2025年山东省数学（文科）（专升本）考试真题及答案

2025年山东省数学（文科）（专升本）考试练习题及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^33x+1，下列结论正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.f(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减

D.f(x)在(∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增

答案：D

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，解得x=±1。当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增。

2.设函数g(x)=x^2+kx+1，若g(x)在x=1处取得最小值，则实数k的值为（）

A.2

B.2

C.0

D.4

答案：B

解析：g'(x)=2x+k，令g'(x)=0，解得x=k/2。由于g(x)在x=1处取得最小值，所以k/2=1，解得k=2。

3.已知函数h(x)=x^2+2ax+b(a,b为常数)的图像上存在两个不同的点P、Q，使得∠POQ=90°，其中O为坐标原点。则a的取值范围是（）

A.a>2

B.a<2

C.a>1

D.a<1

答案：B

解析：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，根据题意有x1x2+y1y2=0。将h(x)代入，得x1x2+(x1^2+2ax1+b)(x2^2+2ax2+b)=0。整理得a^22a1<0，解得a<2。

4.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的逆矩阵A^1等于（）

A.[[2,1],[3,1]]

B.[[2,1],[3,1]]

C.[[1,2],[3,4]]

D.[[1,2],[3,4]]

答案：A

解析：A的行列式为1×42×3=2，A^1=(1/(2))[[4,2],[3,1]]=[[2,1],[3,1]]。

5.设向量组α1,α2,α3线性无关，β1=2α1α2+3α3，β2=α1+2α2α3，β3=α1+α2+2α3，则下列结论正确的是（）

A.向量组β1,β2,β3线性相关

B.向量组β1,β2,β3线性无关

C.β1,β2,β3可以表示为α1,α2,α3的线性组合

D.β1,β2,β3不能表示为α1,α2,α3的线性组合

答案：B

解析：设x1β1+x2β2+x3β3=0，代入β1,β2,β3的表达式，得(x1+x2x3)α1+(2x1+2x2+x3)α2+(3x1x2+2x3)α3=0。由于α1,α2,α3线性无关，所以x1+x2x3=0，2x1+2x2+x3=0，3x1x2+2x3=0。解得x1=x2=x3=0，故向量组β1,β2,β3线性无关。

6.若直线L：x2y+3=0与圆C：(x1)^2+(y+2)^2=16相交于A、B两点，则线段AB的中点坐标为（）

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(3,4)

D.(4,3)

答案：B

解析：圆心C(1,2)，半径r=4。直线L的斜率为1/2，所以AB的斜率为2。设AB的中点为M(x,y)，则CM的斜率为(y+2)/(x1)。由于CM垂直于AB，所以斜率的乘积为1，即(y+2)/(x1)×(2)=1。解得x=2，y=1。

7.设函数g(x)=x^33x^2+2x+1，下列结论正确的是（）

A.g(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.g(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.g(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减

D.g(x)在(∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增

答案：C

解析：g'(x)=3x^26x+2，令g'(x)=0，解得x=1/3或x=1。当x<1/3时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当1/3<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增。

8.若函数f(x)=x^2+kx+1在x=1处取得最小值，则实数k的取值范围是（）

A.k>0

B.k<0

C.k≥0

D.k≤0

答案：C

解析：f'(x)=2x+k，令f'(x)=0，解得x=k/2。由于f(x)在x=1处取得最小值，所以k/2=1，解得k=2。因此，k≥0。

9.设函数g(x)=x^2+2x+1，下列结论正确的是（）

A.g(x)在(∞,+∞)内单调递增

B.g(x)在(∞,+∞)内单调递减

C.g(x)在(∞,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减

D.g(x)在(∞,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增

答案：A

解析：g'(x)=2x+2，当x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增。因此，g(x)在(∞,+∞)内单调递增。

10.设向量组α1,α2,α3线性无关，β1=3α12α2+α3，β2=2α1+3α2α3，β3=α1+α2+3α3，则下列结论正确的是（）

A.向量组β1,β2,β3线性相关

B.向量组β1,β2,β3线性无关

C.β1,β2,β3可以表示为α1,α2,α3的线性组合

D.β1,β2,β3不能表示为α1,α2,α3的线性组合

答案：B

解析：设x1β1+x2β2+x3β3=0，代入β1,β2,β3的表达式，得(3x1+2x2x3)α1+(2x1+3x2+x3)α2+(x1x2+3x3)α3=0。由于α1,α2,α3线性无关，所以3x1+2x2x3=0，2x1+3x2+x3=0，x1x2+3x3=0。解得x1=x2=x3=0，故向量组β1,β2,β3线性无关。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.函数f(x)=x^33x+1在x=1处的导数为________。

答案：0

解析：f'(x)=3x^23，代入x=1，得f'(1)=33=0。

12.若函数g(x)=x^2+kx+1在x=1处取得最小值，则k的取值为________。

答案：0

解析：g'(x)=2x+k，令g'(x)=0，解得x=k/2。由于g(x)在x=1处取得最小值，所以k/2=1，解得k=0。

13.设函数h(x)=x^2+2ax+b(a,b为常数)的图像上存在两个不同的点P、Q，使得∠POQ=90°，其中O为坐标原点。则a的取值范围是________。

答案：a<2

解析：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，根据题意有x1x2+y1y2=0。将h(x)代入，得x1x2+(x1^2+2ax1+b)(x2^2+2ax2+b)=0。整理得a^22a1<0，解得a<2。

14.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的行列式值为________。

答案：2

解析：A的行列式为1×42×3=2。

15.设向量组α1,α2,α3线性无关，β1=2α1α2+3α3，β2=α1+2α2α3，β3=α1+α2+2α3，则向量组β1,β2,β3的线性相关性为________。

答案：线性无关

解析：设x1β1+x2β2+x3β3=0，代入β1,β2,β3的表达式，得(x1+x2x3)α1+(2x1+2x2+x3)α2+(3x1x2+2x3)α3=0。由于α1,α2,α3线性无关，所以x1+x2x3=0，2x1+2x2+x3=0，3x1x2+2x3=0。解得x1=x2=x3=0，故向量组β1,β2,β3线性无关。

16.若直线L：x2y+3=0与圆C：(x1)^2+(y+2)^2=16相交于A、B两点，则线段AB的长度为________。

答案：8

解析：圆心C(1,2)，半径r=4。直线L的斜率为1/2，所以AB的斜率为2。设AB的中点为M(x,y)，则CM的斜率为(y+2)/(x1)。由于CM垂直于AB，所以斜率的乘积为1，即(y+2)/(x1)×(2)=1。解得x=2，y=1。所以CM=√[(21)^2+(1+2)^2]=√2。根据勾股定理，AB=2√(r^2CM^2)=2√(162)=8。

17.设函数g(x)=x^33x^2+2x+1，则函数g(x)的极值点为________。

答案：x=1

解析：g'(x)=3x^26x+2，令g'(x)=0，解得x=1/3或x=1。当x<1/3时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当1/3<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增。所以x=1是g(x)的极值点。

18.若函数f(x)=x^2+kx+1在x=1处取得最小值，则实数k的取值范围是________。

答案：k≥0

解析：f'(x)=2x+k，令f'(x)=0，解得x=k/2。由于f(x)在x=1处取得最小值，所以k/2=1，解得k=2。因此，k≥0。

19.设函数g(x)=x^2+2x+1，则函数g(x)的极值点为________。

答案：x=1

解析：g'(x)=2x+2，令g'(x)=0，解得x=1。当x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增。所以x=1是g(x)的极值点。

20.设向量组α1,α2,α3线性无关，β1=3α12α2+α3，β2=α1+2α2α3，β3=α1+α2+3α3，则向量组β1,β2,β3的线性相关性为________。

答案：线性无关

解析：设x1β1+x2β2+x3β3=0，代入β1,β2,β3的表达式，得(x1+x2x3)α1+(2x1+2x2+x3)α2+(x1x2+3x3)α3=0。由于α1,α2,α3线性无关，所以x1+x2x3=0，2x1+2x2+x3=0，x1x2+3x3=0。解得x1=x2=x3=0，故向量组β1,β2,β3线性无关。

三、解答题（每题20分，共60分）

21.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间。

解：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，解得x=±1。当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以f(x)的单调递增区间为(∞,1)和(1,+∞)，单调递减区间为(1,1)。

22.已知函数g(x)=x^2+kx+1，若g(x)在x=1处取得最小值