高中大学数学公式归纳

高等数学公式

导致公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

.2uI一〃2x,2du

sinx=----cosx=-------7,〃=,dx=-----

1+w2\+u22l+〃2

一些初等函数：两个重要极限:

..sinxi

双曲正弦:而:="一'"lim----=1

2X

双曲余弦:'lim(l+-)r=e=2.718281828459045...

2XTRX

c/jr0'—"一"

双曲正切:如=四二^——

chx，'+e'

arshx=ln(x+ylx2+1)

archx=±ln(x+Vx2-1)

.1,\+x

arthx=­In----

2\-x

三角函数公式:

导公

我

翻$incostgcig

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

2700-a-cosa-sinactgatga

2700+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

・和差角公式:•和差化积公式:

・倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos-cr-l=1-2sin-ar=cos-or-sin-asin3a=3sina-4sin'a

「cig2a-1cos3a=4cos'a-3cosa

ctg2a=--------

2c7ga3tga-tg^a

，g3a=

，02吆a1—3伙2a

吆2a=­

17ga

•半角公式:

a,1-coscrl-cosasinasma

tg一=±J----------=----------=----------

2V1+cosasina1+cosaI-cosa

•正弦定理：口•余弦定理：口

・反三角函数性质：口

高阶导数公式----莱布尼兹(Leibniz)公式:

严二

*=0

=/%+加…+…+〃5-1>一(〃-2+1)/1)网

2;k\

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f\^(b-a)

柯西中值定理二」垣

F(b)-F(a)尸©

当F(x)=x时，柯西中值定理就曷立格朗日中值定理c

曲率:

弧微分公式：ds=yj\+y,2dx,其中y'二，ga

平均曲率石=殁公々:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MM弧长。

A.v

da二

M点的曲率：K=lim

&$->0\sds7a+y2)3

直线：K=0;

半径为4的圆：K=-.

a

定积分的近似计算:

矩形法：j/(x)n与:(％+»+…+)

a

梯形法:J/(x)x勺+舔)+y+…+K./

a

b>_

抛物线法：j/(x)x瓦:[00+X,)+2(乃+为+…+>«-2)+4(y+力+…+>'„.1)]

定积分应用相关公式:

功：W=F-s

水压力：F=p-A

引力：尸=%警#为引力系数

r~

函数的平均值^二六J/(x)公

均方根后f\t)di

空间解析几何和向量代数:

222

空间2点的距离：J=|A/,M21=^x2-x.)+(y2-y.)+(z2-z.)

向量在轴上的投影。门"9=网-0如娓矶〃轴的夹角。

Pr/“回+22)=PrM+Pr必2

互4=同•卜COS。=〃也+4也+生/，是一个数量

两向量之间的夹角c。se="也+〃生+〃也

iJk

c=cixb=4V/，同=同卡卜山/例：线速度：v=vvtxr.

bbb.

向量的混合积伍位］=(”5)々=么byb.=卜＞：如同cosc,a为锐角时,

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中万二

2、一般方程：A工+B.y+Cz+O=0

3、截距世方程士+上十三=1

ahc

平面外任意一点到该湎的距离：d」4%+B.%+C二。+。|

“2+—+。2

x=x()+mt

空间直线的方程=%二匕&=三亘=/,其中8={肛〃,〃};参数方程/〉=%+而

mnp

z=z0+m

二次曲面：

r2v2Z2

1、椭球面工+2+二7=1

a~b-c~

2、抛物面二：+f=z,(p,4同号)

2P2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面二+2-马=1

a~b~c~

双叶双曲面［+三=1(马鞍面)

a~b-c

多元函数微分法及应用

人业人八,3z,3z,.du.du,du.

全微分：dz=—dx-\--dydu=—dx+—dy+—dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Mxdz=八。,y)Av+fy(x,y)Av

多元复合函数的求导法

dz_dzdudzdv

dtdudt+dvdt

dz_dzdudzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]

dxdudxdvdx

当〃=u(x,y),V=v(.r,)：)时,

.du.du..dv.dv.

au=——ax+-dyav=——ax+——dy

dxdydx

隐函数的求导公式：

隐函数P(x,y)=0,—,

dxFydxexrvdyFyax

隐函数F(x,y,z)=0,—=-^-,dz_Fy

办一F二

dxF:

\dF_6F

F(x,y,u,v)=O

隐函数方程组《j-G(F,G)=&=居

G(X,}\M,V)=()d(u,v)国迎G“

\dudv

为1F@

13(£G)a-v=--a(95

&J,-

axa(W

J0(x,V)9

§<1a-v15a(Fg

9f9

-=--&=--

JXJ9

u”

a>a(?/y)

微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法:

设={.（/，%）=0，令：九（/，%）=人，&（%，%）=8,fyy（xo,yo）=c

…>。叱荔黑黑

则JAC—8?<0时，无极值

AC-/。=。时,不确定

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标:

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

设/（X，》）在L上连续，▲的参数方程为［"=9"）,（a<t<夕）,则：

y=，⑺

P____________

(x=t

J/(x,y)ds=J710⑺"")]J"2⑺+⑺df(a<B)特殊情况《

Lay=9。)

第二类曲线积分(对型示的曲线积分)：

设L的参数方程为P二°"),则：

P

JP(x,Q(x,y)dy=J{+(?[*)"(/)/(/)]dt

La

两类曲线积分之间的关系:JPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos6Ms,其中。和仅分别为

LL

L上积分起止点处切向邺方向角。

格林公式(孚-^-)dxdy=jPdx+Q")格林公式：Jj(黑—)dxdy=JPdx+Qdy

DOX

当尸=—),,0=x,即:学—孚=渊，得至外的面积:A=JJdxdy=—Jxdy-ydx

oxdyD2L

・平面上曲线积分与路彳疣关的条件：

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,)，)，Q(x,)，)在G内具有一阶连续偏导数且乎一笠。注意奇点，刻(0,0),应

exdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在华=半时，。公+。办才是二元函数g,y)的全微分，其中：

exdy

(v.y)

〃(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常i2x0=y0=0。

(和允)

曲面积分：

高斯公式:

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

rra/?dQ」/PdRa。ppe

[1z(----^)dXyJdz+(--—)dzdx+(----------)dxdy=JPdx+Qdy+Rdz

ydydzdzdx3yr

dydzdzdxdxdxcos«cos。cos/

上式左端又可写成gddd=JJddd

ydxoydzydxdz

PQRPQR

空间曲线积分与路径赛的条件符等祟卷

旋度：「。病=二——

dxdydz

PQR

向量场，沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=jA-7ds

rr

常数项级数：

等比数歹打+4+/+…+/"="q

i-q

等差数歹心+2+3+…+〃

2

调和级数4+L+J.+…+_L是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法一一根植审敛法（柯西步则法）：

伊<1时，级数收敛

设：p=lim相7，则”>1时，级数发散

0=1时，不确定

2、比值审敛法：

p<l时，级数收敛

设：0=hm巴电，则p>l时，级数发散

〃一xoTJ

"夕=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+u2+…+%;1皿3；存在，则收敛；否则舜如

绝对收敛与条件收敛:

(1)W|+〃2■1---卜〃“+…，其中%为任意实数；

⑵周+MI+同+•,•+”1+,,,

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则租1)为条件收敛级数。

调和级数》;发散，而2斗4攵敛；

级数:■收敛；

P级数俨T臂

乙M时收敛

事级数：

函数展开成幕级数：

一些函数展开成哥级数：

2…。〃一〃+1)„

(Z1+x)=\+mx+------x+•••+-----------------x+••(-1<X<1)

2!〃！

/Y5v2«-'

sinx=x----1-----•,+(-1)M1--------1•…(-co<x<4-00)

3!5!(2〃-1)!

欧拉公式：

cosx=

e'x=cosx+/sinx或

sinx=

三角级数：

o>

/(0=A)+£Asin(〃初+%)+Z(c‘〃cosnx+%sinnx)

n=l2n=]

其中，aQ=〃4，an=Ansin(pn,bn=Ancos。”，(ot=xo

正交性4/山文工05小山2.%(：052工-出山3(：00心-任意两个不同项的乘掷2|-乃,乃］

上的积分=0。

傅立叶级数:

/(x)=—+(*cosnx十b“sin周期=21

2«=1

IA

-

an=j/(x)cosnxdjc(/?=0,1,2•••)

其中一万

1万

/?”=—J/(x)sin/tveZv(〃=1,2,3…)

乃-R

।117T,111+…=二（相加）

1+—r+r+1H---7H---7H---T

3252T2232426

111/111+•..=江■（相减）

尹+不十记…工一级+铲—不12

正弦级数：a=0,b=—j/(x)sinordv

nn〃=1,2,3…/(x)=£/?”sin/u是奇函数

兀o

余弦级数：2=0,=—jf(x)cosnxdx

n=0.1,2…f(x)=—+^ancos/u是偶函数

冗o

周期为的周期函数的傅立叶级数:

/*)=B+£(*cos^+dsin^>周期=2/

2〃=]II

(72=0,1,2•••)

5=123…)

微分方程的相关概念:

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程生+P(x)y=0(x)

dx

/当。(X)=OB71"，为齐次方程，y