电路基础 课件 第六章 正弦交流电路

正弦交流电路CONTENTS目录正弦电压和电流正弦量的相量表示法单一参数交流电路功率因数的提高阻抗和导纳阻抗（导纳）的串并联正弦交流电路的功率6.1正弦电压和电流设有一个正弦电压，其瞬时值（InstantaneousValue）数学表达式为：式中Um、ω

和Ψu称为正弦交流电的三要素。Part01Part02正弦量每交变一次便变化了2π弧度，角频率是指每秒内变化的弧度数，单位是rad/s（弧度/秒），即Part03周期、频率和角频率6.1.1周期、频率和角频率正弦量变化一次所需的时间称为周期（Period），用T来表示，单位为s（秒）。每秒内变化的次数称为频率（Frequency），用f来表示，单位是Hz（赫兹）。周期、频率和角频率周期、频率和角频率正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写的字母表示，如i、u、e分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值（MaximumValue），用带下标m的大写字母表示，如Im、Um、Em分别表示电流、电压及电动势的幅值。Part01Part02利用热效应相等的原则规定一个用来计量交流电大小的量，称为有效值（EffectiveValue）。其定义为：在一个周期内，如果交流电电流i通过一个电阻产生的热能与某直流电流I在相同的时间内通过同一电阻产生的热能相等，则这一直流电流为交流电电流的有效值。可得Part036.1.2瞬时值、幅值和有效值瞬时值、幅值和有效值瞬时值、幅值和有效值瞬时值、幅值和有效值正弦交流电有效值与最大值的关系为解：（1）解：（2）写出下列正弦量的有效值。（1）（2）例6-1Part01Part02Part036.1.2瞬时值、幅值和有效值例如，设两个同频正弦量电压u、电流i分别为Part01Part02若φ>0，则说明电压在相位上超前于电流，即电压比电流先到达最大值；若φ<0，则说明电压在相位上滞后于电流，即电流比电压先到达最大值。Part036.1.3相位、初相位和相位差相位、初相位和相位差相位、初相位和相位差相位、初相位和相位差两个同频正弦量的相位差等于它们相位相减的结果。如设表示电压u和电流i之间的相位差，则有解：由题意可知故可见i1比i2在相位上超前135°。已知两个同频率的正弦电流和，试分析它们的相位关系。例6-2Part01Part02Part036.1.3相位、初相位和相位差6.2正弦量的相量表示法复数有多种表示形式，设复平面内有一个复数A，其模为r，辐角为ψ，这个复数A可以有四种表示方法：Part01Part02（3）指数式（4）极坐标式A=r∠ψ

Part03复数6.2.1复数的基本概念复数的表示方法（1）代数式

A=a+jb

式中，，a、b分别称为复数A的实部和虚部。（2）三角式A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)A=rejψ复数的表示方法（1）加减运算两个复数进行加减运算等于两个复数的实部和虚部分别进行加减运算。设两个复数分别是A=a+jb和B=c+jd，则

A±B=(a±c)+j(b±d)Part01Part02Part03复数的运算复数的运算（2）乘除运算复数的乘除运算用指数形式和极坐标形式比较方便，即两个复数相乘，其模等于两个复数的模的乘积，其辐角等于两个复数的辐角之和；6.2.2复数的运算复数的运算（2）乘除运算复数的乘除运算用指数形式和极坐标形式比较方便，两个复数相除，其模等于两个复数的模的商，其辐角等于两个复数的辐角之差。解：（1）求复数的代数和可以用代数形式。由已知条件可知则解：（2）求复数的除法可以用指数或者极坐标形式。由已知条件可知则设F1=3-j4，试求（1）

（2）例6-3Part01Part02Part036.2.2复数的运算复数正弦量Part01Part02电流相量图Part036.2.3正弦量与相量正弦量与相量由对比复数和正弦量，引入相量正弦量与相量正弦量与相量最大值相量有效值相量Part01Part02注意：（1）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。（2）相量只能表征正弦量，而不等价于正弦量。（3）同一频率的相量可以画在同一个相量图上，不同频率的相量不能画在同一个相量图上。Part03正弦量与相量相量图最大值相量和有效值相量正弦量与相量6.2.3正弦量与相量解：（1）解：（2）试写出下列正弦量的有效值相量。（1）（2）例6-4Part01Part02Part036.2.3正弦量与相量解：由KCL可知，i=i1+i2，其相量表达式为：因为则：解：可得电流相量图如图所示。已知电路如图所示，已知和，试求总电流i，并画出电流相量图。例6-5Part01Part02Part036.2.3正弦量与相量6.3单一参数交流电路由线性元件和独立电源组成的电路称为线性电路。只要电路的其他元件是线性的，电路的响应与激励之间就存在线性关系。Part01Part02齐次定理Part03单一电阻元件的交流电路6.3单一参数交流电路单一电感元件的交流电路单一电容元件的交流电路叠加定理电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.1单一电阻元件的交流电路电压和电流相量图电压与电流的关系电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.1单一电阻元件的交流电路

设i=Imsin

ωt

可得u=Ri=ImRsin

ωt=Umsin

ωt电压与电流的关系

结论：（1）电压与电流的频率相同。（2）电压与电流同相位（相位差φ=0）。（3）电压与电流的大小关系为（4）电压与电流的相量关系为电压与电流的关系（1）瞬时功率p瞬时功率（InstantaneousPower）是指瞬时电压与瞬时电流的乘积。Part01Part02Part03功率6.3.1单一电阻元件的交流电路

（2）平均功率P工程上常取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电路所消耗的功率，即平均功率（AveragePower），又称为有功功率（ActivePower）。把一个100Ω的电阻元件接在频率为50Hz、电压为10V的正弦电源上，试问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为1kHz，这时电流为多少？解：因为电阻与频率无关，所以在电源电压有效值保持不变的情况下，其电流的有效值也保持不变，即例6-6功率电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.2单一电感元件的交流电路电压和电流相量图电压与电流的关系电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.2单一电感元件的交流电路

设i=Imsin

ωt

可得电压与电流的关系

结论：（1）电压与电流的频率相同。（2）电压超前电流90°。（3）电压与电流的大小关系为（4）电压与电流的相量关系为电压与电流的关系（1）瞬时功率pPart01Part02Part03功率6.3.2单一电感元件的交流电路

（2）有功功率P功率

（3）无功功率Q由上边对电感元件的瞬时功率分析可知，电感不消耗能量，它只是与电源进行能量的互换，互换功率的规模通常用瞬时功率的最大值来衡量，由于这部分功率没有被消耗掉，故称为无功功率（ReactivePower），用Q表示，单位为乏（var）。功率6.3.2单一电感元件的交流电路解：解：当f=50Hz时，XL=2πfL=2×3.14×50×0.1Ω=31.4Ω，则

解：当f=5kHz时，XL=2πfL=2×3.14×5000×0.1Ω=3140Ω，则由此可知，在电压一定的情况下，频率越高，则通过电感元件的电流越小。把一个0.1H的电感元件接在频率为50Hz电压为10V的正弦电源上，试问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5kHz的正弦电源上，这时电流为多少？例6-7Part01Part02Part03电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.3单一电容元件的交流电路电压和电流相量图电压与电流的关系电路图Part01Part02Part03电压与电流的关系6.3.3单一电容元件的交流电路

设u=Umsin

ωt

可得电压与电流的关系

结论：（1）电压与电流的频率相同。（2）电流超前电压90°。（3）电压与电流的大小关系为（4）电压与电流的相量关系为电压与电流的关系（1）瞬时功率pPart01Part02Part03功率6.3.3单一电容元件的交流电路

（2）有功功率P功率

（3）无功功率Q由上述对电容元件的瞬时功率分析可知，电容不消耗能量，它只是与电源之间进行能量的互换，根据无功功率的定义，它的无功功率Q表示为功率6.3.3单一电容元件的交流电路解：当f=50Hz时，则

解：当f=5kHz时，则由此可知，在电压一定的情况下，频率越高，则通过电容元件的电流越小。把一个10μF的电容元件接在频率为50Hz、电压为10V的正弦电源上，试问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5kHz，这时电流为多少？例6-8Part01Part02Part036.4阻抗和导纳Part01Part02Part03电路图6.4.1阻抗根据基尔霍夫电压定律可列出上述各参数用相量表示，可得电压与电流的关系电路相量图如下电压与电流的关系Part01Part02Part03电路图6.4.1阻抗可得电抗阻抗电压与电流的关系四种形式：阻抗的表示形式Part01Part02Part03电路图6.4.1阻抗总阻抗欧姆定律相量形式交流电路欧姆定律阻抗三角形Part01Part02Part03阻抗三角形6.4.1阻抗阻抗电压和电流相量图6.4.1阻抗解：由已知条件，将各参数由时域转化到频域，可得

解：所以电路如图所示，已知R1=3Ω，R2=8Ω，C1=2mF，C2=10mF，L=0.2H，试计算当电路频率ω=50rad/s时，阻抗电路总阻抗Zin。例6-9Part01Part02Part03Part01Part02Part03电路图6.4.2导纳定义端口电流相量与电压相量之比为该电路的导纳，用Y表示，即式中，G为导纳的电导分量；B为导纳的电纳分量；为导纳的模；为导纳角。导纳定义导纳三角形Part01Part02Part03导纳6.4.2导纳导纳模型例6-10电路如图所示，计算其等效导纳Geq。解：Part01Part02Part03互为倒数关系6.4.3阻抗和导纳的变换设则导纳为可得阻抗→导纳等效变换关系式等效变换图Part01Part02Part036.4.3阻抗和导纳的变换设则导纳为可得阻抗→导纳等效变换关系式等效变换图设则阻抗为可得导纳→阻抗等效变换关系式6.4.3阻抗和导纳的变换解：电路阻抗为

解：电路的导纳为电路如图所示，已知R=3Ω，X=4Ω，试求电路的导纳Y。例6-11Part01Part02Part03Part01Part02Part036.4.4基尔霍夫定律的相量形式在正弦交流电路中，沿任意闭合路径，各支路电压降相量之和恒等于零。基尔霍夫电压定律在正弦交流电路中，流入或流出任意一个结点的各支路电流相量之和恒等于零。基尔霍夫电流定律6.4.4基尔霍夫定律的相量形式解：根据已知条件，设则电阻和电容串联，可得电流为

解：电容电压为因此电路如图所示，已知V，R=5Ω，X=0.1Ω，试求uC和i

。例6-12Part01Part02Part036.4.4基尔霍夫定律的相量形式解：方法一：用相量计算。设则

解：所以总电流表读数为10A。所以总电压表的读数为141V。电路如图所示，已知I1=10A，UAB=100V，XL1=10Ω，R=5Ω，XL2=5Ω，试求总电压表和总电流表的读数

。例6-13Part01Part02Part036.4.4基尔霍夫定律的相量形式解：方法二：用相量图分析求解。设则

解：画出其相量图如图所示，由图形中几何关系可得所以总电流表的读数为10A，总电压表的读数为141V。电路如图所示，已知I1=10A，UAB=100V，XL1=10Ω，R=5Ω，XL2=5Ω，试求总电压表和总电流表的读数

。例6-13Part01Part02Part036.5阻抗（导纳）的串并联Part01Part02Part03电路图6.5.1阻抗的串联解：根据KVL得到电压相量方程可得阻抗的串联阻抗的串联解：假设可得也就是说，串联的阻抗Z1和Z2，可以用一个等效的阻抗Z来代替。Part01Part02Part03电路图6.5.1阻抗的串联两个阻抗可知阻抗串联各阻抗分得电压相量与阻抗成正比。阻抗串联分压公式结论如果电路中有n个阻抗串联，则其等效阻抗为：其分压公式为：注意：在计算串联等效阻抗时要注意只能阻抗相加，一般情况下阻抗模不能直接相加。6.5.1阻抗的串联解：根据已知条件：以电流为参考量，则

解：所以|Z|=5Ω，总电压U=10V。电路如图（a）所示，已知R=3Ω，XC1=4Ω，XC2=10Ω，XC3=8Ω，各电压表读数分别为V1=6V，V2=8V，V3=20V，V4=16V，

试分别求|Z|和U的值

。例6-14Part01Part02Part036.5.1阻抗的串联解：根据已知条件：以电流为参考量，则

解：所以|Z|=18Ω，总电压U=36V。电路如图（b）所示，已知R=3Ω，XC1=4Ω，XC2=10Ω，XC3=8Ω，各电压表读数分别为V1=6V，V2=8V，V3=20V，V4=16V，试分别求|Z|和U的值

。例6-14Part01Part02Part03Part01Part02Part03电路图6.5.2阻抗的并联解：根据KCL得到电流相量方程由等效电路可写出阻抗的并联阻抗的并联解：对比上述两式，可得等效阻抗的倒数等于各个并联阻抗的倒数之和。如果用导纳表示，令可得Part01Part02Part03导纳并联6.5.2阻抗的并联如果电路中有n个阻抗并联，则其等效总阻抗倒数等于各阻抗倒数之和，即可知阻抗串联各阻抗分得电压相量与阻抗成正比。结论结论如果是n个导纳并联，总导纳等于各并联导纳之和，即注意：在计算并联等效阻抗时要注意只能阻抗倒数相加，一般情况下阻抗模倒数不能直接相加。两个阻抗并联时的分流关系为可知，阻抗并联支路分得电流相量与支路阻抗成反比，与支路导纳成正比。Part01Part02Part03两个阻抗并联6.5.2阻抗的并联如果为多个阻抗并联，分流公式为分流公式注意在计算并联等效阻抗时注意只能阻抗倒数相加，只有当φ1=φ2的情况下等式成立。其他情况下6.5.2阻抗的并联解：根据已知条件：以电压为参考量，则

解：所以总电流电路如图所示，已知R=4Ω，XL1=4Ω，XL2=4Ω，XL3=4Ω，各电流表读数分别为A1=4A，A2=4A，A3=4A，A4=4A，试分别求|Z|和I的值

。例6-15Part01Part02Part036.5.2阻抗的并联解：根据已知条件：以电压为参考量，则

解：所以总电流电路如图所示，已知R=4Ω，XL1=4Ω，XL2=4Ω，XL3=4Ω，各电流表读数分别为A1=4A，A2=4A，A3=4A，A4=4A，试分别求|Z|和I的值

。例6-15Part01Part02Part036.6正弦交流电路的功率Part01Part02已知一个一端口网络，试求其瞬时功率。解：Part03电路6.6.1瞬时功率分析例6-16设则瞬时功率为正弦稳态电路中的有功功率（RealPower）定义为瞬时功率在一个周期内的平均值，所以有功功率也称为平均功率（AveragePower），用大写字母P表示，即Part01Part02W（瓦特）或kW（千瓦）。Part03定义6.6.2有功功率有功功率D单位式中U、I分别是正弦稳态电路中电压、电流的有效值，φ为电压和电流的相位差，λ又称功率因数角。

称为功率因数，用λ

表示。Part01Part02已知试求其有功功率。解：Part036.6.2有功功率有功功率例6-17（3）电容结论：在正弦稳态电路中，电阻是消耗电能的，因此电阻是耗能元件；电感和电容是不消耗电能的，它们只与外电路进行能量交换，是储能元件。有功功率如果二端网络分别由单个R、L、C元件构成，三种元件的有功功率分别为：（1）电阻（2）电感在正弦稳态电路中，引入无功功率是用于表征负载与电源之间的能量交换情况。无功功率（ReactivePower）用Q表示，其定义式为Part01Part02电阻元件的无功功率恒为零，电感元件的无功功率总是大于零，电容元件的无功功率总是小于零。在电路系统中，电感和电容的无功功率有互补作用，工程上认为电感吸收无功功率，电容发出无功功率，将两者加以区别。因此，无源二端网络的无功功率就是网络中电感元件和电容元件无功功率之和，即Part03定义6.6.3无功功率无功功率结论如果二端网络分别由单个R、L、C元件构成，三种元件的无功功率分别为：（1）电阻（2）电感（3）电容Part01Part02电路如图所示，已知R1=4Ω，R2=3Ω，XC=3Ω，XL=4Ω，试求电路有功功率和无功功率。Part03例6-186.6.3无功功率解：方法一解：方法二视在功率（ApparentPower）来衡量供电设备的最大输出功率，其值等于输出电压与输出电流的有效值乘积，用大写字母S表示，其单位为（V·A）或（kV·A）Part01Part02Part03定义6.6.4视在功率各功率关系功率三角形Part01Part02电路如图所示，把3个负载并联在220V正弦交流电源上。各负载阻抗上的电流和功率分别为阻抗Z1（感性）：P1=4.4kW，I1=44.7A；Z2阻抗（感性）：P2=8.8kW，I2=50A；阻抗Z3（容性）：P3=6.6kW，I3=60A。试求：总有功功率、无功功率、从电源看负载的视在功率、功率因数以及总电流。Part03例6-196.6.4视在功率Part01Part02Part03例6-196.6.4视在功率解：阻抗Z2阻抗Z3解：总无功功率总视在功率解：阻抗Z16.7功率因数的提高在交流电路中，有功功率与视在功率的比值，用字母λ表示。式中，φ是功率因数角。Part01Part02Part03定义6.7功率因数的提高功率因数功率因数是由负载的性质决定的，只有在负载为纯阻性的电路中，功率因数为1，这时电源输出的功率全部转化为有功功率；当负载是感性或容性时，0＜cosφ＜1，电源输出的功率部分转化为有功功率。Part01Part02Part036.7功率因数的提高原因（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗和成本。当电源（设为发电机）的电压U和输送的有功功率P一定时，功率因数cosφ越低，则线路电流I越大，线路和发电机绕组上产生的功率损耗就越大，且输送导线成本越高，发电机的容量大，成本也高。因此，提高功率因数具有很大的经济意义。按照供用电规则，高压供电的工业用户的平均功率因数不得低于0.95，其他