《建筑力学与结构（第2版）》-第六章

第六章平面体系几何组成分析第一节几何不变体系与几何可变体系第二节平面体系的自由度和约束第三节几何不变体系的基本组成规则第四节几何组成分析方法第五节静定结构与超静定结构返回第一节几何不变体系与几何可变体系一、几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，任意荷载作用后体系的位置和形状均能保持不变，这样的体系称为几何不变体系，如图６-２所示。二、几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，即使在微小的荷载作用下，也会产生机械运动而不能保持其原有形状和位置的体系称为几何可变体系，如图６-３所示。下一页返回第一节几何不变体系与几何可变体系三、几何组成分析的目的结构必须是几何不变体系。在设计结构和选取其计算简图时，首先必须判别它是不是几何可变的。这种判别工作称为体系的几何组成分析。对体系进行几何组成分析可达到如下目的：（１）判别某体系是否为几何不变体系，以决定其能否作为工程结构使用。（２）研究并掌握几何不变体系的组成规则，以便合理布置构件，使所设计的结构在荷载作用下能够维持平衡。上一页下一页返回第一节几何不变体系与几何可变体系（３）确定结构是否有多余联系，即判断结构是静定结构还是超静定结构，以选择分析计算方法。在进行几何组成分析时，由于不考虑材料的应变，因而组成结构的某一杆件或者已经判明几何不变的部分，均可视为刚体，平面的刚体又称刚片。上一页返回第二节平面体系的自由度和约束一、自由度自由度是指确定体系位置所需要的独立坐标（参数）的数目。自由度也可以说是一个体系运动时，可以独立改变其位置的坐标的个数。要确定平面内一个点的位置，需要有x、y两个独立的坐标［图６-４（ａ）］，因此一个点在平面内有两个自由度。确定一个刚片在平面内的位置则需要有三个独立的几何参变量。如图６-４（ｂ）所示，在刚片上先用x、y两个独立坐标确定A点的位置，再用倾角φ确定通过A点的任一直线AB的位置，这样，刚片的位置便完全确定了。因此，一个刚片在平面内有三个自由度。地基也可以看作一个刚片，但这种刚片是不动刚片，它的自由度为零。下一页返回第二节平面体系的自由度和约束由此可知，体系几何不变的必要条件是自由度等于或小于零。二、约束能减少体系自由度的装置称为约束。减少一个自由度的装置即为一个约束，并以此类推。工程中常见的约束有以下几种。１.链杆如图６-５（ａ）所示，刚片AB上增加一根链杆AC的约束后，刚片只能绕A转动和铰A绕C点转动。原来刚片有三个自由度，现在只有两个。因此，一个链杆相当于一个约束。上一页下一页返回第二节平面体系的自由度和约束２.铰支座如图６-５（ｂ）所示，铰支座A可阻止刚片AB上、下和左、右移动，只能产生转角φ，因此铰支座可使刚片减少两个自由度，相当于两个约束，亦即相当于两根链杆。３.简单铰凡连接两个刚片的铰称简单铰，简称单铰。如图６-５（ｃ）所示，连接刚片AB和AC的铰A。原来刚片AB和AC各有三个自由度，共六个自由度。用铰连接后，如果认为AB仍为三个自由度，AC则只能绕AB转动，即AC只有一个自由度，所以自由度减少为四个。因此，简单铰可使自由度减少两个，即一个简单铰相当于两个约束，或者说相当于两根链杆。上一页下一页返回第二节平面体系的自由度和约束４.固定端支座图６-５（ｄ）所示固定端，不仅阻止刚片AB上、下和左、右移动，也阻止其转动。因此，固定端支座可使刚片减少三个自由度，相当于三个约束。５.刚性连接如图６-５（ｅ）所示，AB和AC之间为刚性连接。原来刚片AB与AC各有三个自由度，共六个自由度。刚性连接后，如果认为AB仍有三个自由度，AC则既不能上、下和左、右移动，也不能转动，可见，刚性连接可使自由度减少三个。因此，刚性连接相当于三个约束。上一页返回第三节几何不变体系的基本组成规则规则一：二元体规则一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。由两根不共线的链杆连接一个结点的构造，称为二元体。二元体规则是分析一个点与一个刚片之间应当怎样连接才能组成无多余约束的几何不变体系。如图６-６（ａ）所示，在铰接三角形中，将BC看作刚片Ⅰ，AB、AC看作连接A点和刚片Ⅰ的两根链杆，体系仍然是几何不变体系。由此得出规律：一个点和一个刚片用两根不共线的链杆相连，组成几何不变体系，且无多余约束。下一页返回第三节几何不变体系的基本组成规则图６-６（ｂ）中，A点通过两根不共线的链杆与刚片Ⅰ相连，组成几何不变体系，其中第三根链杆是多余约束。图６-６（ｃ）中①、②两根链杆共线，体系为瞬变体系，它是可变体系中的一种特殊情况。推论：在一个平面杆件体系上增加或减少若干个二元体，都不会改变原体系的几何组成性质。规则二：两刚片规则两刚片用不在一条直线上的一个铰（B铰）和一根链杆（AC链杆）连接，则组成无多余约束的几何不变体系。上一页下一页返回第三节几何不变体系的基本组成规则两刚片规则是分析两个刚片如何连接才能组成几何不变体系，且没有多余约束。此规则也可由铰接三角形推得。如图６-７（ａ）所示，将AB、BC分别看作刚片Ⅰ、Ⅱ，将AC看作链杆①，体系仍然为几何不变体系。由此可见：两刚片用一个铰和一根链杆相连，且链杆与此铰不共线，组成几何不变体系，且无多余约束。推论：两刚片用既不完全平行也不交于一点的三根链杆连接，则组成无多余约束的几何不变体系。一个单铰相当于两根链杆约束，所以两根链杆可以代替一个铰，因此得出图６-７（ｂ）所示的图形是几何不变的。上一页下一页返回第三节几何不变体系的基本组成规则在图６-７（ｃ）中，链杆①、②、③平行，体系为几何可变体系。在图６-７（ｄ）、（ｅ）中，连接两刚片的三根链杆相交于一点，也是几何可变体系。规则三：三刚片规则三刚片用不在一条直线上的三个铰两两连接，则组成无多余约束的几何不变体系。三刚片规则是分析三个刚片的连接方式。图６-８（ａ）中，铰接三角形中的AB、BC、AC可分别看作刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，由此得三刚片规则。上一页下一页返回第三节几何不变体系的基本组成规则图６-８（ｂ）所示的体系中，两根链杆中的交点称为实铰，两链杆延长线的交点称为虚铰。虚铰和实铰的作用是一样的。因此，图６-８（ｂ）中的体系是几何不变体系，且无多余约束。推论：三刚片分别用不完全平行也不共线的两根链杆两两连接，且所形成的三个虚铰不在同一条直线上，则组成无多余约束的几何不变体系。上一页返回第四节几何组成分析方法一、几何组成分析步骤几何组成分析的依据是本章前述的几个简单组成规则，只要能正确和灵活地运用它们，便可分析各种各样的体系。几何组成分析的步骤如下：（１）首先直接观察出几何不变部分，把它当作刚片处理，再逐步运用规则。（２）拆除二元体，使结构简化，便于分析。（３）对于折线形链杆或曲杆，可用直杆等效代换。下一页返回第四节几何组成分析方法二、几何组成分析举例说明（一）能直接观察出的几何不变部分的几何组成分析１.与基础相连的二元体图６-９（ａ）所示的三角桁架，是用不在同一直线上的两链杆将一点和基础相连，构成几何不变的二元体。对图６-９（ｂ）所示桁架作几何组成分析，可知其中ABC部分是由链杆①、②固定于C点而形成的几何不变二元体。在此基础上，分别用链杆（③，④）、（⑤，⑥）、（⑦，⑧）组成二元体，依次固定于D、E、F各点。其中每对链杆均不共线，由此组成的桁架属无多余约束的几何不变体系。上一页下一页返回第四节几何组成分析方法２.与基础相连的一刚片试对图６-１０所示的体系进行几何组成分析。AB杆与基础之间用铰A和链杆１相连，组成几何不变体系，可看作一个扩大了的刚片。将BC杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆BC、２、３和扩大刚片相连，组成无多余约束的几何不变体系。３.与基础相连的两刚片图６-１１所示的三铰刚架，是用不在一条直线上的三个铰，将两刚片和基础三者之间两两相连构成几何不变体系。上一页下一页返回第四节几何组成分析方法（二）拆除二元体进行几何组成分析图６-１２所示的体系，假如BB′以下部分是几何不变的，则①、②两杆为二元体，可先将二元体部分去掉，只分析BB′以下部分。当去掉由①、②链杆组成的二元体后，由于体系左、右完全对称，因此可只分析半边体系的几何组成。现取左半边进行分析，将AB当作刚片，由③、④链杆固定于D点组成刚片Ⅰ。将CD当作刚片Ⅱ，则刚片Ⅰ、Ⅱ和基础由不在一条直线上的三个铰A、C、D两两相连构成几何不变体系。由此整个体系为无多余约束的几何不变体系。上一页下一页返回第四节几何组成分析方法（三）利用等效代换方法进行几何组成分析图６-１３所示的体系，设BDE可作为刚片Ⅰ。折杆AD也是一个刚片，但由于它只用两个铰A、D分别与地基和刚片Ⅰ相连，其约束作用与通过A、D两铰的一根链杆完全等效，如图６-１３（ａ）中虚线所示，所以可用链杆AD等效代换折杆AD。同理可用链杆CE等效代换折杆CE。于是图６-１３（ａ）所示体系可由图６-１３（ｂ）所示体系等效代换。因此，刚片Ⅰ与地基用不交于同一点的三根链杆①、②、③相连，组成无多余约束的几何不变体系。上一页下一页返回第四节几何组成分析方法下面对图６-１４所示的体系进行几何组成分析。分别将图６-１４中的AC、BD、基础分别视为刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以铰A相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ用铰B连接，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ是用CD、EF两链杆相连，相当于一个虚铰O，则连接三刚片的三个铰A、B、O不在一直线上，符合三刚片规则，由此可以判定图６-１４所示的体系为无多余约束的几何不变体系。上一页返回第五节静定结构与超静定结构用来作为结构的杆件体系，必须是几何不变的，而几何不变体系又可分为无多余约束的和有多余约束的。因此，结构也可分为无多余约束的结构和有多余约束的结构两类。一、静定结构无多余约束的几何不变体系是静定结构。其静力特性为：在任一荷载作用下，支座反力和所有内力均可由平衡条件求出，且其值是唯一和有限的。图６-１５所示的简支梁是无多余约束的几何不变体系，其支座反力和杆件内力均可由平衡方程全部求解出来，因此简支梁是静定的。下一页返回第五节静定结构与超静定结构二、超静定结构有多余约束的几何不变体系是超静定结构，结构的超静定次数等于几何不变体系的多余约束个数。其静力特性是：仅由平衡条件不能求出其全部内力及支座反力，即部分支座反力或内力可由平衡条件求出，但仅由平衡条件求不出全部。图６-１６所示的连续梁是一个有多余约束的几何不变体系，其四个支座反力不能利用三个平衡方程全部求解出来，更无法计算全部内力，所以是超静定结构。上一页返回图６-２几何不变体系返回图６-３几何可变体系返回图６