电路基础 课件 第四章 电路基本定理

电路基本定理CONTENTS目录叠加定理与齐次定理替代定理等效电源定理最大功率传输定理4.1叠加定理与齐次定理由线性元件和独立电源组成的电路称为线性电路。只要电路的其他元件是线性的，电路的响应与激励之间就存在线性关系。Part01Part02齐次定理Part03线性电路4.1叠加定理与齐次定理叠加性齐次性叠加定理在线性电路中（可以包含线性元件、独立源和线性受控源），任何一条支路中的电压或者电流，都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）单独作用时，在此支路中所产生的电压或者电流的代数和。Part01Part02Part03叠加定理4.1.1叠加定理电源处理方式所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去（将各个理想电压源短接，即其电动势为零；将各个理想电流源开路，即其电流为零），但是它们的内阻（如果给出的话）仍应计及。例：电路如图所示，试计算电流i1。Part01Part02Part03叠加定理验证4.1.1叠加定理电压源单独作用时，电流。电压源单独作用电流源单独作用时，电流。电流源单独作用=+例：电路如图所示，试计算电流i1。Part01Part02Part03叠加定理验证4.1.1叠加定理=解：用支路电流法求解i1可得Part01Part02Part034.1.1叠加定理电压源单独作用时，电流。解：由电路图可知电压源单独作用求和电流源单独作用时，电流。解：由电路图可得电流源单独作用求和：证毕。Part01Part02Part034.1.1叠加定理（1）叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。（2）在应用叠加定理时，当考虑电路中某一独立源单独作用时，其余不作用的独立源都要置零值。不作用的电压源置零，就要把该电压源的电压置零值，即在该电压源处用“短路”替代；不作用的电流源置零，就要把该电流源的电流置零值，即在该电流源处用“开路”替代。注意事项注意事项（3）对含有受控源的电路，在应用叠加定理时，不能把受控源像独立源一样计算其响应，而应把受控源保留在各个独立源单独作用下的各分电路中。（4）在叠加时必须注意到各个响应分量是代数的叠加，因此要考虑各个响应的参考方向。如果分电路中的电流（或电压）的参考方向与原电路中的电流（或电压）的参考方向相同，求和时取正号，反之取负号。注意事项（5）叠加定理只能用来求解线性电路的电流或电压，不能用来计算功率。因为功率不是电流或电压的一次函数，即功率与电流或电压之间不是线性关系，所以求某一元件上的功率，并不等于各个电源单独作用时在该元件上所产生的功率之和。Part01Part02Part034.1.1叠加定理（1）画出某独立源单独作用的等效电路；（2）计算该独立源单独作用时响应分量；求解步骤注意（3）重复第（1）、（2）步，计算出各独立源单独作用时响应分量；（4）求各响应分量的代数和，即为各独立源共同作用时的响应总量。求解步骤因此，可以灵活地使用叠加定理，可以一次令一个独立源单独作用，也可以一次令几个独立源共同作用。例4-1方法一方法一4.1.1叠加定理解：由电路图可得支路电流方程I1+IS‒I2=0US

‒I1R1‒I2R2=0解：带入参数可得结果电路如图所示，已知US=10V，

IS=5A，R1=2Ω，R2=3Ω。试求电流I1和I2。支路电流法求解例4-1方法二方法二4.1.1叠加定理解：解：电路如图所示，已知US=10V，IS=5A，R1=2Ω，R2=3Ω。试求电流I1和I2。电压源单独作用电流源单独作用最终可得：叠加定理求解例4-24.1.1叠加定理解：由图可得电路如图所示，已知uS=20V，iS=2A，R1=8Ω，R2=20Ω，R3=4Ω，id=4i1A。试用叠加定理求解电路中的电压u。电压源单独作用电压源单独作用叠加定理求解解：则例4-24.1.1叠加定理解：由图可得解：求解可得则最后根据叠加定理得到电路如图所示，已知uS=20V，iS=2A，R1=8Ω，R2=20Ω，R3=4Ω，id=4i1A。试用叠加定理求解电路中的电压u。电流源单独作用电流源单独作用叠加定理求解Part01Part02Part034.1.2齐次定理在线性电路中，当所有激励（独立电压源和独立电流源）同时增大或缩小K倍（K为实常数）时，则电路的响应（电压或者电流）也将同样地增大或缩小K倍。齐次定理注意此定理只适用于线性电路。所谓激励是指独立电源，不是受控源。注意另外，必须当所有激励同时增大或缩小K倍时，电路的响应才能增大或缩小同样的K倍。例4-3倒推法4.1.2齐次定理解：对于本例题采用到推法更容易，假设电流i5=1A

，则有电压源u5应为解：根据齐次定理可知可得i5=0.5A。有一个T形电阻网络如图所示，已知uS=40V，R1=10Ω，R2=20Ω，R3=10Ω，

R4=20Ω，R5=20Ω。试求电流i5。例4-4齐次定理4.1.2齐次定理解：（1）根据齐次定理，电路中的所有激励源都变化为原来的‒1倍，响应也变化为原来的‒1倍，有u=2×(-1)=-2V。电路如图所示，N

为不含独立源的线性电阻网络。当uS=12V，i5=4A时，u=2V。试求（1）当uS=-12V，iS=-4A时的电压u；（2）当uS=-3V，iS=-1A时的电压u。解：（2）根据齐次定理，电路中的所有激励源都变化为原来的‒0.25倍，响应也变化为原来的‒0.25倍，有u=2×(-0.25)=-0.5V。例4-5齐次定理4.1.2齐次定理解：（1）由叠加定理可知，全部独立源共同作用时，开路端电压u为将已知条件带入上式，得到电路如图所示，N

为含独立源的线性电阻网络。当uS=6V，i5=0A时，开路端电压u=4V；当uS=0V，i5=4A时，u=0V；当uS=-3V，i5=-2A时，u=2V。求：当uS=3V，iS=3A时，端电压u。解：解得当uS=3V，iS=3A时，端电压4.2替代定理在电路中如已求得NA与NB两个一端口网络连接端口的电压uP与电流iP，那么就可用一个uS=uP

的电压源或一个iS

=iP的电流源来替代其中的一个网络，而使另一个网络的内部电压、电流均维持不变。Part01Part02Part03替代定理4.2替代定理例4-6方法一方法一4.2替代定理电路如图所示，试求：（1）支路电流I1、I2、I3和支路3的支路电压Ua；（2）试用（1）中计算得到的Ua作为电压源电压替代4V和4Ω电阻的串联支路，重新计算支路电流I1，I2

；（3）试用（1）中计算得到的IS作为电流源电流替代4V和4Ω电阻的串联支路，重新计算支路电流I1，I2

。验证替代定理例4-64.2替代定理电路如图所示，试求：（1）支路电流I1、I2、I3和支路3的支路电压Ua；验证替代定理解：（1）对图中结点a列写节点方程，有解得解：解得支路电流I1、

I2、

I3分别为例4-6方法一方法一4.2替代定理电路如图所示，试求：（2）试用（1）中计算得到的Ua作为电压源电压替代4V和4Ω电阻的串联支路，重新计算支路电流I1，I2

；验证替代定理解：（2）用（1）中计算得到的US=

Ua=8V作为电压源电压替代4V和4Ω电阻的串联支路，等效电路如图所示解：（2）可得支路电流I1、

I2、

I3分别为例4-6方法一方法一4.2替代定理电路如图所示，试求：（3）试用（1）中计算得到的IS作为电流源电流替代4V和4Ω电阻的串联支路，重新计算支路电流I1，I2

。验证替代定理解：（3）用（1）中计算得到的IS=

I3=1A作为电压源电压替代4V和4Ω电阻的串联支路，等效电路如图所示解：（3）可得支路电流I1、

I2、

I3分别为即支路电压为Ua=8I2=8V。例4-6方法一方法一4.2替代定理对比图4-11a、b、c,不难看出，替代前后没有被替代的其他部分的电流和电压均保持不变，即I1=2A、I2=1V

和节点电压Ua=8V不变。验证替代定理替代定理有许多应用，例如，电压等于零的支路可用“短路”替代，即为电压等于零的电压源支路；电流等于零的支路可用“开路”替代，即为电流等于零的电流源支路。这是由于替代后的新电路与原电路的连接是完全相同的，所以两个电路的KCL和KVL方程也将相同。两个电路的支路方程除了被替代支路外也完全相同。而被替代的支路的电压或电流，由于其他支路在电路改变前后的电压和电流均不变，这样确定出来的被替代支路的电压或电流也将保持不变。例4-7方法一方法一4.2替代定理电路如图所示，已知I=1A，试求电压U。解：根据替代定理，网络N用1A的电流源替代，并设定参考点，如图所示。解：列写结点电压方程，有解得U=2V。替代定理的成立原理在于：对给定的具有唯一解的一组方程（线性或非线性的），若一个未知量用其解替代时，不会引起方程中其他未知变量的解在数值上的改变。Part01Part02Part03替代定理4.2替代定理注意（1）替代定理对线性、非线性、时变、时不变电路均适用。注意（2）当电路中含有受控源、耦合电感之类耦合元件时，耦合元件所在支路与其控制量所在的支路一般不能应用替代定理。因为在替代后该支路的控制量可能不复存在，而造成电路分析的困难。（3）应该注意“替代”与“等效变换”是两个不同的概念。“替代”是用独立电流源或电压源替代已知电流或电压的支路，替代前后，被替代支路之外电路的拓扑结构和元件参数都能改变，因为一旦改变，替代支路的电压和电流也将随之发生变化；而“等效变换”是两个具有相同端口伏安特性的电路之间的相互转换，与变换以外电路的拓扑结构和元件参数无关。Part01Part02Part03注意4.2替代定理注意（4）替代定理不仅可以用电压源或者电流源替代已知电压或者电流的电路中的某一条支路，而且可以替代已知端口处电压和电流的二端网络。注意（5）如果某支路的电压u和电流i（设为关联参考方向）均已知，则该支路也可用电阻值R=u/i的电阻替代。4.3等效电源定理等效电源定理（TheoremofEquivalentSource）是将一个有源二端网络用一个等效电源模型替代的定理。Part01Part02Part03等效电源定理4.3等效电源定理由理想电压源与电阻串联组成的等效电路。戴维南等效电路由电流源与电阻并联组成的等效电源称为诺顿等效电路。诺顿等效电路Part01Part02Part034.3.1戴维南定理该电压源模型中的理想电压源uS等于原有源二端网络的开路电压uOC。内阻Req等于原有源二端网络内部除源（即将所有的电源置零：恒压源用导线替代，恒流源用开路替代）后得到的相应无源二端网络的等效电阻。对外部电路而言，任何一个线性有源二端网络，都可以用一个理想电压源uS与一个内阻Req串联的形式，即电压源模型等效代替。戴维南定理Part01Part02Part034.3.1戴维南定理（1）首先确定含源二端网络。方法是把要求的支路视为负载，暂时从电路中去掉，电路剩余部分即为含源二端网络。（2）求含源二端网络的开路电压uOC。（3）求二端网络的等效电阻Req。（4）用戴维南等效电路置换含源二端网络，电路变换为简单回路，计算出负载的响应。（1）戴维南定理只适用于线性含源二端电阻性网络。（2）戴维南等效电路与含源二端网络等效是指对负载电路等效，即含源二端网络用戴维南等效电路置换后，保持负载电路的电压、电流不变。戴维南定理注意事项步骤步骤Part01Part02Part034.3.1戴维南定理电压源的电压uS为含源二端网络的开路电压uOC。注意：等效电压源uS方向与所求开路电压uOC参考方向的关系。（1）如果是线性电阻网络，首先将含源二端网络中的全部独立源置零，得到无源二端网络，然后用电阻的串并联关系或Y形和△形网络的等效变换求等效电阻。。戴维南等效电路有两个参数，一个是电压源的电压uS；另一个是等效电阻Req。戴维南定理参数求法电压源的电压uS的求法等效电阻Req的求法Part01Part02Part034.3.1戴维南定理等效电阻Req的求法（2）开路电压—短路电流法。如果含源二端网络中含有受控源，可用开路电压—短路电流法，用含源二端网络端口的开路电压uOC除以含源二端网络端口的短路电流iSC，即为等效电阻。等效电阻Req的求法（3）外加电源法。将含源二端网络中的全部独立源置零，得到无源二端网络，然后在无源二端网络端口处外加一个电压源u0或电流源i0，端口处电压与电流的比值即为等效电阻。等效电阻Req的求法例4-8Part02Part034.3.1戴维南定理解：（2）由电阻的连接关系可知：Req=10+2=12Ω。（2）求等效电阻Req已知电路如图所示，求电流I。无受控源二端网络解：（1）由KVL可知：US=UOC=8+2×2=12V。（1）求等效电压源US例4-8Part02Part034.3.1戴维南定理已知电路如图所示，求电流I。无受控源二端网络解：（3）求解所求未知量（3）画出戴维南等效电路US例4-9Part02Part034.3.1戴维南定理解：（2）由电阻的连接关系可知：Req=8Ω。（2）求等效电阻Req已知电路如图所示，求电流I。无受控源二端网络解：（1）由KVL可知：US=UOC=32-2×8=16V。（1）求等效电压源US例4-9Part02Part034.3.1戴维南定理已知电路如图所示，求电流I。无受控源二端网络解：（3）求解所求未知量（3）画出戴维南等效电路US例4-10Part02Part034.3.1戴维南定理一个含源二端网络如图所示，已知iS=5A，R1=4Ω，R2=2Ω，R3=6Ω，

R4=2Ω。试求a-b端口的戴维南等效电路。含受控源二端网络解：（1）（1）求等效电压源US解：（1）网孔电流方程为：解得由电路图可得：Uab=UOC=R3im3=20V。（1）求等效电压源US例4-10Part02Part034.3.1戴维南定理一个含源二端网络如图所示，已知iS=5A，R1=4Ω，R2=2Ω，R3=6Ω，

R4=2Ω。试求a-b端口的戴维南等效电路。含受控源二端网络解：（2）由于有受控源，用外加电源法，在端口a-b处外加一个电压源u0=1V。解：（2）网孔电流方程为：解得（2）求等效电阻Req（2）求等效电阻Req例4-10Part02Part034.3.1戴维南定理一个含源二端网络如图所示，已知iS=5A，R1=4Ω，R2=2Ω，R3=6Ω，

R4=2Ω。试求a-b端口的戴维南等效电路。含受控源二端网络解：（3）（3）画出戴维南等效电路USPart01Part02Part034.3.2诺顿定理该电流源模型中的理想电流源iS等于原有源二端网络的短路电流iSC。内阻Req等于原有源二端网络内部除源（即将所有的电源置零：恒压源用导线替代，恒流源用开路替代）后得到的相应无源二端网络的等效电阻。对外部电路而言，任何一个线性有源二端网络，都可以用一个理想电流源iS与一个内阻Req并联的形式，即电流源模型等效代替。诺顿定理Part01Part02Part034.3.2诺顿定理（3）求二端网络的等效电阻Req

。（4）画出含源二端网络的诺顿等效电路，在变换后的等效电路中求负载支路的响应。（1）首先确定含源二端网络。（2）求含源二端网络的短路电流iSC。诺顿定理步骤诺顿定理步骤诺顿定理步骤例4-11Part02Part034.3.2诺顿定理解：（2）由电阻的连接关系可知：Req=10+2=12Ω。（2）求等效电阻Req已知电路如图所示，求电流I。解：（1）（1）求等效电流源电流IS例4-11Part02Part034.3.2诺顿定理已知电路如图所示，求电流I。解：（3）求解所求未知量（3）画出诺顿等效电路US例4-12Part02Part034.3.2诺顿定理一个含源二端网络如图所示，已知iS=2A，uS=12V，R1=4Ω，R2=8Ω，R3=5Ω，R4=8Ω。试求a-b端口的诺顿等效电路。解：（1）用回路电流法，回路电流为il1和il2。（1）求短路电流iSC解：（1）回路电流方程为：解得：iSC=1A。（1）求短路电流iSC例4-12Part02Part034.3.2诺顿定理一个含源二端网络如图所示，已知iS=2A，uS=12V，R1=4Ω，R2=8Ω，R3=5Ω，R4=8Ω。试求a-b端口的诺顿等效电路。解：（2）（2）求等效电阻Req（2）求等效电阻Req例4-12Part02Part034.3.2诺顿定理一个含源二端网络如图所示，已知iS=2A，uS=12V，R1=4Ω，R2=8Ω，R3=5Ω，R4=8Ω。试求a-b端口的诺顿等效电路。解：（3）画出诺顿等效电路USPart01Part02Part034.3.2诺顿定理戴维南等效电路与诺顿等效电路是互为等效的电源模型，依据电源模型等效变换关系，由戴维南等效电路可以直接变换得到诺顿等效电路；同样，由诺顿等效电路也可以直接变换得到戴维南等效电路。当一端口用戴维南等效电路或诺顿等效电路置换后，端口以外的电路（称为外电路）中的电压、电流均保持不变。这种等效称为对外等效。戴维南等效电路和诺顿等效电路的关系Part01Part02Part034.3.2诺顿定理如果Req=0而开路电压uOC为有限值，此时有源二端网络存在戴维南等效电路且仅为一个无伴电压源（即uOC），而无电阻与之串联，但因iSC趋向无限大，故不存在诺顿等效电路。如果求得Req为无限大而短路电流为有限值，此时iSC有源二端网络存在诺顿等效电路且仅为一个无伴电流源（即iSC），而无电阻与之并联，但因Req与uOC均趋于无限大，故不存在戴维南等效电路。诺顿等效电路中的电流源电流的方向必须与戴维南等效电路中的电压源的电流方向一致。一般而言，有源线性二端网络N的戴维南等效电路和诺顿等效电路都存在。一般而言，有源线性二端网络N的戴维南等效电路和诺顿等效电路都存在。注意注意注意Part01Part02Part034.3.2诺顿定理所以，当有源二端网络N内部含受控源时，其等效电阻Req有可能为零，这时戴维南等效电路成为理想电压源，其诺顿等效电路将不存在；J结论J结论同理，如果等效电阻Req为无穷大，诺顿等效电路成为理想电流源，而其戴维南等效电路就不存在。例4-13Part02Part034.3.2诺顿定理一个含源二端网络如图所示，试求两个一端口网络的戴维南或诺顿等效电路，并解释所得结果。（1）已知uS=10V，id=3i，R1=4Ω，R2=2Ω，R3=6Ω。（2）已知uS=15V，ud=4u2，

R1=6Ω，R2=12Ω，R3=8Ω；

R4=4Ω。例4-13Part02Part034.3.2诺顿定理一个含源二端网络如图（a）所示，试求两个一端口网络的戴维南或诺顿等效电路，并解释所得结果。（1）已知uS=10V，id=3i，R1=4Ω，R2=2Ω，R3=6Ω。解：（1）1）求开路电压uOC例4-13Part02Part034.3.2诺顿定理解：（2）2）求等效电阻Req例4-13Part02Part034.3.2诺顿定理解：（2）2）求等效电阻Req解：（2）假设端口a-b有一电压源u0

，则对结点a列写KCL方程，可得带入参数，可得解：（2）可得2）求等效电阻Req3）求戴维南等效电路例4-13Part02Part034.3.2诺顿定理一个含源二端网络如图（b）所示，试求两个一端口网络的戴维南或诺顿等效电路，并解释所得结果。（2）已知uS=15V，ud=4u2，R1=6Ω，R2=12Ω，R3=8Ω，R4=4Ω。解：（1）设结点0为参考结点，列出结点1的结点电压方程为带入参数，可得1）求开路电压uOC（2）求开路电压uOC例4-13Part02Part034.3.2诺顿定理解：（2）求短路电流iSC2）求等效电阻Req解：（2）短路电流iSC

为则等效电阻Req为解：（2）可得2）求等效电阻Req3）求戴维南等效电路戴维南、诺顿定理和替代定理之间的区别Part02Part034.3.2诺顿定理戴维南定理和诺顿定理指出：一个含源一端口网络可以按照其端口的伏安特性（坐标图上的一条直线）等效为电压源与电阻的串联组合或者电流源与电阻的并联组合。当此一端口网络与外电路连接后，其端口处就有确定的电压uP与电流iP，也就是一端口网络工作于伏安特性曲线上的一点p(uP,

iP)

。替代定理针对伏安特性曲线上某一个特定点等效置换。戴维南定理及诺顿定理可以针对整个伏安特性曲线上的等效置换。（2）替代定理（1）戴维南定理和诺顿定理替代定理说明了在这种情况下可将一端口网络用一个电压源或电流源置换的替代关系，也可以说是在伏安特性曲线上特定的一点上的等效置换。（3）区别4.4最大功率传输定理电路如图所示，试讨论负载RL获得最大功率的条件。Part01Part02Part03讨论：4.4.1负载获得最大功率的条件分析：负载RL获得功率PL为式中为电源发出的功率

为传输效率则当时，RL可获得最大功率，分析：即求解可得RL=RSRL获得的最大功率为此时，传输效率为50%。电路如图所示，可变化的负载RL从含源一端口获得功率的情况。Part01Part02Part03推广：4.4.1负载获得最大功率的条件分析：当满足RL=Req时，RL获得的最大功率为此时，称负载RL与有源二端网络的输入电阻匹配。对于含有受控源的有源线性网络N，其戴维南等效电阻Req可能为零或负值，在这种情况下该最大功率传输定理不再适用。注意：Part01Part02Part034.4.2负载获得最大功率的计算步骤（2）用最大功率传输定理求出最大功率。（1）首先用戴维南定理将所求功率支路以外的含源二端网络变换成戴维南等效电路。步骤例4-14Part02Part03解：（1）原电路去掉负载后得到有源二端网络a-b，电路如图所示，计算二端网络a-b开路电压UOC。电路如图所示，已知US=12V，IS=2A，

R1=6Ω，R2=12Ω，R3=3Ω；R4=2Ω

。试求当负载RL等于多大