电路基础 课件 第五章 线性动态电路的时域分析

线性动态电路的时域分析CONTENTS目录动态元件换路定律和初始值的计算RC电路的响应RL电路的响应一阶电路的全响应5.1动态元件所谓动态元件是指电压与电流的约束为微分或积分关系的元件，动态元件又称为储能元件。Part01Part02Part03动态元件5.1动态元件电感元件电感是储存磁场能量的元件。电容元件电容是储存电场能量的元件。电感器常用于供配电系统（如发电机、变压器、电动机）和信号处理系统（如收音机、电视机、雷达）等电路中。Part01Part02Part03应用5.1.1电感元件实物图电感元件在任意时刻磁链Ψ(t)与电流i(t)之间的关系，通常用Ψ-i平面的一条曲线确定。Part01Part02Part03定义1.电感元件定义图形符号单位亨（H）、毫亨（mH）、微亨（μH）选择电感时，不仅要考虑其标称电感量，还要考虑其额定电流值，即电感器允许通过的最大电流。如果电流过大，会使电感器线圈过热，致使电感器烧毁。Part01Part02Part03定义2.电感元件的伏安关系伏安关系电感电流连续性如果只研究某一起始时刻t0以后的电感电流，即初始电流，可得：结论：实际电路中，通过电感的电压u(t)为有限值时，则电感电流i(t)必定是时间的连续函数，即电感电流不能跃变，可表示为Part01Part02Part03电路模型2.电感元件的伏安关系结论：伏安关系具有初始电压i(t0)的线性电感元件，可以等效为一个电流等于初始电流i(t0)的电流源和初始电流为零的同一电感元件相并联的电路模型。Part01Part02Part03瞬时功率3.电感的储能电感元件也不消耗能量，其存放能量的过程是能量可逆转换过程。电感是无源元件。关联参考方向：磁场能如果电感开始充电时的电流为零，可得：已知电感器电感为0.1H，通过电感器的电流为

A，试计算电感器两端的电压u(t)和电感储存的能量W(t)

。Part01Part02Part03例5-13.电感的储能解：电感两端的电压为解：电感储存的能量为把几个电感首尾相接连成一个无分支的电路，称为电感的串联。Part01Part02Part03电感元件的串联4.电感元件的串联与并联解：设各电感元件电压与电流为关联参考方向，根据KVL，可得：可得结论：电感串联，等效电感Leq等于各电感之和。电路如图所示，试求图所示电路的等效电感。Part01Part02Part03例5-2解：等效电感为4.电感元件的串联与并联把几个电感的一端连在一起，另一端也连在一起的连接方式，称为电感的并联。Part01Part02Part03电感元件的并联解：设各电感元件电压与电流为关联参考方向，根据KCL，可得：根据电感电压和电流的关系式，可得即：结论：当电感并联时，等效电感Leq的倒数等于各电感倒数之和。4.电感元件的串联与并联电路如图所示，试求图所示电路的等效电感。Part01Part02Part03例5-3解：等效电感为4.电感元件的串联与并联电容元件常用于收音机、电视机的接收电路、信号发生器的振荡电路、计算系统的动态存储单元电路等。Part01Part02Part03应用5.1.2电容元件实物图电容元件是一种能存储电场能量的理想元件，电容元件在任意时刻极板储存的电荷q(t)与两极板电压u(t)之间的关系，通常用q‒u平面的一条曲线确定。Part01Part02Part03定义1.电容元件定义图形符号单位法拉（F）、微法拉（μF）、皮法拉（pF）选择电感时，不仅要考虑其标称电容量，还要考虑其额定电压值。如果电压过大，电容器的介质会被击穿，使电容器损坏。Part01Part02Part03定义2.电容元件的伏安关系伏安关系电容电压连续性如果只研究某一起始时刻t0以后的电容电压，即初始电压，可得：结论：实际电路中，电容的电流i(t)为有限值时，则电容电压u(t)必定是时间的连续函数，即电容电压不能跃变，可表示为Part01Part02Part03电路模型2.电容元件的伏安关系结论：伏安关系具有初始电压u(t0)的线性电感元件，可以等效为一个电压等于初始电压u(t0)的电压源和初始电压为零的同一电容元件相串联的电路模型。试求出通过200μF电容的电流，电容两端电压如图所示。Part01Part02Part03例5-42.电容元件的伏安关系解：根据图可知电容电压数学表达式为解：由上式可得波形图为Part01Part02Part03瞬时功率3.电容的储能电容元件既不消耗能量也不产生能量，仅储存能量。电容是无源元件。关联参考方向：磁场能如果电容开始充电时的电压为零，可得：已知3pF电容两端电压为20V，求：（1）电容电荷量q；（2）电容储存能量W。Part01Part02Part03例5-53.电容的储能解：（1）电容电荷量解：（2）电容储存能量现有3A的电流源从t=0开始对C=1F的电容充电，设电容初始电压u(0)=0V，求20s后电容所储存的能量是多少？Part01Part02Part03例5-63.电容的储能解：由解：可知当t=20s时，电容电压

所以把几个电容首尾相接连成一个无分支的电路，称为电容的串联。Part01Part02Part03电容元件的串联4.电容的串、并联解：根据KVL设串联总电容（等效电容）为Ceq，则由，可得结论：电容串联的总电容的倒数等于各个电容电容值的倒数之和。电路如图所示，C1=C2=C3=200μF，额定工作电压为50V，总电压U=120V，求串联电容器的等效电容是多大？每个电容器两端的电压是多大？在此电压下工作是否安全？Part01Part02Part03例5-7解：等效电容为每只电容上所带的电荷量为解：每只电容上的电压为电容器上的电压小于它的额定工作电压，因此电容在这种情况下工作是安全的。4.电容的串、并联把几个电容的一端连在一起，另一端也连在一起的连接方式，称为电容的并联。Part01Part02Part03电容元件的并联分析：电容并联时，加在每个电容器上的电压都是U。设每个电容器的电容值分别为C1、C2、C3，电荷量分别为q1、q2、q3，则总电荷量q为可得结论：电容并联的总电容的容值等于各个电容器电容值之和。4.电容的串、并联电容器A的电容为10μF，充电后电压为30V，电容器B的电容为20μF，充电后电压为15V，把它们并联在一起，其电压是多少？Part01Part02Part03例5-8解：电容器A、B连接前的所带电荷量分别为总电荷量解：并联后的总电容为并联后的共同电压为4.电容的串、并联电路如图所示，已知，试求出等效电路等效电容Ceq。Part01Part02Part03例5-9解：根据电路图可知，C4和C5电容串联，故其等效电容Ceq1为Ceq1、C2和C3电容并联，故其等效电容Ceq2为解：Ceq2和C1电容串联，故其等效电容Ceq为

4.电容的串、并联5.2换路定律和初始值的计算在暂态过程中引起电路工作状态变动的因素统称为换路，包括开关接通、断开、电源值突变、元件参数突变等。Part01Part02Part03换路定义5.2.1换路定律换路原因换路只是产生暂态过程的外因，内因是电路中含有储能元件，其实质是由于电路中储能元件储存的能量不能跃变。换路定律电容电压和电感电流在换路后的初始值等于换路前的终了值。换路定则仅适用于换路瞬间，利用它可以由换路前的稳态电路（即t=0‒时等效电路）来确定换路后的uC和iL的初始值，再由这两个初始值根据换路后的暂态电路（即t=0+时等效电路）进一步确定换路后其他电压和电流的初始值。电路的初始条件是指电路的电压变量和电流变量，以及它们1，2，…，（n‒1）阶导数在（换路后的初始时刻）时的值，也称为初始值。Part01Part02Part03定义5.2.2初始值的计算D独立初始值非独立初始值除电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)之外其余变量的初始值都为非独立初始值，如电容电流iC(0+)、电感电压uL(0+)，电阻电压uR(0+)等。独立初始值只包含电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)。Part01Part02Part03定义1.独立初始值的计算步骤步骤由于电容电压uC(t)和电感电流iL(t)不能跃变，由换路定律uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)可知，当电路发生换路时，独立初始值uC(0+)，iL(0+)可以通过计算换路前t=0-时刻的uC(0-)和iL(0-)，然后利用换路定律求得。（1）首先画出t=0-时的等效电路。由于电路在换路前t=0-时已经处于稳定状态，所以电容开路，电感短路；（2）根据t=0-时的等效电路，求出换路前的电容电压uC(0-)和电感电流iL(0-)；（3）根据换路定律，确定独立初始值的电容电压uC(0+)和电感电流iL(0+)。电路如图（a）、（b）所示，已知US=10V，R1=2Ω，R2=3Ω，C=1F，L=1H，当t=0时开关动作，求换路后的初始值i(0+)及uL(0+)。Part01Part02Part03例5-101.独立初始值的计算a）b）电路如图

（a）所示，已知US=10V，R1=2Ω，R2=3Ω，C=1F，L=1H，当t=0时开关动作，求换路后的初始值i(0+)及uL(0+)。Part01Part02Part03例5-101.独立初始值的计算解：（1）根据图（a），换路之前电路已经处于稳定状态，所以电容C所在支路开路，可得解：（1）当t=0+时开关动作，因此电路如图（b）所示，已知US=10V，R1=2Ω，R2=3Ω，C=1F，L=1H，当t=0时开关动作，求换路后的初始值i(0+)及uL(0+)。Part01Part02Part03例5-101.独立初始值的计算解：（2）根据图（b），换路之前电路已经处于稳定状态，所以电感L短路，可得解：（2）当t=0+时开关动作，因此Part01Part02Part03定义2.非独立初始值的计算步骤步骤一般来说，非独立初始值在t=0+时的等效电路中求得。t=0+时的等效电路的画法为：将换路后电路中的电感用电流为iL(0+)的电流源替代（若iL(0+)=0，电感用“开路”替代），电容C用电压为uC(0+)的电压源替代（若uC(0+)=0，电容用“短路"替代），其余元件如独立源、受控源和电阻等保持不变，这样就得到t=0+时刻的等效电路。（1）首先求得独立初始值uC(0+)或iL(0+）。（2）画出电路在t=0+时的等效电路，电感处用一个电流值为iL(0+)的理想电流源代替，电容处用一个电压值为uC(0+)的理想电压源代替。（3）在t=0+时的等效电路中，求解非独立初始值。图所示电路原已稳定，t=0时将开关S断开，求换路后各元件电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-112.非独立初始值的计算解：（1）先求uC(0+)。解：（1）先求uC(0+)。换路前（开关S断开前）电路为一稳态直流电路，即t=0‒时的等效电路，如右图所示，电容可视为开路。由图可知：电容电压uC(0‒)=4V，由换路定则知：uC(0+)=uC(0‒)=4V。图所示电路原已稳定，t=0时将开关S断开，求换路后各元件电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-112.非独立初始值的计算解：（2）再求其他值的初始值。求解其他值的初始值，要根据t=0+时等效电路求解，如下图所示。解：（2）再求其他值的初始值。如图所示电路开关闭合前电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，试求图示电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-122.非独立初始值的计算解：（1）先求iL(0+)。换路前（开关S闭合前）电路为一稳态直流电路，即t=0‒时的等效电路，如下图所示，电感可视为短路。解：（1）由图可知：电感电流iL(0‒)=1A，由换路定则知：

iL(0+)=

iL(0‒)=1A图所示电路开关闭合前电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，试求图示电流、电压的初始值。Part01Part02Part03例5-122.非独立初始值的计算解：（2）再求其他值的初始值。求解其他值的初始值，要根据t=0+时等效电路求解，如下图所示。解：（2）再求其他值的初始值。5.3RC电路的响应用经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励（电源电压或电流），通过求解电路的微分方程以得出电路的响应（电压和电流）。由于电路的激励和响应都是时间的函数Part01Part02Part03思路-经典法求解5.3RC

电路的响应DRC电路的零输入响应所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，电容的初始状态为0，即uC(0-)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始状态uC(0+)所产生的电路响应，称为零输入响应。DRC电路的零状态响应RC串联电路如图所示，换路前，开关S合在位置a上，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关从位置a合到位置b，设U0、R、C均已知，求换路后电路中的uC(t)

和iC(t)。Part01Part02Part03分析5.3.1RC电路的零输入响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRC电路的零输入响应DRC电路的零输入响应（1）电容电压uC(t)和电流iC(t)是按相同的指数规律由初始值开始衰减，衰减的快慢取决于电路参数R和C的乘积。Part01Part02Part03DRC电路的零输入响应特点5.3.1RC电路的零输入响应（3）放电瞬间（即换路瞬间）发生突变，产生初始冲击电流（2）时间常数

τ=RC

称为RC电路的时间常数(TimeConstant)。R的单位为Ω（欧姆），C的单位为F（法拉），则τ的单位为s（秒）。RC愈大，τ愈大，放电愈慢，反之放电愈快。当t=τ=RC时,DRC电路的零输入响应DRC电路的零输入响应

已知电路如图所示，换路前电路已达到稳态，在t=0时将开关闭合，已知IS=10mA，R1=1kΩ，R2=3kΩ，R3=6kΩ，R4=3kΩ，C=2uF，试求换路后的uC

(t)和iC

(t)。Part01Part02Part03例5-135.3.1RC

电路的零输入响应解：（1）求初始值uC

(0+)。解：（2）求时间常数τ

τ=RC=5kΩ×2μF=0.01s（3）求uC

(t)和iC

(t)

RC串联电路如图所示，换路前，电容未储能，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关闭合，设US、R、C均已知，求换路后电路中的uC(t)

和iC(t)。Part01Part02Part03分析5.3.2RC

电路的零状态响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRC电路的零状态响应DRC电路的零状态响应（1）直流激励下，一阶RC电路的零状态响应，其物理过程的实质是换路后电路中电容元件的储能从无到有逐渐建立的过程，因此电容电压uC(t)从零开始按指数规律上升至稳态值uC(∞)。Part01Part02Part03DRC电路的零输入响应特点5.3.2RC

电路的零状态响应（3）放电瞬间（即换路瞬间）iC发生突变，产生初始冲击电流（2）时间常数τ=RC的求解方式与RC零输入响应电路的求解方法相同。RC愈大，愈大，充电愈慢，反之充电愈快。

当t=τ=RC时,DRC电路的零输入响应DRC电路的零输入响应

已知电路如图（a）所示，换路前电路已达到稳态，电容未储能，在t=0时将开关闭合，已知US=9V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，C=5uF，试求换路后的uC

(t)

。Part01Part02Part03例5-145.3.2RC

电路的零状态响应解：（1）求稳态值uC

(∞)。将换路后的电路用戴维南等效电路替代，如图（b）所示。解：则由电路可知，

已知电路如图（a）所示，换路前电路已达到稳态，电容未储能，在t=0时将开关闭合，已知US=9V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，C=5uF，试求换路后的uC

(t)

。Part01Part02Part03例5-145.3.2RC

电路的零状态响应解：（2）求时间常数τ。R=Req=2kΩτ=RC=2kΩ×5μF=0.01s。解：（3）求uC

(t)。

已知电路如图所示，uC

(0-)

=0，在t=0时将开关闭合，已知US=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，R3=2Ω，C=2F，试求换路后的u2

(t)。Part01Part02Part03例5-155.3.2RC

电路的零状态响应解：（1）求稳态值uC

(∞)。将换路后的电路用戴维南等效电路替代，如图所示。解：则

已知电路如图所示，uC

(0-)

=0，在t=0时将开关闭合，已知US=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，R3=2Ω，C=2F，试求换路后的u2

(t)

。Part01Part02Part03例5-155.3.2RC

电路的零状态响应解：（3）求uC

(t)。（4）求u2

(t)。可得

解：（2）求时间常数τ。5.4RL电路的响应用经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励（电源电压或电流），通过求解电路的微分方程以得出电路的响应（电压和电流）。Part01Part02Part03思路-经典法求解5.4RL

电路的响应DRL电路的零输入响应所谓RL电路的零状态，是指换路前电感元件未储有能量，电感的初始状态为0，即iL(0-)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。所谓RL电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电感元件的初始状态iL(0+)所产生的电路响应，称为零输入响应。DRL电路的零状态响应RL串联电路如图所示，换路前，开关S合在位置1上，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关从位置1合到位置2，求换路后电路中的iL(t)。Part01Part02Part03分析5.4.1RL

电路的零输入响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRL电路的零输入响应DRL电路的零输入响应（1）电感电压和电感电流是按指数规律由初始值向零衰减的。Part01Part02Part03DRL电路的零输入响应特点5.4.1RL

电路的零输入响应（2）时间常数

τ=L/R

称为RL电路的时间常数(TimeConstant)。τ愈大，放电愈慢，反之放电愈快。DRL电路的零输入响应DRL电路的零输入响应

如图所示电路中，R、L

分别表示一电磁铁线圈的电阻和电感，已知R=4Ω，L=2H，直流电压U=220V。电压表的量程为300V，内阻RV=30kΩ。开关S未断开时电路中电流已恒定不变。在t=0时断开开关S，试求开关刚断开时，电压表处的电压uV。Part01Part02Part03例5-165.4.1RL

电路的零输入响应解：（1）已知开关断开前，电路中电流已恒定不变，电感两端电压为零，可求得开关断开后，根据换路定则可求得解：因此电压表电压为所以，当开关断开时，电压表电压为

电路如图所示，已知U=220V，R=4Ω，L=2H。如若要求图中开关S断开时电磁铁线圈两端的电压不超过正常工作时电压的2.5倍，且整个放电过程要在1s内基本结束，试计算放电电阻Rf的值。Part01Part02Part03例5-175.4.1RL

电路的零输入响应解：（1）已知开关断开前，电路中电流已恒定不变，电感两端电压为零，可求得则因为解：可得根据题目要求整个放电过程要在1s内基本结束，可得则综上可得

图中，K是直流电磁继电器，其电阻为R=250Ω，吸合时电感L=25H，如果继电器的释放电流为4mA（即电流小于此值时，继电器就释放电流），而且已知US=24V，R1=230Ω，试问开关S闭合后经过多长时间继电器才释放电流。Part01Part02Part03例5-185.4.1RL

电路的零输入响应解：（1）S断开时，继电器中的电流为S闭合后，继电器的放电时间常数为解：因此，电流响应为因为电流衰减到释放电流4mA时继电器释放电流，所以可得

RL串联电路如图所示，换路前，电感未储能，电路已达到稳定状态，在t=0时将开关闭合，求换路后电路中的iL(t)

和uL(t)

。Part01Part02Part03分析5.4.2RL

电路的零状态响应解：求解方程式可得解：根据基尔霍夫电压定律，可列出换路后的电压方程可得DRL电路的零状态响应DRL电路的零状态响应已知电路如图所示，在t=0时将开关S闭合，已知US=36V，R1=8Ω，R2=12Ω，L=1H，试求换路后的iL(t)和uL(t)。Part01Part02Part03例5-195.4.2RL

电路的零状态响应解：（1）求电感电流的初始值iL(0+)

。t<0时，等效电路为iL(0+)=

iL(0-)

=0A解：（2）求电感电流iL(∞)。t>0时，等效电路为由电路可知，

已知电路如图所示，在t=0时将开关S闭合，已知US=36V，R1=8Ω，R2=12Ω，L=1H，试求换路后的iL(t)和uL(t)。Part01Part02Part03例5-195.4.2RL

电路的零状态响应解：（3）求时间常数

τ。t>0，除源后电路为可得：解：（4）求电感电流iL(t)。（5）求电感电压uL(t)

。

1）iL按指数规律由零向稳态值增长。Part01Part02Part03电感充电时特点：5.4.2RL

电路的零状态响应2）充电的时间常数，愈小，暂态过程进行得愈快。因为L愈小，则阻碍电流变化的作用也愈小；R愈大，则在同样电压下电流的稳态值或暂态分量的初始值愈小，这促使暂态过程加快。因此改变电路参数R、L的大小，可以影响暂态过程的快慢。

一阶电路的零状态响应是在动态元件的初始储能为零时，由独立源激励产生的响应，响应波形曲线按指数规律变化。Part01Part02Part03结论：5.4.2RL

电路的零状态响应如果用f(t)

表示零状态响应，稳态值用f(∞)，那么一阶电路的零状态响应的一般表达式为

5.5一阶电路的全响应如果一阶动态电路中既有动态元件的初始储能，又有独立电源激励，那么它们共同作用下产生的响应称为全响应。Part01Part02Part03全响应5.5一阶电路的全响应思路-叠加定理全响应=零输入响应+零状态响应思路-三要素法全响应=稳态分量+暂态分量所谓RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。Part01Part02Part03RC电路全响应5.5.1叠加定理求解一阶电路的全响应（1）首先将激励置零，求零输入响应；（2）然后将初始状态置零（即令uC(0+)=0

和iL(0+)=0

），求零状态响应；步骤（3）将零输入响应与零状态响应叠加，得到全响应。步骤电路如图所示，已知换路前，开关S合到a，电容被充电至电压U0；换路后，S合到b，U0=3V，US=5V，R=1kΩ，C=5μF，求电路中的响应uC(t)、

uR(t)

和iC(t)。Part01Part02Part03例5-205.5.1叠加定理求解一阶电路的全响应解：（1）求uC(t)。t<0，可求得①求零输入响应。设US=0，换路后电容电压的零输入响应为解：②求零状态响应。换路后电容电压的零状态响应为：所以，电容电压全响应为

电路如图所示，已知换路前，开关S合到a，电容被充电至电压U0；换路后，S合到b，U0=3V，US=5V，R=1kΩ，C=5μF，求电路中的响应uC(t)、

uR(t)和iC(t)。Part01Part02Part03例5-205.5.1叠加定理求解一阶电路的全响应解：（2）求uR(t)和iC(t)。解：②求零状态响应。换路后电容电压的零状态响应为：所以，电容电压全响应为

全响应=稳态分量+暂态分量Part01Part02Part03全响应5.5.2三要素法求解一阶