第一章矢量分析与场论

第一章矢量分析与场论标量场和矢量场梯度、散度、旋度矢量场的初等运算矢量场的微、积分

亥姆霍兹定理场的图示法1.1常用坐标系（正交系）-∞＜x＜∞X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面直角x,y,z-∞＜y＜∞Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面

-∞＜z＜∞Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面0≤

＜∞=C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面圆柱

,,z0≤

＜2

=C；是一过Z轴的半平面（子午面）

-∞＜z＜∞Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面

0≤r＜∞r=C；是一O点为中心C为半径的球面球面r,,0≤

≤

=C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角

的圆锥面

0≤

≤2=C；是一过Z轴的半平面（子午面）形式坐标取值范围几何意义z

zzxyOOOx···（x0y0z0）r

xy（

0

0z0）（r0

0

0

）三种正交系的相互关系·zxy

r

（）

X=cos=rsincosY=sin=rsinsinZ=rcosθr2=x2+y2+z2=

2+z2=rsin=arctg(y/x)=arccos(z/r)cosα=(x/r)cosβ=(y/r)cos

=(z/r)cos2α+cos2β+cos2

=11.2标量与矢量物理量通常是时间和空间的函数描述空间的数学语言是坐标描述物理量的数学语言是标量和矢量标量（A）：只有大小没有方向的物理量矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。

算数量：＞0代数量：≠0不变量：A·B标量与矢量复数1.3标量场与矢量场物质粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。场：某一物理量在空间的分布称场标量场：其物理量为标量的场矢量场：其物理量为矢量的场场物理量场A（或A）静态场:A（M）均匀场:A（t）动态场均匀平面场:A（z,t)

一般时变场:A(M,t)1.4坐标单位矢量、常矢、变矢单位矢量

eA:

模(大小)为1,以矢量A的方向为方向的矢量。

坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。

（若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量）eθ直角：球面：exeyez圆柱：eρ

ejezerej对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量：常矢：大小和方向均不变的矢量。变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式：

=Axex+Ay

ey+Az

ez=Aρ

eρ

+Aφeφ

+

Az

ez=Ar

er+Aφeφ+AθeθA=A

eA

？eθexerezeyeρejA矢量场的不变性A

eAA1eA

=A/A

1.5源点、场点、矢径、距离矢量矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM用r表示称矢径。r=xex+y

ey+z

ez=ρ

eρ

+z

ez=r

er矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式，

表示的是空间位置，没有物理含义。源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。距离矢量R：由源点指向场点的矢量，

用符号R表示。

R=r-r′场点：r=xex+y

ey+z

ez=ρ

eρ

+z

ez=r

er源点：r′=x′ex+y′ey+z′ez=ρ′eρ+z′ez=r′er源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示：S′PRr′r○1.5源点、场点、矢径、距离矢量例：已知，A=xyex+z2

ey+y

ez

求：A及r

在点P(1,2,2)的值，且图示。

注意：矢径和矢量的区别解：①求值∵r=x

ex+y

ey+z

ez

由题意可知：x=1,y=2,z=2将此代入A及r

得：

A=2ex+4

ey+2

ez;

r=

ex+2

ey+2

ez

rA○②图示P(1,2,2)1.6矢量的初等运算矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除且以各矢量同在某一点为前提加减乘设：A=Axex+Ay

ey+Az

ez，

B=Bxex+By

ey+Bz

ezA±B=(Ax±

Bx

)

ex+

(Ay

±By

)ey+(

Az

±

Bz

)

ez

标乘点乘叉乘μA=μAxex+

μAy

ey+μ

Azez

A·B=A·Bcos(A·B)=AxBx

+

AyBy

+Az

Bz

∧性质：1、若

A·B=0则

A⊥B

2、A·A=A2

A×B=A·Bsin(A·B)en=∧exeyezAxAyAzBxByBz性质：1、若

A×B=0则

A∥B

2、A×A=0A×BABen1.6矢量的初等运算矢量初等运算规则(设：A

、B、C

都是矢量)A+B=B+A;A±(B±C)=(A±B)±CA·B=B·A;A·(B+C)=A·B+A·CA×B=-B×A;A×(B+C)=A×B+A×CA·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)(A·B)C≠A(B·C);A×(B×C)≠(A×B)×CA×(B×C)=(A·C)B-(A·B)C‖‖‖Ax

AyAz

[ABC]=[BCA]=[CAB]=BxByBz

Cx

CyCz

若B=C则A·B=A·C及A×B=A×C成立若A·B=A·C及A×B=A×C则B=C不一定成立结论：等式两边可同时“点”和“叉”，但不能随意消去相同的量CAB1.7坐标变换1、不同坐标系的变换例：Φ=1/√x2+y2+z2=1/√ρ2+z2=1/r2、坐标平移例：若电荷q位于坐标原点O，则电位Φ=kq/√x2+y2+z2

若将电荷q

置于坐标点s′(x′y′z′)处,求电位Φ的表达式。解：将坐标点s′定义为新坐标系(u,v,w)的原点O′则：Φ=kq/√u2+v2+w2

=kq/√(x-x′)2+(y-y′)2+(z-z′)2OO′uwvzxy·Φqq3、坐标旋转∵坐标系是一钢架，∴当某一轴替代另一轴时，其它轴也应相应变换。OxzyOyxzOxzy原坐标新坐标1.7坐标变换eu1eu3eu2ev1以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得：直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系∧∧∧球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7坐标变换exezeyer方法（一）：由一般式，且设：u为直角坐标系、v为球坐标系，则有：

erer·

exer·

eyer·

ezexeθ

=eθ

·

ex

eθ

·

ey

eθ

·

ez

eyeφ

eφ

·

ex

eφ

·

eyeφ

·

ezez

cosαcosβcosγex

=er(θ+90°,φ)

·ex

er(θ+90°,φ)

·ey

er(θ+90°,φ)

·ez

eyer(90°,φ+90°)·ex

er(90°,φ+90°)·eyer(90°,φ+90°)·ezezsinθcosφsinθsinφcosθ

ex=

sin(θ+90°)cosφsin(θ+90°)sinφcos(θ+90°)

ey

sin90°cos(φ+90°)sin90°sin(φ+90°)cos90°

ezsinθcosφsinθsinφcosθ

ex=

cosθcosφcosθsinφ-sinθ

ey

-sinφcosφ0

ez球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换1.7坐标变换方法（二）：exezeyerer=

sinθcosφex+sinθsinφ

ey+cosθ

ezρρezρexeyθφsinθsinθsinθereθ=cosθcosφex+cosθsinφ

ey－sinθ

ezexezeyerρρezρexeyθφcosθcosθerθcosθeθeφ=

-sinφex

+cosφey

ρexeyφeφφ例：已知，在点P(1,1,0)处有一常矢量

A=2ex+4

ey+2

ez

①

求：A在该点的球坐标表达式。

②求：A在(√2,√2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。①对于点(1,2,2)：sinθ

=1，sinφ=1/√2，cosθ=0，

cosφ=1/√2

因此：ex

=

1/√2er-1/√2eφ，

ey

=

1/√2er+1/√2eφ,ez=－

eθ

∴

A=

3√2er－2

eθ

+√2eφ②对于点(√2,√2,2)

：sinθ=sinφ=cosθ=cosφ=1/√2

因此：ex=

1/2er+1/2eθ-1/√2eφ,ey=

1/2er+1/2eθ+1/√2eφ

ez=

1/√2er-1/√2eθ

球：∴

A=(3+√2)er+(3-√2)eθ

－√2eφ

直：∵ex,ey,ez为常矢

，因而A不随点变化∴

A=2ex+4ey+2ezex=

sinθcosφer+cosθcosφeθ

-sinφeφey=

sinθsinφ

er+cosθsinφ

eθ+cosφeφ

ez=

cosθ

er

－sinθeθ

解：∵以上结果显示：

①同一矢量

，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。

但由矢量场的不变性可知：对于点(1,2,2)：

A=

3√2er－2

eθ

+√2eφ=2ex+4

ey+2

ez对于点(√2,√2,2)

:A=(3+√2)er+(3-√2)eθ

－√2eφ=2ex+4ey+2ez

②同一常矢量

，在不同点其直坐标下的表达式是不变的，

而球坐标下的表达式是完全不同的。这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性即：无论你选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。这表明除直坐标外：坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应对于柱或球坐标系每条ρ或r射线都与唯一的一组坐标轴对应1.8微分元微分元是矢量微、积分的基础。坐标线元dxdydzdρρdφdzdrrdθrsinθdφ

坐标平面元dσ

若:则dσ=x=c,dydzy=c,dxdzz=c,dxdyρ=c,ρdφdzφ=c,dρdzz=c,ρdρdφr=c,r2sinθdφdθθ=c,rsinθdrdφφ=c,rdrdθ坐标体元dvdxdydz

ρdρdφdz

r2sinθdrdφdθdx=dy=dz=dρ=dφ=dz=dr=dθ=dφ=exeyezeρ

ejezereθeφ坐标元任意元坐标元dx直

dydzdρ柱dφdzdr球dθdφendσx=dσy=dσz=dσρ=dσφ=dσz=dσr=dσθ=dσφ=enenen

en

en

en

en

enenyxzendxdzdydσz=dxdyezdσz=-dxdyezyxzdzdρdφ=ρdφeφdφdσρ=ρdφdzeρρyxzdθdφφrrdθdl=-dxex+dyey+dzez=

dρeρ+ρdφej+dzez=

drer-rdθeθ+rsinθdφeφen

dsdσz

⊿syxzdxdydz

⊿ldlyxzdρrsinθdφdrer-rdθeθrdr

弧长元(切线)dl=dleτ

直：=dx+dy+dz=±dxex±dyey±dzezdl=√dx2+dy2+dz2柱：=dρ+dφ+dz=±dρeρ±ρdφej±dzezdl=√dρ2+(ρdφ)2+dz2球：=dr+dθ+dφ=±drer±rdθeθ±rsinθdφeφdl=√dr2+(rdθ)2+(rsinθdφ)2

曲面元(切面)

ds=dsen

直:=dσx+dσy+dσz=±dydzex±dxdzey±dxdyez

ds=√(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2柱:=dσρ+dσφ+dσz=±ρdφdzeρ±dρdzej±ρdρdφezds=√(ρdφdz)2+(dρdz)2+(ρdρdφ)2球:=dσr+dσθ+dσφ

=±r2sinθdφdθer±rsinθdrdφeθ±rdrdθej

ds=√(r2sinθdφdθ)2+(rsinθdrdφ)2+(rdrdθ)2dρdφ概念：1.8微分元坐标：空间某点的位置可用三个坐标(例：xyz)唯一确定。坐标线：例：当y=a,z=c(a,c为常数)而x连续变化所形成的轨迹称x坐标线。显然和坐标线为一族同心圆和半圆。坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的一微小线段。显然，与dφ，dθ对应的是一微小的曲线，∵很微小，∴可视为直线因而与坐标轴重合。这表明：①坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。②过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。坐标面元:两条相关垂直的坐标线元构成的平面,显然这是一矩形。弧长元(切线)dl:由空间某点P可引出多条任意曲线，由P点起沿某曲线取一小段(即增量⊿l),且过P点作该曲线的切线，切线上与增量⊿l相应的切线元dl

称弧长元，显然它是任意方向上的线元。曲面元(切面)

ds：与任意曲面在某点的增量⊿s相对应的切面元。坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴,方向为坐标增大的方向。显然，只有x,y,z轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。坐标元：坐标的微分量。1.9矢量积分矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立的，∴对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。对时间的积分对空间的积分1、对时间的积分设：A=A1eu1

+A2

eu2

+A3

eu3∫A

dt=∫A1eu1

dt

+∫A2

eu2

dt

+∫A3

eu3

dt

=eu1

∫A1

dt

+eu2

∫A2

dt

+eu3

∫A3

dt本教材假定所研究的对象是不运动的，即坐标原点O静止。因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的∴它们可以提到积分号外。例：矢量A=

t2xex+2ty

ey+z

ez求：∫1A

dt

0解：∫1A

dt=∫(3t2xex+2ty

ey+z

ez)dt

=3xex∫t2

dt

+y

ey∫2tdt+z

ez∫dt

=xex+y

ey+z

ez0101010101.9矢量积分标性矢性∫A·

dl=∫Acos(A,dl)dl=∫(Axdx+Aydy+Az

dz)=∫(Aρdρ+Ajρdφ+Azdz)=∫(Ardr+Aθrdθ+Ajrsinθdφ)∫A·

ds=∫Acos(A,ds)ds=∫Axdydz+Aydxdz+Azdxdy=∫Aρρdφdz+Ajdρdz+Azρdρdφ=∫Arr2sinθdφdθ+Aθrsinθdrdφ+Ajrdrdθ∫fdv=∫fdxdydz=∫fρdρdφdz=∫fr2sinθdrdθdφ2、对空间的积分标性矢性根据积分结果可分为两类∫fdl=

ex∫fdx+ey∫fdy+ez∫fdz∫Adl=

ex∫Axdl+ey∫Aydl+ez∫Azdl∴∫eρ

dφ=ex∫cosφdφ

+

ey∫sin

φdφ

=0π-ππ-ππ-π例：∫eρ

dφπ-π解：∵

eρ

=excosφ

+

eysin

φ一、定义：1.10矢量微分设：A(u1,

u2,u3,t)=A1eu1

+A2

eu2

+A3

eu3A(u1+⊿u1,

u2,u3,t)-A(u1

,

u2,u3,t)

A

⊿u1

u1=lim⊿u1

→0

若：二、公式：三、运算则：称矢量A是对自变量u1偏导数。依此类推可得其它偏导数

μA

u1——=μ——+——

A

u1

μ

u1A(A·B)

u1

B

u1

A

u1——=

A·——+——·B(A×B)

u1

B

u1

A

u1———=

A×——+——×B

C

u1——=0；(A+B)

u1

B

u1

A

u1———=——+——若：u1=u1(t),

A

t则:——=————

A

u1du1dt———=———

A2

u1

u2

A2

u2

u1⑤①②③④⑦⑥由式⑤①可将矢量A

的偏导数用分量形式表示

A

u1

A1

u1

A3

u1——=eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3

——

A2

u1

eu1

u1

eu2

u1

eu3

u11.10矢量微分设：A(u1,

u2,u3,t)=A1eu1

+A2

eu2

+A3

eu31、对坐标单位矢量的偏导——=0；

te时间：空间球：(er,eθ,ej)

r—————=0；柱：(eρ,ej,ez

)(z,ρ,r,θ)—————=0；直：(ex,ey,ez)(x,y,z,ρ,r,φ,θ)——————=0；

eρ

φ

——=ej

ej

φ

——=-eρ……

eρ

φ

——=ej证：将式⑴代入原式：∵

eρ

=excosφ

+

eysin

φej

=-

exsinφ

+

eycos

φ⑴⑵

eρ

φ

——=——

(excosφ

+

eysin

φ)

=-

exsinφ

+

eycos

φ=ej

φ

与式⑵相比，原式得证运算对时间的微分对空间的微分对坐标单位矢量的偏导对矢量函数的偏导设：A(u1,

u2,u3,t)=A1eu1

+A2

eu2

+A3

eu3以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导

A

t

A1

t

A3

t——=eu1——+eu2——+eu3——

A2

t直：

A

Ax

Ay

Az

x

x

x

x——=——ex+——ey+——ez；……时间：空间柱：

A

Aρ

Aφ

Az

ρ

ρ

ρ

ρ——=——

eρ+——ej+——

ez2、对矢量函数的偏导

A

Aρ

Aφ

Az

φ

φ

φ

φ——=——

eρ+Aρej+——ej-Aφeρ+

——

ez

A

Ar

Aθ

Aφ

θ

θ

θ

θ——=——

er+Are

+——eθ

-Aθer+

——

ej球：

A

Ar

Aθ

Aφ

r

r

r

r——=——

er+——eθ

+

——

ej

=Axex+Ay

ey+Az

ez=Ar

er+Aφeφ

+

Aθeθ

A

u1

A1

u1

A3

u1——=eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3

——

A2

u1

eu1

u1

eu2

u1

eu3

u1=Aρ

eρ

+Aφeφ

+

Az

ez1.11三度、二式、一定理以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论下面将对数学场论作介绍三度：梯度、散度、旋度二式：格林恒等式一定理：亥姆霍兹定理定义表达式辅助量性质公式1.11三度、二式、一定理梯度:是一矢量，研究数量场u沿某路径变化率可达最大的问题。∵由数量场u的某点可延伸出许多条直线路径l,而这每一个l又分别是每一族曲线在该点的切线(如图示)。由导数的定义可知，数量场u沿曲线只要是同一族曲线包括切线l在内其变化率是相同的。因而可将研究数量场u沿曲线变化的问题转化为沿直线变化的问题。显然只有沿着不同的直线路径l其变化率才不同，但只有沿其中的一条路径l变化其变化率可达最大。du

dlG最大

G=gradu=——

eG定义在某数量场u中某一点M0处，存在这样的一个矢量G，函数u

在点M0

沿G的方向发生变化，其变化率最大且模G正好等于变化率，即定义式：我们称矢量G为u在点M0处的梯度，用符号gradu

表示。由该定义可得如下关系：由此定义式可导出更具实用意义的表达式M0—u—llGlG

u

u

u

xyz

直：gradu=——

ex+——

ey+——

ez

u

u

u

ρρ

φ

z柱：gradu=——

eρ+——ej+——

ez

u

u

u

rr

θrsinθ

φ

球：gradu=——

er+——

eθ

+

————

ej表达式

xyz

=(——

ex+——

ey+——

ez

)u

=▽u

ρρ

φ

z=

(——

eρ+——ej+——ez)u

=▽u

rr

θrsinθ

φ

=(——

er+——

eθ

+

————

ej

)u=▽u▽——哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行梯度

u

u

u

xyz

du

=——

dx+——

dy+——

dz

对u求全微分，则有：对上式两边同时除以dl，及又∵dl/dl

=

el,则有:=(——

ex+——

ey+——

ez)·dl

u

u

u

xyz又∵dl

=dxex+dyey+dzez：——

=(——

ex+——

ey+——

ez)·

eldu

u

u

u

dl

xyz

推导，以直坐标为例：为运算方便，令：则有:du/dl=A·el——

ex+——

ey+——

ez=A

u

u

u

xyzA是一微分矢量。当u给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的el是某路径方向与u无关。u可沿不同的路径l变化，即el可变。du/dl若要达到最大，则u必须沿eA方向变化，即el=

eA因而du/dl=A·el=A

eA·

el应改为：du/dlA最大

=A

eA·

eA=A

这就是说，当u沿A方向变化时，其变化率达最大且正好=

A的模

或对上式两边同乘以eA：du/dlA最大

eA=A

eA·

=A将此与定义相比可知，A就是梯度即：G=A证毕若对u分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。

辅助量方向导数数量场u沿某路径l的变化率称方向导数，记作du/dl性质共有6条

1、标量场u的梯度是矢量。2、简化了全微分的表达式：du

=G·dl3、方向导数是梯度在该ln

方向上的一个分量的模。

∵由前面的推导中已知：du/dl=G·ellil2l1Gdu/dl4、G方向总是指向u增大的方向，即u2＞u1(在G方向上)

证:∵lGdu

dlG最大

G=——

eG=G

eGl1l2u1u2lGdu

dlG

即：——

=G

＞0又∵各ln的方向包括lG

方向在内均以M0为起点向外，即各ln上的l2总是＞l1这就是说，若dl=l2-

l1则dl＞0M0du

u2-

u1

dlGl2-

l1

因而：——

=——＞0∴u2-

u1＞0证毕梯度5、G方向为等位线(或面)的法向，即eG

=

±en

等值面：指在三维数量场u(x,y,z)中，将空间不同位置上但具有相等场值的各点所连成的面。其表达式为：u(x,y,z)=C证:∵u(x,y,z)

=C∴du=0因而：du/dl=G·el=Gcos(eG,el)=0

又∵

G≠0∴cos(eG,el)=0故：eG⊥el

又∵el

为等位线(或面)的切线∴eG

=

±en证毕等值线：指在二维数量场u(x,y,)中，将空间不同位置上但具有相等场值的各点所连成的线。其表达式为：u(x,y,)=C

性质梯度eGel6、①▽u=0或≠0该式都成立，即该式不能说明梯度场是否存在。该式说明：②梯度场若存在必是无旋场。en公式梯度例：求u=1-[(x/a)2+(y/b)2]在点Mo(a/√2,b/√2)处沿曲线1=(x/a)2+(y/b)2的内法线的方向导数。▽Cu=C▽u▽C

=0▽(u±v)=▽u±▽v▽(u

v)=u▽v±v▽u▽(u/v)=(v▽u－u▽v)/v2▽f(u)=f′(u)▽u又∵

u2x√2

xa2

a——=－——=－——√2a√2a

u2y√2

yb2

b——=－——=－——√2b√2bMoenG=▽u=－(ex+ey)√2a√2b则在点Mo处的梯度为：解：∵du/dl=G·el由题意el=-en即求du/dl

=G·(

-en)MoMo令：u=0可见其等位线与题中的曲线相同，这意味着eG

=

±en

另外，分析上式：eG

=

-en

可见,du/dl

=G·(

-en)=G·eG=G=√2(a2+

b2)/abMoMoMoMo1、矢量线（力线）：一种假想的线。矢量线上任一点的切向就是矢量A在该点的方向；矢量A的大小正比于过M0点且与力线正交的单位面积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征A的大小；∵垂直过曲面∴通量定义中的曲面是有向曲面即S是

矢量，方向以矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。

散度:是一标量，研究矢量场A在某点处其通量对体积的变化率。辅助量通量散度力线通量2、矢量场的通量通量

:指矢量A垂直通过某一曲面的矢量线的总根数。※

反映了矢量场通量源的分布情况。曲面：闭曲面：∫A·ds

=∫A·ds

=

S由通量及矢量A的大小，不难导出求通量的表达式：散度定义设有一矢量场

A(M)，于场中某一点M0处作一包含M0点在内的任一闭曲面(S),所包的空间区域

的体积大小用

V表示，矢量A(M)穿过该曲面(S)的通量为。则此通量

在M0点对体积V的变化率称矢量A(M)

在点M0处的散度，用符号divA表示。

Ax

Ay

Az

xyz

直：

divA=——+——+——Aρ

Aρ

Aφ

Az

ρ

ρρ

φ

z柱：

divA

=—

+——+——

+——

Ar

Aθ

Aφ2Ar

ctgθAθ

rr

θrsinθ

φ

rr球：

divA

=——

+——

+

————+——+——

divA=——=————称定义式lim

v→0(Ω→M0)

V∫A·ds

V即:lim

v→0(Ω→M0)=▽·A=▽·A=▽·A表达式设:

A=Axex+Ay

ey+Az

ez=Aρ

eρ+Aφeφ+Az

ez=Ar

er+Aφeφ+AθeθM0散度推导，以直坐标为例：设:

A=Axex+Ay

ey+Az

ez

∫A·ds

∵=∫

=Axdydz+Aydxdz+Azdxdy

由奥氏公式：

Ax

Ay

Az

xyz

(——+——+——)dV=∫

Ax

Ay

Az

xyz

=

(——+——+——)VM0由中值定理：——

=

(——+——+——)上式两端同除以V：

Ax

Ay

Az

V

xyzM0对上式取极限：

Ax

Ay

Az

V

xyz——

=

(——+——+——)=divA(M0)M0lim

v→0(Ω→M0)常数∵M0为任意确定点故可不表现出来，即：divA(M0)→divA

Ax

Ay

Az

xyz

∴divA=——+——+——证毕dS=dydzex+

dxdzey+dxdyez1、矢量场A的散度是一个标量；性质共有4条

散度2、散度定理(矢量场的高斯定理)：

=∫A·ds

=∫▽·AdV

sΩ

该公式表明了区域Ω中场A与边界S上的场A之间的关系3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度；▽·A=ρvρ—通量源密度即：4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；a)若Φ＞0则▽·A＞0，闭合面内有产生矢量线的正源c)若Φ=0则▽·A=0处处成立，闭合面内无源A为无源场A为有源场b)若Φ＜0则▽·A＜0，闭合面内有吸收矢量线的负源(divA=0

无源）(divA

＞0正源)(divA

＜0负源)Ω公式散度▽·C

=0;▽·(u

A)=u▽·A+A·▽u例：已知求：▽·EE=———erq4per2OrqPS解：

选择球坐标，则Ar

=——

Aθ

=Aφ=0q4per2

Ar

Aθ

Aφ2Ar

ctgθAθ

rr

θrsinθ

φ

rr球：

divE

=——

+——

+

————+——+——

∵∴▽·E=-——+——=0

q2per3q2per3r≠0当r=0或≠0时：

=∫E·ds

s=∫▽·EdV

Ω=∮——r2sinθdφdθ=q/eq4per2∴▽·E=(q/e)

δ(r)∫(q/e)δ(r)dV

Ω=1、环量（）环量的意义：①若矢量场环量为零，则矢量场是无涡漩的流动；②反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反映了矢量场漩涡源的分布情况。

在矢量场A的空间中，取一有向闭合路径l，矢量A沿l的积分(即矢量A的环路积分)称环量

。即：∫A·dl

=2、环量面密度（rotn

A）lM0enS∫A·dlS

lim⊿S→0(l

→M0)在场矢量A空间中，围绕空间某点M0取一面元

S，其边界曲线为l，面元法线方向为en

。则A沿l的环量对面元S的变化率，称A在点M0处沿en方向的环量面密度，用符号rotn

A表示。rotn

A=————即：环量面密度意义:表示矢量场A

在点M0

处沿en方向的漩涡源密度旋度旋度:是一矢量,反映矢量场A在场某点处环量对面积的最大变化率旋度环量环量面密度辅助量定义若在矢量场

A(M)中某一点M0处，存在这样的一个矢量R，矢量场

A(M)由点M0处沿R方向所得的环量对面积的变化率(即环量面密度)达最大且正好等于模R，则称矢量R为矢量场A(M)

在点M0处的旋度，用符号rotA表示。由该定义可得如下关系：R=rotA=——eR

=————

eR

=ReRlim⊿SR→0(l

→M0)⊿

⊿SR∫A·dl

⊿SR

即:lim⊿SR→0(l→M0)旋度

显然，在场矢量A空间中，围绕空间某点M0可取很多个边界曲线为l、面元为

S、法线方向各异(如图)的平面。在点M0处沿不同en方向上的环量面密度(rotn

A)各不相同，但有一个可达最大。由此定义式可导出更具实用意义的表达式enM0旋度表达式设:

A=Axex+Ay

ey+Az

ez=Aρ

eρ+Aφeφ+Az

ez=Ar

er+Aφeφ+Aθeθ=

▽×

A

Az

Ay

Ax

Az

Ay

Axyz

z

x

xy

=(——-——)

ex

+(——-——)

ey+(——-——)ez直：

rotA=R=

———exeyez

xyzAxAy

Az柱：rotA=R=

———=

▽×

Aeρρejez

ρ

φ

zAρ

ρAφ

Az球：

rotA=R=

———=

▽×

Aerreθrsinθej

rθ

φAr

rAθ

rsinθ

Aφ1—ρ1——r2sinθ推导，以直坐标为例：设:

A=Axex+Ay

ey+Az

ez

由斯托克斯公式：

Az

Ay

Ax

Az

Ay

Axyz

z

x

xy(——-——)dydz

+(——-——)dxdz

+(——-——)dxdy

=∫⊿S∫A·dl

∵=∫

=Axdx+Aydy+Azdz

；ll

Az

Ay

Ax

Az

Ay

Axyz

z

x

xy令：B=(——-——)

ex

+(——-——)

ey+(——-——)ez又∵

dS=dydzex+

dxdzey+dxdyez；及中值定理，∴

=∫B·dS=∫B·en

dS=

B·en⊿S⊿S⊿SM0上式两端同除以⊿S并且取极限：M0∫A·dl

⊿S

lim⊿SR→0(l→M0)———=B·en=B·en

∵M0为任意确定点故可不表现出来。环量面密度若要达到最大，则必须沿eB方向变化，即en=

eBmaxlim⊿SR→0(l→M0)———=B∫A·dl

⊿SB

两端同乘eB：且与定义比较：eBeB可得：B=R=▽×A=rotA旋度1、矢量场A的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数；旋度性质共有6条

3、∵由前面的推导已知：rotn

A=rotA·en这表明：旋度R在任一方向en上的投影(即分量)等于该方向的环量面密度矢量场A的环路积分等于该矢量场A的旋度通过该曲面的通量6、若rotA

=0

处处成立，A为无旋场。力线呈无旋涡的流动状态，力线有头尾。此时，

=0即A的环路积分与路经无关故又称保守场。

若rotA

≠0这表：A为有旋场，其力线无头无尾。4、▽·▽×A≡0即▽×A

=0或≠0该式均成立。2、斯托克斯定理:这表明：∫A·dl

=∫▽×A·dS

sl5、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度；即：▽×A=JJ——旋涡源密度该式说明旋度场是一无源场，但不能说明旋度场是否存在。公式▽×(CA

)=C▽×A;▽×C

=0;▽×(uA)=u▽×A－A×▽u旋度例：已知求：▽×HH=——eφ=Hφ

eφ

I2pρI

▽×

H

=

———=0eρ

ρejez

ρ

φ

z0

ρHφ

01—ρ解：

选择柱坐标ρ≠0=I=∫I

δ(x)δ(y)ez

·dSs∴▽×H=I

δ(x)δ(y)ez

∫H·dl

∫▽×H·dS

=sl∵当ρ

=0或≠0时：

亥姆霍兹定理：在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。它可表现为：矢量场(F)=

梯度场(Fs)+旋度场(Fl)=-▽u+

▽×A梯度场是一有源无旋场：Fs的力线是有头有尾的发散线旋度场是一无源有旋场：Fl的力线是无头无尾的闭合线

u——梯度场的标量位

A——旋度场的矢量位∵▽×▽u

≡0

，▽·▽×A≡0即：梯无旋，旋无散∴▽·▽u

≠0

，▽×▽×A≠0这说明：讨论：①场、源、度的关系

=∫Fs·dl=0lΦ=∫Fs·ds=

Qs▽·

Fs=ρv

=∫Fl·dl=

i

lΦ=∫Fl·ds=

0s▽×Fl=J∵矢量场(F)=

梯度场(Fs)+旋度场(Fl)=-▽u+

▽×A⑴∵▽·▽×A≡0则：▽·F

=-▽·▽u讨论：②怎样判断场F的属性对式⑴两边求散度：▽·F

=-▽·

▽u+

▽·

▽×A若：F存在，则▽·F

=0

说明F中没有梯度场但必有旋度场若▽·F

≠0

说明F中有梯度场但不一定有旋度场结论▽×F=0

，F为纯梯度场▽·F

≠0，▽×F≠0，F为合成场▽·F

=0，F为纯旋度场若：F存在，则▽×F=0

说明F中没有旋度场但必有梯度场若▽×F

≠0

说明F中有旋度场但不一定有梯度场=0≠0∵▽×▽u

≡0

则：▽×F

=

▽×▽×A

对式⑴两边求旋度：▽×F

=-▽×▽u+

▽×▽×A=0≠0亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义是研究电磁场的一条主线矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度场域边界条件一般场电磁场电荷密度

：产生梯度场电流密度J：产生