重庆2026年高三三模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页数学数学共4页，满分150分．时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在数组1，2，2，4，5中加入3，6两个数之后，不变的统计量是（

）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差2．已知复数，则（

）A． B． C． D．3．已知集合或，则（

）A． B． C． D．4．若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线的离心率，焦点到渐近线的距离为，则实数的值为（

）A． B． C． D．6．已知数列的前项和，若，则的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．147．若是奇函数，则的值域为（

）A． B．C． D．8．在平面中，，且，若，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．一个不透明的袋子中装有10个球，其中6个白球，4个红球，除颜色外其他都相同，现甲、乙、丙三人依次从袋中不放回摸出一个球，则（

）A．甲摸到红球的概率为 B．乙摸到红球的概率为C．甲、乙都摸到红球的概率为 D．乙、丙都摸到红球的概率为10．已知函数，则（

）A． B．C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递减11．已知均为正实数，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在展开式中，常数项的值为_____．13．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，则球的表面积为_____．14．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正数的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，若，，则实数_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，分别为内角的对边，已知，．(1)若，求；(2)若的周长为7，求的面积．16．在正三棱柱中，已知分别是棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．已知数列满足，对且，．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和．18．已知椭圆的短轴长为2，点为椭圆上异于短轴端点的一点，且点与短轴两顶点连线的斜率之积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为椭圆上不重合的三点，且的外接圆圆心为．（i）求外接圆半径的取值范围；（ii）求面积的最大值．19．调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用．欧拉证明了调和级数，其中被称为欧拉常数，为误差．当足够大时，我们近似的认为，在本题中，调和级数均取这个近似值．(1)证明：当时，；(2)利用（1）证明；(3)某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者．如果不聘用，面试者会马上转去其它公司．假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人，面试官决定采用以下策略：选择前个候选人作为观察期，记录其中最佳者（记为）．在后续候选人中，选择第一个比更优的候选人（记为），并继续寻找第二个比更优者（记为）．如果找到满足条件的、，则录取、，剩下的候选者不再进行面试．如果后续候选人中没有比更好的两个人，则招聘失败．已知有个候选人来参加面试，估计取多少时，招聘到最优秀的两个人的概率最大？（参考数据：）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】分别计算原数组和加入3、6后的新数组的四个统计量，对比判断.【详解】原数组（排序后），共个数据；加入后新数组（排序后），共个数据，对于A：原平均数；新平均数，平均数改变，A错误；对于B：原数组共个数据，中位数为第个数据，即；新数组共个数据，中位数为第个数据，即，中位数改变，B错误；对于C：原数组中出现次，其余数都只出现次，众数为；新数组中依然只有出现次，其余数都只出现次，众数仍为，众数不变，C正确；对于D：原数组方差，新数组方差，D错误.2．A【分析】根据复数的乘法法则运算求解.【详解】．3．D【详解】因为，所以．4．C【分析】依题意找到成立的等价条件，再由充要条件的定义即可判断.【详解】因，对于，，当且仅当时等号成立.则由可得，由可得，故“”是“”的充要条件.故选：C.5．C【分析】分析可知，，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得出的值.【详解】因为，则，故，双曲线的渐近线方程为，即，双曲线的焦点为，双曲线的焦点到渐近线的距离为，故．6．B【分析】利用与关系求出数列的通项公式求解即可.【详解】由,当时，当时，，当时，满足条件；所以数列的通项公式为则，解得，因为，所以．7．B【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可.【详解】函数的定义域为，由是奇函数即，所以，解得，则，因为且，所以，，则，即，可得，所以函数的值域为．8．A【分析】建系，确定轨迹，进而可求解.【详解】因为，即，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系：，，C(0,4)，由得：点轨迹为以为圆心，半径的圆：，设，由得：消去参数，整理得点轨迹为直线：，是直线上动点到圆上动点的距离，其最小值为圆心到直线的距离减去圆半径，由点到直线距离公式：，所以.9．ABC【分析】根据不放回抽样中先后摸球概率相等可判断AB选项，利用古典概型公式可求解CD选项.【详解】甲、乙、丙依次从袋中不放回的摸出一个球，则每个人摸到红球的概率，AB正确；甲乙都摸到红球的概率p=4×3乙丙都摸到红球的概率为6×4×3+4×3×210×9×810．BC【分析】在函数的定义域内取特殊值排除A项；利用函数的图象平移翻折变换，结合正弦函数的图象性质逐一判断其余选项即可.【详解】对于A，因函数的定义域为，当时，，而，即，故不成立，A错误；对于B，因函数的图象可由的图象向下平移，保持轴上方部分不变并将轴下半部分向上翻折得到，则的最大值可在处取得，所以成立，B正确；对于C，因在上单调递增且在轴的下方，故图象翻折后在上单调递减，故正确；对于D，因在上单调递增且在轴的上方，则在上单调递增，故D错误．11．BC【分析】利用基本不等式,对数的运算性质以及和角的正切公式,结合正切函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A,因，，即,当且仅当时等号成立,则,故A错误；对于B,2a+2对于C,由A项得,则，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D,由，得，即tana+tan2b当1−tanatan2b>0时，可得整理得，故D错误．12．60【详解】通项为，令得，此时常数项的值为．13．【分析】根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积.【详解】由题意有PB2=B即外接球半径，表面积．14．2【分析】分别过作准线的垂线交准线于点，结合抛物线的定义即可求解.【详解】如图，分别过作准线的垂线交准线于点，则有，由，所以有，即，即，即又，即所以，即，所以．15．(1)，(2)或．【分析】（1）利用余弦定理化简即可求解；（2）分和两种情况讨论即可求解.【详解】（1）由余弦定理与条件a2+①若，可得，由且解得，，；②若，则，不合题意；综上，；（2）①当时，由及，得，所以，因为,所以此时的面积S=12②当时，则有，由，得，则，此时的面积S=1216．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明（2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值.【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则BE1//EC1在与中，易得，D1E1//A1B1因为平面，平面，所以平面，同理，，因为平面，平面，所以平面，又因平面，故平面平面.（2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向，过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，因，，则，即令，则，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)证明见解析(2)S【分析】（1）作差可得，再结合等比数列的定义可证得数列是等比数列；（2）由（1）求得，利用累加法可求得数列的通项公式，可得出，记数列的前项和为，则，利用错位相减法可求出的表达式，即可得出的表达式.【详解】（1）当时，，当时，，有，整理有，即有，由a2−a1−1=2（2）由（1）知，，即，当时，，……，，相加有，所以有，当时也成立，从而，记数列的前项和为，则，，①可得，②①②，，所以，故.18．(1)(2)（i）；（ii）．【分析】（1）得出短轴端点，利用kPB（2）（i）设，与椭圆方程联立，得3x2−8x+8−4r（ii）设圆与椭圆相交于点，利用对称性设，，并求出其值，令t=3r2−2，利用求面积，通过函数的单调性求最值.【详解】（1）由题意得，设，短轴端点，由题意kPB1⋅k则椭圆方程为；（2）（i）设的外接圆，则圆与椭圆有三个交点，联立，可得3x2−8x+8−4r令，由二次方程的实根分布可知：（等号不能同时成立），解得23<r2故外接圆半径的取值范围为；（ii）设圆与椭圆相交于点，因为点在轴上，由对称性不妨设，方程3x2−8x+8−4令t=3r2则，将其代入中得，，显然，所以面积为，令，因为，在上单调递增，且其均为正值，所以在上单调递增，则，故面积的最大值为．

19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）分别构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出、，即可证得结论成立；（2）令，由（1）得，可得：，由此得出，，，利用不等式的可加性以及调和级数可证得结论成立；（3）把候选人的能力由低到高记为，其中，为最优秀的两人．先按“第二个最优秀者出现的位置”分类，求出成功概率，再用调和级数近似和导数分析确定最大概率对应的．【详解】（1）令，则，当时，，即在上单调递减，故，即；令，则，当时，，即在上单调递增，故，即.综上所述，当时，.（2）令，由（1）得，可得：，，，，叠加可得，，由调和级数可得，，由，可得，得，故.（3）设共有个候选人，不妨把他们按能力由低到高记为，其中与是最优秀的两人．设最优秀的两人中较晚出现的一个在第位．若策略最终成功，则必有，且另一个最优秀者在第位到第位之间，共有种位置选择．对固定的和另一个最优秀者的位置，两个最优秀者占据这两个位置的概率为．在第位到第位中，除去