十袋石头测试题目及详细答案

十袋石头测试题目及详细答案

一、选择题（每题5分，共30分）1.有十袋石头，其中九袋石头每块重量是10克，只有一袋石头每块重量是9克。现在有一个能精确称重的秤，最少称几次能找出重量为9克的那袋石头？A.1次B.2次C.3次D.4次2.从十袋石头中随机取出一袋，已知这袋石头可能是9克每块的那袋，也可能是10克每块的。现在从中拿出一块石头称重为9克，那么这袋石头是9克每块那袋的概率是多少？A.1/2B.1/9C.1/10D.9/103.把十袋石头分成两组，每组五袋。将两组分别放在秤上称重，发现一组比另一组轻10克，那么轻的那组中一定有9克每块的石头吗？A.一定有B.一定没有C.不一定有D.无法确定4.有一个人想通过依次从每袋石头中拿出不同数量的石头来称重判断哪袋是9克每块的。他从第一袋拿1块，第二袋拿2块，以此类推，第十袋拿10块。如果称出的总重量比全部是10克每块时少了7克，那么第几袋是9克每块的石头？A.第7袋B.第3袋C.第1袋D.第4袋5.若有十一袋石头，其中十袋每块10克，一袋每块9克，用上述从每袋拿不同数量石头称重的方法，最少称几次能找出9克每块的那袋？A.1次B.2次C.3次D.4次6.十袋石头，有一袋是9克每块，其余是10克每块。把石头重新编号1-10后，从第1袋取1块，第2袋取2块，第3袋取4块，第4袋取8块，第5袋取16块，第6袋取32块，第7袋取64块，第8袋取128块，第9袋取256块，第10袋取512块。称出总重量为10230克，那么9克每块的石头是第几袋？A.第1袋B.第2袋C.第③袋D.第4袋二、填空题（每题5分，共20分）1.十袋石头，九袋10克每块，一袋9克每块。如果用天平称重，把十袋分成两组放在天平两端，轻的那组再分成两组，依次类推，至少称（）次能找出9克每块的那袋。2.从十袋石头中任取一袋，已知有一袋是9克每块，其余是10克每块，取出一块称重为9克，那么这袋石头是9克每块那袋的概率计算方法是（）。3.把十袋石头按顺序编号1-10，从第1袋取1块，第2袋取2块，……，第10袋取10块，若总重量比全部10克每块时少3克，那么（）袋是9克每块的。4.十袋石头，有一袋9克每块，其余10克每块。若从第1袋取1块，第2袋取3块，第3袋取9块，第4袋取27块，第5袋取81块，第6袋取243块，第7袋取729块，第8袋取2187块，第9袋取6561块，第10袋取19683块，称出总重量为29523克，9克每块的石头是第（）袋。三、解答题（每题15分，共30分）1.请详细说明如何通过依次从每袋石头中拿出不同数量的石头（如从第一袋拿1块，第二袋拿2块，……，第十袋拿10块）称重来判断哪袋是9克每块的石头，写出推理过程。2.有十袋石头，其中九袋石头每块重量是10克，只有一袋石头每块重量是9克。现在有一个只能称一次重量的秤，如何找出9克每块的那袋石头，说明你的方法及理由。答案与解析1.选择题答案-1.A-解析：把十袋石头依次编号1-10，然后从第1袋取1块，第2袋取2块，……，第10袋取10块，一起称重。如果全部是10克每块，总重量应该是\((1+2+3+…+10)×10=550\)克。称出的实际重量与550克比较，少几克就是第几袋是9克每块的石头，所以最少称1次就能找出，选A。-2.D-解析：设事件A为“拿出的这袋石头是9克每块的”，事件B为“拿出的一块石头是9克”。先求\(P(A)=\frac{1}{10}\)，\(P(\overline{A})=\frac{9}{10}\)，\(P(B|A)=1\)，\(P(B|\overline{A})=0\)。根据贝叶斯公式\(P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}=\frac{\frac{1}{10}×1}{\frac{1}{10}×1+\frac{9}{10}×0}=\frac{1}{10}÷(\frac{1}{10}+0)=\frac{9}{10}\)，选D。-3.C-解析：轻的那组比另一组轻10克，有可能是这组中有一袋是9克每块的石头，也有可能是这组中多袋石头的重量组合比另一组少了10克，所以不一定有9克每块的石头，选C。-4.A-解析：设第\(n\)袋是9克每块的石头，从第一袋拿1块，第二袋拿2块，……，第十袋拿10块，称出的总重量比全部是10克每块时少了\(n\)克（因为每块少1克），已知少了7克，所以第7袋是9克每块的石头，选A。-5.B-解析：把十一袋石头依次编号1-11，从第1袋取1块，第2袋取2块，……，第11袋取11块，一起称重。如果全部是10克每块，总重量应该是\((1+2+3+…+11)×10=660\)克。称出的实际重量与660克比较，少几克就是第几袋是9克每块的石头，所以最少称2次就能找出，选B。-6.C-解析：设第\(n\)袋是9克每块的石头，从第1袋取\(q^{0}\)块，第2袋取\(q^{1}\)块，……，第10袋取\(q^{9}\)块（这里\(q=2\)），称出总重量为\(M\)克。全部是10克每块时总重量为\(S=\sum_{i=0}^{9}10×2^{i}\)克，少的重量为\(n\)克（因为每块少1克），即\(S-M=n\)。计算可得\(S=10×(1+2+2^{2}+…+2^{9})=10×\frac{1×(1-2^{10})}{1-2}=10230\)克，已知\(M=10230\)克，少了3克，所以第3袋是9克每块的石头，选C。2.填空题答案-1.3-解析：把十袋石头分成两组放在天平两端，轻的那组再分成两组，依次类推，第一次分成两组，第二次把轻的那组再分成两组，第三次把轻的那组中的两袋分别放在天平两端，轻的那袋就是9克每块的那袋，所以至少称3次。-2.\(\frac{1}{10}÷(\frac{1}{10}+0)=\frac{9}{10}\)-解析：设事件A为“拿出的这袋石头是9克每块的”，事件B为“拿出的一块石头是9克”。先求\(P(A)=\frac{1}{10}\)，\(P(\overline{A})=\frac{9}{10}\)，\(P(B|A)=1\)，\(P(B|\overline{A})=0\)。根据贝叶斯公式\(P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}=\frac{\frac{1}{10}×1}{\frac{1}{10}×1+\frac{9}{10}×0}=\frac{1}{10}÷(\frac{1}{10}+0)=\frac{9}{10}\)。-3.3-解析：从第1袋取1块，第2袋取2块，……，第10袋取10块，若总重量比全部10克每块时少3克，因为每块少1克，所以少几克就是第几袋是9克每块的，所以第3袋是9克每块的。-4.3-解析：设第\(n\)袋是9克每块的石头，从第1袋取\(3^{0}\)块，第2袋取\(3^{1}\)块，……，第10袋取\(3^{9}\)块，称出总重量为\(M\)克。全部是10克每块时总重量为\(S=\sum_{i=0}^{9}10×3^{i}\)克，少的重量为\(n\)克（因为每块少1克），即\(S-M=n\)。计算可得\(S=10×\frac{1×(1-3^{10})}{1-3}=295240\)克，已知\(M=29523\)克，少了3克，所以第3袋是9克每块的石头。3.解答题答案-1.设从第一袋拿1块，第二袋拿2块，……，第十袋拿10块。如果全部石头每块都是10克，那么总重量应该是\((1+2+3+…+10)×10=550\)克。称出实际重量，用550克减去实际重量得到少的克数，少几克就是第几袋是9克每块的石头。例如称出重量是543克，\(550-543=7\)克，所以第7袋是9克每块的石头。因为每块9克的石头比10克少1克，少的重量就对应着是9克每块石头所在的袋数。-2.把十袋石头依次