2019年《南方新课堂高考总复习》数学（理科）阶段检测卷（三）

阶段检测卷(三)(数列)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．数列eq\f(1,3)，eq\f(1,8)，eq\f(1,15)，eq\f(1,24)，…的一个通项公式为()A．an＝eq\f(1,2n＋1)B．an＝eq\f(1,n＋2)C．an＝eq\f(1,nn＋2)D．an＝eq\f(1,2n－1)2．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N)，而数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．93．(2017年江西南昌二模)《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．在这个问题中的中间两节容量和是()A．1eq\f(61,66)升B．2升C．2eq\f(3,22)升D．3升4．(2017年湖北孝感一模)一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝5，且a1，a2，a5成等比数列，则此样本数据的中位数是()A．6B．7C．8D．95．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于26．在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5a6A．3B．6C．9D．367.eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)的值为()A.eq\f(n＋1,2n＋2)B.eq\f(3,4)－eq\f(n＋1,2n＋2)C.eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)))D.eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)8．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，经计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，观察上述结果，可推测出一般结论()A．f(2n)>eq\f(2n＋1,2)B．f(n2)≥eq\f(n＋2,2)C．f(2n)≥eq\f(n＋2,2)D．以上都不对二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.10．(2014年新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．11．已知在等差数列{an}中，前n项的和为Sn，S6>S7>S5，则：①数列的公差d<0；②S11>0；③S12<0；④S13<0；⑤S8>S6；⑥S8>S3.其中正确的是______________．(只填序号)三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．12．(14分)(2017年广东广州二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1a2a3＝8，S2n＝3(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nSn，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和Tn.13．(20分)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N)．(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．

阶段检测卷(三)1．C解析：观察知an＝eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,nn＋2).2．B解析：∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列．∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.∵a7＝22－21＝1>0，a8＝22－24＝－2<0，∴当n＝7时，数列{an}的前n项和最大．3．C解析：设竹九节由上往下的容量分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，由题意可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))所以问题中的中间两节容量和为a5＋a6＝2a1＋9d＝eq\f(47,22)＝2eq\f(3,22).故选C.4．C解析：因为a1，a2，a5成等比数列，所以aeq\o\al(2,2)＝a1a5.设公差为d，因为a3＝5，所以(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)．解得d＝2或d＝0(舍)．∴a4＝5＋2＝7，a5＝5＋4＝9.样本容量为8时，中位数为eq\f(a4＋a5,2)＝8.故选C.5．D解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.6．C解析：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝eq\f(a1＋a10×10,2)＝30，∴a5＋a6＝a1＋a10＝6.∴eq\r(a5a6)≤eq\f(a5＋a6,2)＝3，a5a6≤9.7．C解析：∵eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).故选C.8．C解析：f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＝f(22)>eq\f(2＋2,2)，f(8)＝f(23)>eq\f(3＋2,2)，f(16)＝f(24)>eq\f(4＋2,2)，f(32)＝f(25)>eq\f(5＋2,2)，由此可推知f(2n)≥eq\f(n＋2,2).故选C.9．2n＋1－2解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.10．A解析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：学生A城市B城市C城市甲去过没去去过乙去过没去没去丙去过可能可能可以得出结论乙去过的城市为A.11．①②④⑥解析：S6>S7>S5⇒a6>0，a7<0，a6＋a7>0，则a7－a6＝d<0，①正确；S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6>0，②正确；S12＝eq\f(12a1＋a12,2)＝eq\f(12a6＋a7,2)>0，③错误；S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7<0，④正确；S8－S6＝a7＋a8<0，⑤错误；S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6>0，⑥正确．12．解：(1)因为数列{an}是等比数列，所以a1a3＝aeq\o\al(2,2).因为a1a2a3＝8，所以aeq\o\al(3,2)＝8.解得a2＝2.因为S2n＝3(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，所以S2＝3a1，即a1＋a2＝3a1.因为a2＝2，所以a1＝1.因为等比数列{an}的公比为q＝eq\f(a2,a1)＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)因为等比数列{an}的首项为a1＝1，公比q＝2，所以Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.因为bn＝nSn，所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n.所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)．设Pn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.则2Pn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.所以Pn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋24＋…＋2n)＝(n－1)2n＋1＋2.因为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2－eq\f(nn＋1,2).13．解：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0.解得a1＝eq\f(1,2).当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)))2－a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)))－a2＝0.解得a2＝eq\f(1,6).(2)由题意知，(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理，得SnSn－1－2Sn＋1＝0.解得Sn＝eq\f(1,2－Sn－1).由(1)得，S1＝a1＝eq\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝e