四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二上学期期末调研试题数学

四川省字节精准教育联盟上学期高二教学质量期末调研数学试题一、单选题1．已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（

）A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值C．有且仅有3个值 D．有无数多个值2．若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．点的运动轨迹为双曲线的一部分C．若，，则D．不存在点，使得取得最小值3．已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（

）A．15° B．30° C．60° D．75°4．春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是A． B． C． D．5．圆：与圆：的位置关系是（

）A．内含 B．外切 C．内切 D．相交6．直四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知O为坐标原点，抛物线C：（）的焦点为，过点F作斜率为2直线与抛物线交于，两点（点位于第一象限）.过点A作准线的垂线，的角平分线所在直线方程为（

）A． B．C． D．8．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，……，若该数列的前项和为，则满足的整数的个数为（

）A．29 B．30 C．31 D．32二、多选题9．甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（

）A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8B．若直线与恒有公共点，则的取值范围为C．若为上一点，，则的最小值为D．若上存在点，使得，则的取值范围为11．已知双曲线上的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，P为双曲线C上任意一点，判断以下选项正确的是（

）A．若，则或B．的内心I到y轴的距离为2C．当点P不在x轴上时，直线PA与PB的斜率之积为D．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为三、填空题12．如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体的表面积为.

13．已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为.14．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为.四、解答题15．已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为.(1)若点，为圆上一动点，求的最小值；(2)若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值.16．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.(1)求小明答4道题后积分小于5的概率；(2)设小明答5道题后积分为，求；(3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则，，证明：为等比数列.17．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥外接球的表面积.18．已知数列满足，．(1)求证：数列为等比数列；(2)求满足的正整数的最大值；(3)若，求数列的前项和．19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；步骤：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点．现对这些折痕所围成的图形进行建模研究．若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若过点且不与轴垂直的直线与曲线交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．(3)直线与曲线相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交曲线于两点，坐标原点位于直线之间，记的面积分别为，求的取值范围．

参考答案题号12345678910答案ACDABADBADCD题号11答案BCD1．A【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因，则有，解得，令，可得，此时满足的只有成立；当时，显然，①若是奇数，则，显然不满足；②若是偶数，则，且，即，可得即不成立；综上所述：满足的数值有且仅有1个值，即.故选：A.2．C【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；由且，解得：，∴，则，∴，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设△的内切圆的半径为，则，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正确；若与关于y轴对称，则且，而，∴，故要使的最小，只需三点共线即可，易知：，故存在使得取最小值，D错误.故选：C.3．D【详解】因为直线，所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为；因为与直线垂直，所以设的方程为，又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为，如图，

所以，故选：D4．A【详解】个同学，随机任选个城市，基本事件的总数为.个同学分成三组的方法有两种：或者.当按照进行分组并排到三个城市的方法数有种，当按照进行分组并排到三个城市的方法数有种.故“三个城市都有人选”的事件有种.所以三个城市都有人选的概率是，故选A.5．B【详解】：，圆心，半径，：，圆心，半径，，，，圆：与圆：的位置关系是外切.故选：B.6．A【详解】如图，设，直四棱柱中，所以，，，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：A7．D【详解】因为抛物线C：（）的焦点为，抛物线C的方程为.由题意可知直线的方程为：，联立方程组，消去整理得，解方程得点的纵坐标或（舍去），所以，点.由题可知，设的角平分线所在直线倾斜角为，则由角平分线的性质及平行线的性质可知，即，解得或（舍去）.由点斜式方程可知的角平分线所在直线方程为，化简整理得.故选：D.8．B【详解】由题记第一组数为:1，个数为1，和为1，最后一个数为第1项，；第二组数为:1，2，个数为2，和为，最后一个数为第项，；第三组数为:1，2，4，个数为3，和为，最后一个数为第项，；第四组数为:1，2，4，8，个数为4，和为，最后一个数为第项，；；第组数为:1，2，4，8，，，个数为，和为，最后一个数为第项，，因式所以由可知，从13开始计数，因为，，第9组的数为:1,2,4,8,16,32,64,128,256，即所以要满足，则，，故n的个数为个.故选：B.9．AD【详解】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则，所以，，，所以，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，，故C错误；.故选：AD.10．CD【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为，但焦点不一定在轴上，故A错误；对于选项B：因为直线过定点，则，即，又因为，且，所以的取值范围为，故B错误；对于选项C：若，即椭圆，设，可得，当时，，故C正确；对于选项D：若，则，当位于短轴顶点时，最大，此时，可知，即，当时，由，解得；当时，由，解得；综上所述：的取值范围为，故D正确；故选：CD．11．BCD【详解】A：由双曲线的定义可知，因为，所以解得或，由，所以双曲线上的点到右焦点的距离最小值为，所以不成立，故本选项不正确；B：根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设的内切圆与三边相切的切点分别为，由圆的切线长定理可得：，由双曲线的定义，得，有，即，而，解得，由上可知，所以点重合，显然，所以内心I的横坐标为，故本选项正确；C：设，则有，，直线PA与PB的斜率之积为，所以本选项正确；D：双曲线的渐近线方程为，设，则有，所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为：，所以本选项正确，故选：BCD12．【详解】设正方体的棱长为，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，.于是，即，即，即.同理，，，从而，由，得，其中，即，解得，所以正方体的表面积.故答案为：13．/【详解】，则，其周期为，而，即最多3个不同取值，集合有且仅有两个元素，设，则在中，或，或，又，即一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，于是有，即有，解得，不相等的两项为，故，.故答案为：.14．【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，由可得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心,半径过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为则故答案为：15．(1)0(2)【详解】（1）设圆心坐标为，则半径，圆心到轴的距离为，，得，圆的方程为.设，则，又，，又，，，即的最小值为.（2）（2）设，，联立，消去得，由，得，，.由，知，即，，，得，满足，.16．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题，故所求概率为.（2）设小明答对的题数为，则他答错的题数为，，由题意知，，.（3）当小明的积分为时，若小明接下来一题答对，则积分变为，若小明接下来一题答错，则积分变为，由全概率公式有，整理可得，又，为等比数列.17．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）∵底面，平面，平面，∴，在矩形中，∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，则得证：（2）则，.设，则，∴，∴，∴.设平面的法向量为，则，取，得，∴平面的一个法向量为.易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，∵，∴，∴平面与平面夹角的余弦值为.（3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，则，解得，∴三棱锥外接球的表面积为18．(1)证明见解析(2)99(3)【详解】（1）证明：因为，，所以，，所以，又，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）得，所以，记，所以，因为，所以为递增数列，，，所以使得成立的正整数的最大值为99．（3）由（2）得，记的前项和为，则，上式两边同乘以，得，两式相减，得，所以．19．(1)