重庆市2026届高三数学上学期周练试题15含解析

（满分：150分；时间：120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．

2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；

必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．

3.结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的速项中，只有一项符合

题目要求．

1.命题“，”的否定是（）

A.，B.，

C.，D.，

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可．

【详解】命题“，”的否定为“，”．

故选：A．

2.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论错误的是（）

A.B.的共轭复数为

C.的虚部为iD.为纯虚数

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算法则求得，进而逐项计算判断即可.

【详解】，

对于A，，故A正确；

对于B，的共轭复数为，故B正确；

第1页/共22页

对于C，的虚部为，故C错误；

对于D，，所以纯虚数，故D正确.

故选：C.

3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（

）

A.B.C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇函数的定义和函数解析式进行计算即可.

【详解】由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，当时，，

所以，所以．

故选：D．

4.在从小到大依次排列的样本数据、、、、、中，已知中位数小于众数，则该组样本数据

的平均数为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知，或，结合题意可得出关于的不等式，即可得出的值，然后利用平均

数公式可求得结果.

【详解】由题意可知，这组数据的中位数为，

因为该组数据存在众数，故或，则这组数据的众数为，

又这组数据的中位数小于众数，所以，解得，故，

因此，这组数据的平均数为.

故选：C.

5.记为等差数列的前n项和.已知，，则（）

A8B.10C.13D.15

第2页/共22页

【答案】C

【解析】

【分析】运用等差中项的性质即可得解.

【详解】由，可得，

又因为，即，解得，

故选：C.

6.已知，，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用同角三角函数关系得出，再利用倍角公式计算，最后利用诱导公

式计算.

【详解】因为，所以，

又，

则，，

则，

所以.

故选：B

第3页/共22页

7.在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出

各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结

的有几种，即可解题.

【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能.

先固定中间，有如图所示的四种情形，

这四种情形只有最后一种可以拉成结（可利用头发实验），

将这四种情形翻转得到另外四种情形，

所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为.

故选：B

8.曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的

最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】作出曲线的图象，将问题转化为求到直线的距离的最小值，再数形结

合，再根据圆的性质求出最值.

【详解】曲线，

第4页/共22页

则当，时，曲线，

当，时，曲线，

当，时，曲线，

当，时，曲线，

作出曲线如图：

到直线的距离，

显然当点在第一象限时，有最小值，

因为到直线的距离为，

所以由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，

故的最小值为．

故选：A

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a

和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（modm）.如9和21除以6所得的余数都是

3，则记为9≡21（mod6）.若，a≡b（mod10），则b的值可以是（）.

A.2019B.2023C.2029D.2033

【答案】AC

【解析】

第5页/共22页

【分析】先利用二项式定理化简得；再利用二项式定理将展开可得到a除以10

所得的余数是9，进而可求解.

【详解】因为

所以a除以10所得的余数是9.

又因为a≡b（mod10）

所以b除以10所得的余数是9.

而，，，

故选：AC.

10.在平面直角坐标系中，点是椭圆的左焦点，分别是的左、右

顶点，直线与椭圆相交于两点，则（）

A.若直线经过点，则的最小值为1

B.若线段的中点坐标为，则直线的斜率为

C.若直线经过坐标原点，则

D.若点在椭圆上(点与不重合)，且，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，过左焦点的弦长最小值为通径长；对B，利用中点弦斜率点差法可求；对C，利用椭圆对称

性可得，根据基本不等式即可求解；对D，通过角度关系得到斜率的关系，

再与椭圆方程联立可求点，利用可求.

第6页/共22页

【详解】对A，

过左焦点的弦长最小值为通径长，此时，代入，解得，，故A正确；

对B，设，在椭圆上，

则，，两式相减得，

∵的中点坐标为，∴，

∴，故B错误；

对C，

直线经过坐标原点，椭圆，，，

由椭圆对称性，所以，

，

第7页/共22页

当且仅当，，故C正确；

对D，

设，根据对称性不妨取点在第一象限，

，，

∵，

∴，

即，整理得，

又，代入得，解得，

∴，，

，

故D正确，

故选：ACD

11.如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下

列结论正确的是（）

第8页/共22页

A.有无数个点满足

B.当点在棱上运动时，的最小值为

C.若，则动点的轨迹长度为

D.在线段上存在点，使异面直线与所成的角是

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，根据线面垂直性质定理以及判定定理，可得其正误；

对于B，利用“将军饮马”模型，旋转平面化折直，结合勾股定理，可得其正误；

对于C，利用直观想象圆锥的模型，利用勾股定理，求得其底面轨迹，可得其正误；

对于D，根据异面直线夹角的定义，利用数形结合以及三角函数的定义，可得其正误.

【详解】对于A，若M在上，则此时有无数个点M满足，

证明如下：由正方体的性质得平面，因为平面，所以.

又，，平面，所以平面，

因为平面，所以，即此时有无数个点M满足，故A正确；

对于B，旋转平面使之与平面共面，如图中，连接交于点M，

此时最短为，大小为，故B错误；

对于C，当点在平面内时，面，面，则，

所以，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，

从而动点轨迹长度为，故C正确；

第9页/共22页

对于D，因为，所以直线与所成的角，即为直线与所成角，即或

其补角，

由在线段上存在点知，，由，得

，

即最小值大于，故D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.若，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】利用换底公式求出，再代入化简即可.

【详解】因为，所以，则，

则.

故答案为：

13.已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为_________.

【答案】##

【解析】

第10页/共22页

【分析】根据在方向上的投影向量为，进而得到，再根据求解即

可．

【详解】因为在方向上的投影向量为，

所以，

又，且，

所以．

故答案为：．

14.设表示有限集合中元素的个数，已知函数，，若

，其中为常数，且，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】利用求导分析函数的单调性，并作出函数图象，再利用数形结合可分析出参数的范围

.

【详解】由，可得，

当时，，所以在时单调递增，

当时，，所以在时单调递减，

当时，，所以在时单调递增，

由，且，作出函数的图象，如下：

第11页/共22页

因为，所以当时，，

由于必有一个解，且，

所以也必有一个解，且与的解不相同，

由图及题设：或.

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.已知数列的前n项和为，若，

（1）求

（2）若，为数列的前n项和，求

【答案】（1）；

（2）

【解析】

【分析】（1）利用数列的递推关系,结合等比数列公式求解即可；

（2）采用分组转化求和法求解即可.

【小问1详解】

，

当时，，

当时，，

，

，

，

又，

第12页/共22页

是以为首项，2为公比的等比数列，

，

，

又时也满足上式，

；

【小问2详解】

，

，

，

16.随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关

部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：

表示2021年），具体参考数据如下表：

5570.419

（1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；

（2）假设该地区现有12个充电桩，其中一半为快充桩，现对该地区现有的12个充电桩进行检查，随机抽

第13页/共22页

取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值.

（参考公式：，.）

【答案】（1）

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据题干数据以及回归直线方程的参数公式，可得答案；

（2）根据超几何分布的分布列计算，以及均值计算公式，可得答案.

【小问1详解】

，，

，，

所以，回归直线方程为.

【小问2详解】

的可能取值为，则：

，，

，，

所以分布列为：

故均值.

第14页/共22页

17.已知双曲线：的实轴长为2，点在上.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，

过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值.

【答案】（1）

（2）9

【解析】

【分析】（1）根据双曲线的实轴长和双曲线上点的坐标求双曲线的标准方程.

（2）设直线：，代入双曲线方程，利用韦达定理表示点坐标.利用三点共线和

，表示出点坐标，然后弦长公式和点到直线的距离公式表示出四边形的面积，再结

合换元法和导数分析函数的单调性，求四边形面积的最小值.

【小问1详解】

由已知得，解得.

所以双曲线的标准方程为.

小问2详解】

设，，，，

如图：

第15页/共22页

设直线的方程为，

联立得，

，且，

，，

所以，所以.

由，，三点共线得，①

由得，

又，则，②

联立①②解得，，即，

由是线段的中点及可知，四边形是平行四边形，

设到直线距离为，

则，

而，

.

令（且），则，

则，

令，则，

第16页/共22页

所以在上，单调递增；

在上，单调递减；

在上，单调递增，

又因为，，

所以，

当即时，符合题意，

所以.

18.如图，四棱锥中，平面平面，，，，

，，，

（1）求证：平面；

（2）设平面平面，求与平面所成角的正弦值．

（3）设平面，求当周长最小时三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；

（2）；

（3）.

【解析】

【分析】（1）如图，取中点为，连接，由题可证，结合，可得平面

，从而，最后结合可完成证明；

（2）如图建立以为原点的空间直角坐标系，由题求出方向向量与平面的法向量，据此可得答案；

（3）如图，由（1）做出关于平面的对称点，连接，其与平面交点即为满足题意的Q，

第17页/共22页

然后由题可得Q坐标，据此可得体积．

【小问1详解】

取中点为E，连接PE，因，则，

又平面平面，平面，平面平面，

则平面，平面，则．

又，平面，，

所以平面，平面，则．

又，平面，，

所以平面．

【小问2详解】

如图，连接，因，则，

结合（1），可得两两垂直，故建立以为原点的空间直角坐标系．

因，则．

因，，则．

从而，

．

设平面与平面法向量分别为，，

则，，

可取，.

设方向向量，因平面平面，

则，从而可取.

设与平面夹角为，易得平面法向量为，

则；

【小问3详解】

第18页/共22页

由（1）可得平面，延长至，使，

则为关于平面的对称点，从而，

当且仅当三点共线时取等号，

又，则连接，与平面交点即为满足题意的Q.

由（2），则，.

设，又，

则，注意到平面，

则，则，

又，则，即.

则.

19.函数．

（1）当时，求在上的最大值；

（2）若在上单调递减，求实数的取值范围；

（3）证明：，．

【答案】（1）

第19页/共22页

（2）

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值；

（2）求出导函数，结合，按照和分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性

求得的范围；

（3）先证明左边，由（1）知，当