天津市河西区2026届高三上学期期末质量调查数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市河西区2026届高三上学期期末质量调查数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，，故.故选：D.2.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于单调递减，则，故；由于单调递增，则，故；由于单调递减，则，故；综上，.故选：B.3.已知直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件，由，得，解得，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件.故选：C.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除B.令，则，所以或.由，得，解得.所以函数有唯一零点.所以可排除C.因为，所以，.所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除D.故选：A.5.在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（）A.51 B.100 C.150 D.200【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.6.若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，因为在R上单调递减，所以；当时，，，因为为偶函数，所以，因为在R上单调递增，由，得，综上不等式的解集为.故选：A.7.已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】因为函数的值域为，所以存在互不相同的，使得，即同时使得，即因为由于区间内存在正弦函数取最小值时的的取值依次是，所以，故选：D.8.如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为，高为，杯内有深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为α（图2），要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角α的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时最大，画出图形，如图所示，过点作，交所在的直线于，过点作，交所在的直线于,设，则，所以液体的体积为：，解得，,，，又，角的最大值为.故选：C.9.已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点依次为、，点也是抛物线的焦点，过点的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若，，则双曲线C的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如下图所示：因为，由双曲线的定义可得，则，因为为的中点，则，则，所以，，又因为，所以，，即，整理可得，由点也是抛物线的焦点，得，即，得，所以，因此，该双曲线C的方程为：.故选：B.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数，则______．【答案】5【解析】复数，则.11.已知是偶函数，则＝___________.【答案】【解析】因为是偶函数，所以，即，又，．12.直线与圆交于A、B两点，若，则______．【答案】或【解析】由圆，得圆心，半径.所以圆心到直线的距离.又因为，所以，即，化简得，解得或.故答案为：或.13.在中，，，，，且与交于点F，则______（用表示），若，则的最大值为______．【答案】；【解析】如图：设，则，且，所以.又因为，所以，.因为三点共线，设，则，即，因为不共线，由平面向量基本定理得，解得所以，.若，设，则，即，，，，又因为，且在上单调递减，所以，故的最大值为.故答案为：；.14.在数列中，，，则______．【答案】【解析】化简得：，，，，；将上述式子相加，得，代入，得，则，故答案为：.15.若函数存在零点，则a的取值范围为______．【答案】【解析】令，得，则函数有零点，等价于和有交点，即半圆与函数有交点.易知函数过点，点在直线上，如下图所示：由解得，即，由图知，当函数的拐点在点或其上方，即时，满足题意；当函数过点时，，由图可知，当时，满足题意.综上所述，.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，=．（1）求B的值；（2）求b的值；（3）求的值．解：（1）因为，由正弦定理得，所以，即，展开得，即，因为，所以．（2）因为在中，由余弦定理得，所以．（3）在中，由正弦定理得；因为，所以，故为锐角，则；因为，；所以．17.已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点．（1）求证：面面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求四棱锥的体积．（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，设是平面的法向量，则，解得，取，则，，得是平面的一个法向量．设是平面的法向量，则，解得，取，则，，得是平面的一个法向量．，平面平面．（2）解：是平面的一个法向量．设平面与平面夹角为，则,即平面与平面夹角的余弦值为.（3）解：，，，又是平面的一个法向量，点A到平面的距离．，梯形为等腰梯形，易得梯形的高为，，．18.已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，．（1）求椭圆的标准方程；（2）点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．解：（1）因为离心率所以，，，因为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）因为，，因为点D是椭圆C上非顶点的一动点，所以直线的斜率一定存在且不为0，设为k所以直线的方程为，交x轴于点,所以联立得,因为，所以，所以，直线的斜率,直线的方程为,因为直线的方程为,联立得,所以,所以为定值12.19.已知数列是各项都为正数的等比数列，，且是和的等差中项．（1）求的通项公式；（2）对于数列满足：，且．若存在，，使得对任意的，恒成立．（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）求．解：（1）设公比为，因为数列是各项都为正数的等比数列，且，所以，，因为是，的等差中项，所以，即，解得（舍）或，所以.（2）（ⅰ）由题意，因为存在，，使得对任意的，恒成立，所以，则，所以，则恒成立，因为，则数列单调递增，当时，，，所以存在正整数，使得当时，，与恒成立矛盾所以；同理，当时，存在正整数，使得当时，，与恒成立矛盾所以；综上；（ⅱ）由（1）及（ⅰ）得，，，所以，所以.20.已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求证：；（3）若，且，求的取值范围．（1）解：因为，所以切线斜率，因为，所以切点为，所以切线方程为，即；（2）证明：由，设，则时，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增，所以，即，所以；