3

A.7B.5C.3D.14

2,-y-2>0

廿，所表示的区域上

8.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组

3x+y-8<0

一动点,则直线0M斜率的最

1

D卜之

1B]3

2x-y>0,

i

W+炉ML

，满足约束条件

9.设”yao,gf+y取得最大值的最优解不惟一，则实数的值为

C•:或者

A.B.lD.

io.已知点，（di）,动点P（x，y）的坐标满足，那末IP川的最小值是（

£

A.B.c.D.1

x-y20

[Jr+y<4

y>rn

11.匚知变量*满足约束条件，若目标函数的最小值为2,则

yo

12.已知实数x,y满足约束条件>：y0，则z的取值范围是（

xl

2xy20

1,3

B.C.

、填空题（（共4小题，每小题5分，20分）

工之0,

[x-y<0,

13.设D为不等式组X+¥-3<°所表示的平面区域,则区域D上的点与点（1,口）之间的距离的最小值为

15.若不等式组｛2xyx2y4所表示的平面区域被直线ykx4分为面积相等的两部份，则k的值为

4

14.坐标原点与点f-24）分别在直线2x-3y++=0的两侧，则弋的取值范围是一

xy30

16.若直线yax上存在点X,y满足条件｛x2y30,则实数a的取值范围为

xl

三、解答题（共6小题，共70分）

x4y30,

17.（10分）已知实数x,y满足｛3x5y250,